- Ədədin bölənlərini və bölünənlərini tapmaq, cəmin və hasilin bölünüb-bölünmədiyini hesablamadan müəyyən etmək
- 2, 3, 4, 5, 9, 10 və 25-ə bölünmə əlamətlərini tətbiq etmək və onların nə üçün doğru olduğunu izah etmək
- Sadə və mürəkkəb ədədləri fərqləndirmək, 100-ə qədər sadə ədədləri Eratosfen xəlbiri ilə tapmaq
- Ədədi vuruqlar ağacı və ya sütun üsulu ilə sadə vuruqlara ayırmaq
Murad 1236 stiker toplayıb. Onları 3 dostu arasında bərabər bölüşdürə bilərmi? Bəs 4 dostu arasında? 5 dostu arasında? Hər dəfə bölmə aparmaq olar, amma bölünmə əlamətlərini bilən şagird ədədin rəqəmlərinə baxıb bir neçə saniyəyə cavab verir: bəli, bəli, xeyr. Bu dərsdə həmin üsulları öyrənəcək və, ən əsası, onların nə üçün doğru olduğunu başa düşəcəksən.
Dərs «Natural ədədlər və əməllərin ardıcıllığı» dərsinin davamıdır: yenə 1, 2, 3, … natural ədədləri ilə işləyirik, amma indi soruşuruq ki, onlardan hansı hansına qalıqsız bölünür. Bölənlər, bölünənlər və sadə ədədlər növbəti dərsin — «Ən böyük ortaq bölən və ən kiçik ortaq bölünən» dərsinin, sonra isə kəsrlərin ixtisarının əsasıdır.
Bölənlər və bölünənlər
a natural ədədi b natural ədədinə qalıqsız bölünürsə, b ədədi a-nın böləni, a ədədi isə b-nin bölünəni adlanır. Belə deyirik: «a ədədi b-yə bölünür» və qısa yazırıq: a ⋮ b. Məsələn, 12 : 3 = 4, deməli, 3 ədədi 12-nin bölənidir, 12 isə 3-ün bölünənidir.
- ab-nin bölünəni
- bbölən
- knatural ədəd — a : b qisməti
a ədədi b-yə məhz o zaman bölünür ki, onu b · k şəklində yazmaq mümkün olsun. Deməli, b-nin bölünənləri b · 1, b · 2, b · 3, … ədədləridir.
Hər ədədin bölənləri sonlu sayda olur: ən kiçiyi 1, ən böyüyü ədədin özüdür. Bölünənlər isə sonsuzdur: 7, 14, 21, 28, … və onların ən kiçiyi ədədin özüdür. Bölənlər cüt-cüt tapılır: 36 = 4 · 9 bərabərliyi eyni anda iki bölən verir — 4 və 9.
1) 36-nın bütün bölənlərini tap.
2) 12-nin ilk beş bölünənini yaz.
3) Müəllim 24 şagirdi bərabər cərgələrə düzmək istəyir: ən azı 2 cərgə olmalı və hər cərgədə ən azı 2 şagird dayanmalıdır. Neçə variant var?
Həllini göstərHəllini gizlət
2) 12 · 1, 12 · 2, …, 12 · 5: 12, 24, 36, 48, 60.
3) Cərgələrin sayı 24-ün böləni olmalıdır: 24 = 2 · 12 = 3 · 8 = 4 · 6. Variantlar (cərgə × cərgədəki şagird): 2 × 12, 3 × 8, 4 × 6, 6 × 4, 8 × 3, 12 × 2 — 6 variant. 1 və 24 bölənləri şərtə uyğun deyil.
