Məzmuna keç
Educora
AZ
AzərbaycancaEnglishРусскийTürkçe
Mənim səhifəmEducora StudioParametrlər
Başlanğıc5–6-cı sinif20 dəq5 / 82

Adi kəsrlər: anlayış, ixtisar və müqayisə

Kəsr bütövün hissəsi və bölmənin nəticəsi kimi, düzgün və düzgün olmayan kəsrlər, qarışıq ədədlər, kəsrin əsas xassəsi, ixtisar, ƏKOB vasitəsilə ortaq məxrəc, kəsrlərin müqayisəsi və koordinat şüasında yeri.

Özünü yoxla
Bu dərsdə öyrənəcəksən
  • Kəsri bütövün hissəsi və bölmənin nəticəsi kimi izah etmək
  • Düzgün olmayan kəsri qarışıq ədədə və qarışıq ədədi düzgün olmayan kəsrə çevirmək
  • Kəsrin əsas xassəsi ilə kəsrləri ixtisar etmək və yeni məxrəcə gətirmək
  • Kəsrləri ortaq məxrəcə gətirib müqayisə etmək və koordinat şüasında göstərmək

Leyla pizzasını 8 bərabər dilimə bölüb 3 dilim yedi. Murad eyni ölçülü pizzasını 4 bərabər dilimə bölüb 2 dilim yedi. Kim çox yedi? Leyla daha çox dilim yeyib, amma onun dilimləri iki dəfə kiçikdir. Leyla pizzanın 3/8 hissəsini, Murad isə 2/4 hissəsini, yəni düz yarısını yedi. 2/4 = 4/8 və 4/8 > 3/8 olduğundan Murad daha çox yeyib. Bu dərsdə belə sualları tez və dəqiq cavablandırmağı öyrənəcəksən.

Burada iki köməkçimiz olacaq: «Ən böyük ortaq bölən və ən kiçik ortaq bölünən» dərsindən tanış olan ƏBOB kəsri ixtisar etməyə, ƏKOB isə ortaq məxrəc tapmağa kömək edir. Kəsrləri toplamaq, çıxmaq, vurmaq və bölmək isə növbəti dərsin — «Adi kəsrlər üzərində əməllər» dərsinin mövzusudur.

Kəsr nədir: bütövün hissəsi və bölmənin nəticəsi

Bütövü — pizzanı, zolağı, 1 saatı, 1 km yolu — b bərabər hissəyə bölək və onlardan a hissə götürək. Götürdüyümüz miqdar a/b kəsri ilə yazılır. Kəsr xəttinin altındakı ədəd hissələrin «adını» verir (səkkizdə bir, dörddə bir), üstündəki ədəd isə onları sayır. Vacib şərt: hissələr bərabər olmalıdır — pizzanı müxtəlif ölçülü 8 dilimə kəssək, bir dilim 1/8 olmayacaq.

Tərif
Adi kəsr

a və b natural ədədlər olmaqla a/b şəklində yazılan ədəd. a — surət, b — məxrəc, aradakı xətt isə kəsr xətti adlanır. 3/8 belə oxunur: «səkkizdə üç».

a/b = a : ba/b = a : b
burada:
  • asurət — götürülən bərabər hissələrin sayı (bölünən)
  • bməxrəc — bütövün neçə bərabər hissəyə bölündüyü (bölən, b ≠ 0)

Kəsr xətti bölmə işarəsidir: iki natural ədədin qisməti həmişə kəsr şəklində yazıla bilər.

Niyə a/b = a : b? 3 tortu 4 dost arasında bərabər bölək. Hər tortu 4 bərabər hissəyə kəssək, 12 hissə alınar və hər dosta 3 hissə, yəni 3/4 tort düşər. Deməli, 3 : 4 = 3/4. Buradan iki nəticə çıxır: hər natural ədəd məxrəci 1 olan kəsrdir (5 = 5/1), surəti məxrəcinə bərabər olan kəsr isə 1-ə bərabərdir (7/7 = 1).

Kəsrin mənası

1) İldə 12 ay var. Yay ayları ilin hansı hissəsini təşkil edir?
2) 5 m lent 8 uşaq arasında bərabər bölünür. Hər uşağa neçə metr düşür?
3) 18/6 və 7/7 kəsrləri hansı ədədlərə bərabərdir?

Həllini göstər
1) Bütöv 12 aydır, götürülən hissə isə 3 yay ayıdır: 3/12. Bir az sonra bunun 1/4 olduğunu görəcəyik.
2) Kəsr bölmənin nəticəsidir: 5 : 8 = 5/8 m.
3) 18/6 = 18 : 6 = 3; 7/7 = 7 : 7 = 1.
İnteraktiv
Simulyasiya yüklənir…
Surəti və məxrəci dəyiş: kəsrin dairədə və zolaqda necə göründüyünə, ona bərabər kəsrlərə, onluq kəsrə və faizə bax.

Düzgün və düzgün olmayan kəsrlər. Qarışıq ədədlər

Tərif
Düzgün və düzgün olmayan kəsr

Surəti məxrəcindən kiçik olan kəsr düzgün kəsrdir (3/8, 5/6) və həmişə 1-dən kiçikdir. Surəti məxrəcinə bərabər və ya ondan böyük olan kəsr düzgün olmayan kəsrdir (7/4, 9/9) və 1-dən kiçik deyil.

Tərif
Qarışıq ədəd

Natural ədədlə düzgün kəsrin «+» işarəsi yazılmadan göstərilən cəmi: 1 tam 3/4 = 1 + 3/4. Burada 1 tam hissə, 3/4 isə kəsr hissə adlanır.

Düzgün olmayan kəsrin içində tam hissələr «gizlənib». 7/4 pizza dörddə bir ölçüdə 7 dilim deməkdir: onlardan 4-ü bir bütöv pizza düzəldir, 3-ü qalır. Deməli, 7/4 = 1 tam 3/4. Başqa sözlə, 7-ni 4-ə qalıqla bölürük: natamam qismət tam hissəni, qalıq isə yeni surəti verir.

a/b = q tam r/b, a = b · q + ra/b = q tam r/b, a = b · q + r
burada:
  • qa : b bölməsində natamam qismət — tam hissə
  • rqalıq (r < b) — kəsr hissənin surəti
  • bməxrəc dəyişmir

Düzgün olmayan kəsri qarışıq ədədə çevirmək üçün surəti məxrəcə qalıqla bölürük. Qalıq 0 olarsa, kəsr natural ədədə bərabərdir.

Düzgün olmayan kəsrdən qarışıq ədədə

Qarışıq ədəd və ya natural ədəd şəklində yaz: 1) 17/5; 2) 23/4; 3) 24/6.

Həllini göstər
1) 17 : 5 = 3 (qalıq 2), deməli, 17/5 = 3 tam 2/5.
2) 23 : 4 = 5 (qalıq 3), deməli, 23/4 = 5 tam 3/4.
3) 24 : 6 = 4 (qalıq 0), deməli, 24/6 = 4.
Yoxlama: 3 · 5 + 2 = 17, 5 · 4 + 3 = 23.

Əks çevirmə də eyni fikrə əsaslanır: 2 tam 3/7 ədədində hər tam yeddidə bir ölçüdə 7 hissədir, iki tam 14 belə hissə edir, üstəgəl daha 3 hissə — cəmi 17/7.

q tam r/b = (q · b + r)/bq tam r/b = (q · b + r)/b
burada:
  • qtam hissə
  • r/br/bkəsr hissə

Tam hissəni məxrəcə vur, surəti əlavə et, məxrəci saxla.

Qarışıq ədəddən düzgün olmayan kəsrə

1) 2 tam 3/7 və 4 tam 1/6 ədədlərini düzgün olmayan kəsr şəklində yaz.
2) 5 ədədini məxrəci 3 olan kəsr şəklində yaz.

Həllini göstər
1) 2 tam 3/7 = (2 · 7 + 3)/7 = 17/7; 4 tam 1/6 = (4 · 6 + 1)/6 = 25/6.
2) Kəsr hissə yoxdur (r = 0): 5 = (5 · 3)/3 = 15/3. Yoxlama: 15 : 3 = 5.