Cəmin və hasilin bölünməsi
35 və 14 ədədlərinin hər biri 7-yə bölünür: 35 = 7 · 5, 14 = 7 · 2. Onda 35 + 14 = 7 · 5 + 7 · 2 = 7 · (5 + 2) = 7 · 7, yəni cəm də 7-yə bölünür. Bunu əşyalarla da görmək olar: hər iki yığını 7-lik dəstələrə ayırmaq mümkündürsə, onları birləşdirəndə də yalnız 7-lik dəstələr alınır. Fərq üçün də eyni qayda doğrudur. Toplananlardan biri m-ə bölünür, digəri bölünmürsə, cəm m-ə bölünmür: ikinci toplananın qalığını heç nə «doldurmur».
- ⋮«bölünür»: a ⋮ m — a ədədi m-ə bölünür
- ⇒«deməli», «onda»
- bikinci ədəd; hasil qaydasında — istənilən natural ədəd
Bir toplanan m-ə bölünür, digəri bölünmürsə, nə cəm, nə də fərq m-ə bölünür. Heç bir toplanan bölünmürsə, qayda heç nə demir — yoxlamaq lazımdır.
Cəmi və ya hasili hesablamadan müəyyən et:
1) 360 + 45 cəmi 9-a bölünürmü?
2) 480 + 35 cəmi 8-ə bölünürmü?
3) 27 · 143 hasili 9-a bölünürmü?
4) 17 + 13 və 17 + 14 cəmləri 5-ə bölünürmü?
Həllini göstərHəllini gizlət
2) 480 = 8 · 60 bölünür, 35 isə 8-ə bölünmür, ona görə cəm 8-ə bölünmür (515 = 8 · 64 + 3).
3) 27 = 9 · 3, deməli, 27 · 143 = 9 · (3 · 143) — ikinci vuruq nə olursa olsun, bəli.
4) Nə 17, nə 13, nə də 14 ədədi 5-ə bölünmür. Amma 17 + 13 = 30 bölünür, 17 + 14 = 31 isə bölünmür. Heç bir toplanan bölünmədikdə hər dəfə yoxlamaq lazımdır.
Bölünmə əlamətləri və onların səbəbi
Hər natural ədədi onluqlarının sayına və son rəqəminə ayırmaq olar: 2385 = 238 · 10 + 5. 10 ədədi 2-yə, 5-ə və 10-a bölünür, ona görə hasil qaydasına əsasən 238 · 10 da bu ədədlərə bölünür. Cəm qaydasına görə isə bütün ədədin bölünüb-bölünməməsi yalnız son rəqəmdən asılı qalır. 100 = 4 · 25 olduğu üçün 4-ə və 25-ə bölünmədə eyni fikir son iki rəqəmə aparır: 3716 = 37 · 100 + 16.
- nyoxlanılan ədəd
- aonluqların sayı (son rəqəmi silinmiş n)
- bson rəqəm
n ədədi 2-yə yalnız son rəqəmi cüt (0, 2, 4, 6, 8) olduqda, 5-ə yalnız son rəqəmi 0 və ya 5 olduqda, 10-a isə yalnız son rəqəmi 0 olduqda bölünür.
- ayüzlüklərin sayı (son iki rəqəmi silinmiş n)
- bson iki rəqəmin əmələ gətirdiyi ədəd
n ədədi 4-ə yalnız son iki rəqəmi 4-ə bölünən ədəd (00, 04, 08, 12, …, 96) əmələ gətirdikdə, 25-ə isə yalnız son iki rəqəmi 00, 25, 50 və ya 75 olduqda bölünür.
1470, 2385, 3716, 5450 və 7300 ədədlərindən hansıları 2-yə, 4-ə, 5-ə, 10-a, 25-ə bölünür?
Həllini göstərHəllini gizlət
2385: son rəqəm 5 → yalnız 5-ə bölünür (tək olduğu üçün 2-yə və 4-ə bölünmür; 85 ədədi 25-ə bölünmür).
3716: son rəqəm 6 → 2-yə bölünür; 16 ⋮ 4 → 4-ə də bölünür (3716 = 4 · 929); 5-ə, 10-a, 25-ə bölünmür.
5450: son rəqəm 0 → 2-yə, 5-ə, 10-a; 50 ⋮ 25 → 25-ə bölünür (5450 = 25 · 218), 50 isə 4-ə bölünmür.
7300: son iki rəqəm 00 → beşinə də bölünür.
3-ə və 9-a bölünmədə son rəqəm heç nə demir: 12 və 22 eyni rəqəmlə bitir, amma 12 ədədi 3-ə bölünür, 22 isə bölünmür. Burada başqa fikir işləyir: 10 = 9 + 1, 100 = 99 + 1, 1000 = 999 + 1. Hər mərtəbə vahidi 9-a bölünən ədəddən düz 1 artıqdır, ona görə ədədi mərtəbə toplananlarına ayırıb bu «artıq birləri» ayrıca toplamaq olar.
- 999, 99, 99-a (deməli, 3-ə də) bölünür — birinci mötərizə həmişə 9-a və 3-ə bölünür
- 4 + 5 + 2 + 7rəqəmlərin cəmi = 18
Ədəd 3-ə (9-a) yalnız rəqəmlərinin cəmi 3-ə (9-a) bölündükdə bölünür. Üstəlik, ədəd və onun rəqəmlərinin cəmi 3-ə və 9-a bölünəndə eyni qalığı verir. 4527 üçün cəm 18-dir, deməli, 4527 = 9 · 503.
1) 7236 ədədi 3-ə bölünürmü? 9-a?
2) Eyni sualı 4821 üçün cavablandır.
3) 52*4 ədədində * yerinə hansı rəqəm yazılsa, ədəd 9-a bölünər?
4) Həmin ədəd 3-ə bölünsün deyə * yerinə hansı rəqəmləri yazmaq olar?
Həllini göstərHəllini gizlət
2) 4 + 8 + 2 + 1 = 15 — 3-ə bölünür, 9-a yox: yalnız 3-ə (4821 = 3 · 1607).
3) 5 + 2 + 4 = 11. 11 + * cəmi 9-a bölünməlidir; * 0-dan 9-a qədər rəqəm olduğundan cəm 11-dən 20-yə qədərdir və yalnız 18 uyğundur: * = 7 (5274 = 9 · 586).
4) 11 + * cəmi 12, 15 və ya 18 olmalıdır: * = 1, 4 və ya 7 (5214, 5244, 5274).
| Bölən | Əlamət | Bölünür | Bölünmür |
|---|---|---|---|
| 2 | son rəqəm cütdür | 3718 | 3715 |
| 3 | rəqəmlərin cəmi 3-ə bölünür | 552 (12) | 553 (13) |
| 4 | son iki rəqəmin əmələ gətirdiyi ədəd 4-ə bölünür | 1316 | 1318 |
| 5 | son rəqəm 0 və ya 5-dir | 735 | 736 |
| 9 | rəqəmlərin cəmi 9-a bölünür | 4527 (18) | 4528 (19) |
| 10 | son rəqəm 0-dır | 1290 | 1209 |
| 25 | son iki rəqəm 00, 25, 50 və ya 75-dir | 3475 | 3455 |
Sadə və mürəkkəb ədədlər
Düz iki natural böləni — 1 və özü — olan ədəd sadə ədəd adlanır: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, … İkidən çox böləni olan ədəd mürəkkəb ədəddir: 4, 6, 8, 9, 10, 12, … 1 ədədinin yalnız bir böləni var, ona görə o nə sadə, nə də mürəkkəb ədəddir.
2 yeganə cüt sadə ədəddir: qalan hər cüt ədədin ən azı üç böləni var — 1, 2 və özü. Ədədin sadə olub-olmadığını yoxlamaq üçün onu ardıcıl olaraq 2, 3, 5, 7, 11, … sadə ədədlərinə bölürük. Hamısını yoxlamaq lazım deyil: n = a · b və a ≤ b olarsa, a · a ≤ n olur. Deməli, n mürəkkəbdirsə, onun kvadratı n-dən böyük olmayan sadə böləni mütləq var.