Kəsrin əsas xassəsi. Kəsrlərin ixtisarı

Yarım pizzanı götürək: bu, 1/2-dir. Hər dilimi iki yerə kəssək, dilimlər 2 dəfə çox (4), götürülənlər də 2 dəfə çox (2) olar, pizzanın miqdarı isə dəyişməz: 1/2 = 2/4. Yenə kəssək, 4/8 alarıq. Surət və məxrəc eyni dəfə artdı, kəsrin qiyməti isə eyni qaldı.

a/b = (a · k)/(b · k) = (a : m)/(b : m)a/b = (a · k)/(b · k) = (a : m)/(b : m)
burada:
  • kistənilən natural ədəd: kəsr yeni məxrəcə gətirilir
  • ma və b ədədlərinin ortaq böləni: kəsr ixtisar olunur

Kəsrin əsas xassəsi: surəti və məxrəci eyni natural ədədə vurduqda və ya böldükdə kəsrin qiyməti dəyişmir. Belə kəsrlər bərabər kəsrlər adlanır.

Kəsri yeni məxrəcə gətirmək

1) 3/5 kəsrini məxrəci 20 olan kəsr şəklində yaz.
2) Boş yeri doldur: 5/8 = 35/?
3) 3/4 kəsrini məxrəci 10 olan kəsr şəklində yazmaq olarmı?

Həllini göstər
1) Əlavə vuruq: 20 : 5 = 4. 3/5 = (3 · 4)/(5 · 4) = 12/20.
2) Surət 5-dən 35-ə, yəni 7 dəfə artıb. Məxrəc də 7 dəfə artmalıdır: 8 · 7 = 56, 5/8 = 35/56.
3) 10 : 4 natural ədəd deyil, ona görə 3/4 kəsrini natural surətli və məxrəci 10 olan kəsr şəklində yazmaq olmaz. Məxrəci 100 isə ola bilər: 3/4 = 75/100.
Tərif
Kəsrin ixtisarı

Surəti və məxrəci onların ortaq böləninə bölmək. Surəti və məxrəci qarşılıqlı sadə olan (ƏBOB = 1) kəsr ixtisar olunmayan kəsr adlanır; kəsri ƏBOB-a bölmək onu bir addımda ixtisar olunmayan hala gətirir.

  1. 1
    ƏBOB-u tap

    Surətin və məxrəcin ən böyük ortaq bölənini tap (bölənləri sadalayaraq və ya sadə vuruqlara ayıraraq).

  2. 2
    Hər ikisini böl

    Surəti və məxrəci ƏBOB-a böl.

  3. 3
    Yoxla

    Yeni surətlə məxrəcin 1-dən başqa ortaq böləni olmamalıdır. ƏBOB-u tapmaq çətindirsə, kiçik ortaq bölənlərə (2, 3, 5 …) ardıcıl böl — nəticə eyni olacaq.

Kəsrlərin ixtisarı

İxtisar et: 1) 18/24; 2) 42/56; 3) 35/63; 4) 120/180.

Həllini göstər
1) ƏBOB(18; 24) = 6: 18/24 = 3/4.
2) ƏBOB(42; 56) = 14: 42/56 = 3/4.
3) ƏBOB(35; 63) = 7: 35/63 = 5/9.
4) Addım-addım: 120/180 = 12/18 (10-a böldük) = 2/3 (6-ya böldük). Bir addımda: ƏBOB(120; 180) = 60.
İndi birinci nümunənin cavabı da aydındır: 3/12 = 1/4, yəni yay ilin dörddə biridir.

Ortaq məxrəc və kəsrlərin müqayisəsi

5/6 və 7/8 kəsrlərindən hansı böyükdür? Altıda birlərlə səkkizdə birləri birbaşa müqayisə etmək olmur — hissələr müxtəlif ölçüdədir. Əsas xassə kömək edir: hər iki kəsri ona bərabər, lakin eyni məxrəcli kəsrlə əvəz edirik. Bu ortaq məxrəc hər iki məxrəcə bölünməlidir, ən kiçiyi isə məxrəclərin ƏKOB-udur — onunla ədədlər kiçik qalır.