- nyoxlanılan ədəd
- pbölən kimi yoxladığımız sadə ədədlər: 2, 3, 5, 7, 11, 13, …
p · p ≤ n şərtini ödəyən sadə ədədlərin heç biri n-i bölmürsə, n sadə ədəddir. 100-dən kiçik ədədlər üçün 2, 3, 5 və 7-ni yoxlamaq kifayətdir, çünki 11 · 11 = 121.
Ədədin sadə, yoxsa mürəkkəb olduğunu müəyyən et: 1) 97; 2) 91; 3) 143; 4) 211.
Həllini göstərHəllini gizlət
2) 91 = 7 · 13 — mürəkkəbdir. «Sadə görünən» məşhur tələ!
3) 2, 3, 5, 7 bölmür, amma 143 = 11 · 13 — mürəkkəbdir.
4) 13 · 13 = 169 ≤ 211, 17 · 17 = 289 > 211, deməli, 13-ə qədər sadə ədədləri yoxlayırıq: 211 təkdir, rəqəmlərinin cəmi 4-dür, 1 ilə bitir; 211 = 7 · 30 + 1 = 11 · 19 + 2 = 13 · 16 + 3. Heç biri bölmür: 211 sadədir.
Kiçik sadə ədədlərin hamısını birdən tapmağın sadə yolu var. O, qədim yunan alimi Eratosfenin adı ilə bağlıdır: mürəkkəb ədədləri sanki xəlbirdən keçirib atırıq, sadə ədədlər isə qalır. Bu üsul Eratosfen xəlbiri adlanır.
- 1Ədədləri yaz
1-dən 100-ə qədər ədədləri yaz və 1-i sil: o sadə ədəd deyil.
- 22-ni saxla
2 ilk sadə ədəddir: onu dairəyə al və ondan sonra gələn hər ikinci ədədi sil: 4, 6, 8, …
- 33, 5 və 7
Silinməmiş ilk ədəd — 3 — sadədir: onu dairəyə al və 3-ün bölünənlərini sil. Sonra eynisini 5 və 7 ilə et. p ədədinin bölünənlərini p · p-dən başlayaraq silmək kifayətdir: 7 üçün 49-dan, çünki 14, 21, …, 42 artıq silinib.
- 4Dayan
Növbəti sadə ədəd 11-dir, amma 11 · 11 = 121 > 100, ona görə iş bitib: silinməmiş bütün ədədlər sadədir. 100-ə qədər onlar 25 dənədir.
Sadə vuruqlara ayırma
Mürəkkəb ədədi iki kiçik vuruğun hasili kimi yazmaq olar, onların mürəkkəb olanlarını yenə vuruqlara ayırmaq olar və s. — ta ki yalnız sadə ədədlər qalana qədər. Nəticə ədədin sadə vuruqlara ayrılışıdır. Arifmetikanın əsas teoremi deyir ki, bu ayrılış yeganədir: haradan başlasan da, vuruqların yeri nəzərə alınmasa, eyni sadə ədədləri alırsan.
- n1-dən böyük natural ədəd
- p₁, p₂, …, pₖsadə ədədlər; təkrarlana bilər, eyni vuruqlar qüvvət şəklində yazılır: 2 · 2 · 2 = 2³
Sadə ədədin ayrılışı bir vuruqdan — özündən ibarətdir: 13 = 13. Hər mürəkkəb ədədin ayrılışı isə vuruqların yeri nəzərə alınmasa yeganədir.
Ayrılışı tapmağın iki rahat üsulu var. Vuruqlar ağacında ədədi istənilən iki vuruğa ayırır, sonra hər budağı ayrıca davam etdiririk; budaqların ucunda sadə ədədlər qalır. Sütun üsulunda isə şaquli xətt çəkir, ədədi solda yazır və onu hər dəfə ən kiçik sadə böləninə bölürük: sağda sadə vuruqlar, solda qismətlər toplanır.
1) 180 ədədini vuruqlar ağacı ilə iki cür ayır: 10 · 18 və 4 · 45 hasillərindən başlayaraq.
2) Ayrılışı 2³ · 3 · 5² olan ədədi tap.
Həllini göstərHəllini gizlət
180 = 4 · 45; 4 = 2 · 2, 45 = 5 · 9 = 5 · 3 · 3. Budaqların ucunda: 2, 2, 5, 3, 3.
Hər iki halda 180 = 2² · 3² · 5.
2) 2³ · 3 · 5² = 8 · 3 · 25. Rahat qaydada vuraq: 8 · 25 = 200, 200 · 3 = 600.
- 1Ədədi yaz
Şaquli xətt çək və ədədi xəttin soluna yaz.
- 2Ən kiçik sadə böləni tap
Bölünmə əlamətləri ilə 2, 3, 5, 7, … ədədlərini yoxla və ədədi bölən ilk sadə ədədi xəttin sağına yaz.
- 3Qisməti aşağı yaz
Bölmənin nəticəsini solda, ədədin altında yaz və 2-ci addımı təkrarla.
- 41-də dayan
Solda 1 alınanda sağdakı sadə ədədləri vur və eyni vuruqları qüvvət şəklində yaz.
Sütun üsulu ilə sadə vuruqlara ayır: 1) 360; 2) 1001.
Həllini göstərHəllini gizlət
180 | 2
90 | 2
45 | 3
15 | 3
5 | 5
1 |
360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 2³ · 3² · 5.
2) 1001 ədədi 2-yə (təkdir), 3-ə (rəqəmlərinin cəmi 2-dir) və 5-ə bölünmür, 7-yə isə bölünür:
1001 | 7
143 | 11
13 | 13
1 |
1001 = 7 · 11 · 13.
- 1.360 = 2³ · 3² ·
- 2.1001 = 7 · 11 ·
- 3.221 = 13 ·
- 4.36 ədədi 9-a bölünür (bir rəqəm yaz)
- 5.100-ə qədər sadə ədədlərin sayı:
- 6.2² · 3 · 5 ədədinin bölənlərinin sayı:
İndi bölənləri tapa, ədədin sadə olub-olmadığını yoxlaya və onu sadə vuruqlara ayıra bilirsən. Növbəti dərsdə — «Ən böyük ortaq bölən və ən kiçik ortaq bölünən» dərsində sadə vuruqlara ayırma əsas alətə çevriləcək: iki ədədin ayrılışlarını müqayisə edib onların ƏBOB-unu və ƏKOB-unu dərhal tapacaqsan. Ayrılış «Onluq kəsrlər» dərsində də lazım olacaq.
Əsas fikirlər
- a = b · k olarsa, b ədədi a-nın bölənidir, a isə b-nin bölünənidir. Bölənlər sonlu, bölünənlər sonsuz saydadır.
- Hər iki toplanan m-ə bölünürsə, cəm və fərq də bölünür; vuruqlardan biri m-ə bölünürsə, hasil də bölünür.
- 2, 5, 10 — son rəqəm; 4, 25 — son iki rəqəm; 3, 9 — rəqəmlərin cəmi.
- Sadə ədədin düz iki böləni var; 1 nə sadə, nə mürəkkəbdir; 2 yeganə cüt sadə ədəddir. n-i yoxlamaq üçün p · p ≤ n olan sadə ədədləri sına.
- Hər mürəkkəb ədəd sadə vuruqların hasilinə yeganə şəkildə ayrılır: vuruqlar ağacı və ya sütun üsulu ilə.
Özünü yoxla
12 sual. Hər düzgün cavab XP qazandırır.