K = ƏKOB(b; d), a/b = (a · m)/K, m = K : bK = ƏKOB(b; d), a/b = (a · m)/K, m = K : b
burada:
  • b, dmüqayisə olunan kəsrlərin məxrəcləri
  • Kən kiçik ortaq məxrəc
  • məlavə vuruq — K ədədinin məxrəcə bölünməsindən alınan qismət

Hər kəsrin surətini və məxrəcini öz əlavə vuruğuna vururuq; ikinci kəsr üçün də eyni qayda: c/d = (c · (K : d))/K.

  1. 1
    Məxrəclərin ƏKOB-unu tap

    Böyük məxrəcin bölünənlərini yoxla: 6 və 8 üçün 8, 16, 24 — 24 altıya bölünür, deməli, K = 24.

  2. 2
    Əlavə vuruqları tap

    K ədədini hər məxrəcə böl: 24 : 6 = 4, 24 : 8 = 3.

  3. 3
    Vur və müqayisə et

    Hər kəsrin surətini və məxrəcini öz vuruğuna vur: 5/6 = 20/24, 7/8 = 21/24. 21 > 20 olduğundan 7/8 > 5/6.

İki xüsusi hal hesabı qısaldır. Məxrəclərdən biri digərinə bölünürsə, böyük məxrəc ortaq məxrəcdir (3/4 və 5/12 üçün 12). Məxrəclər qarşılıqlı sadədirsə, ortaq məxrəc onların hasilidir (2/5 və 3/7 üçün 35).

Ortaq məxrəcə gətirmə

Ən kiçik ortaq məxrəcə gətir: 1) 3/4 və 5/12; 2) 2/5 və 3/7; 3) 1/4, 5/6 və 7/9.

Həllini göstər
1) 12 ədədi 4-ə bölünür, K = 12: 3/4 = 9/12, 5/12 dəyişmir.
2) 5 və 7 qarşılıqlı sadədir, K = 35: 2/5 = 14/35, 3/7 = 15/35.
3) ƏKOB(4; 6; 9) = 36; əlavə vuruqlar 9, 6 və 4: 1/4 = 9/36, 5/6 = 30/36, 7/9 = 28/36.
HalQaydaNümunə
Məxrəclər eynidirSurəti böyük olan kəsr böyükdür5/9 > 4/9
Surətlər eynidirMəxrəci kiçik olan kəsr böyükdür: hissələr daha iridir5/7 > 5/9
Surətlər də, məxrəclər də fərqlidirOrtaq məxrəcə gətir, sonra surətləri müqayisə et2/3 = 10/15 > 9/15 = 3/5
Düzgün və düzgün olmayan kəsrDüzgün kəsr < 1 ≤ düzgün olmayan kəsr11/12 < 1 < 12/11
Müqayisə və sıralama

1) 2/3 və 3/5 kəsrlərini müqayisə et.
2) 2/3, 3/5 və 7/10 kəsrlərini artan sıra ilə düz.
3) Hansı böyükdür: 11/12 yoxsa 12/11?

Həllini göstər
1) K = 15: 2/3 = 10/15, 3/5 = 9/15. 10 > 9, deməli, 2/3 > 3/5.
2) K = 30: 2/3 = 20/30, 3/5 = 18/30, 7/10 = 21/30. Surətlər 18 < 20 < 21, deməli, 3/5 < 2/3 < 7/10.
3) 11/12 düzgün kəsrdir (< 1), 12/11 isə düzgün olmayan kəsrdir (> 1), ona görə 12/11 > 11/12 — heç nə hesablamağa ehtiyac yoxdur.

Kəsrlər koordinat şüasında

Koordinat şüasında 0-dan 1-ə qədər olan vahid parçanı b bərabər hissəyə bölək və 0-dan sağa a hissə sayaq — a/b nöqtəsini alarıq. Düzgün kəsrlər 0 ilə 1 arasında, düzgün olmayan kəsrlər 1-də və ya ondan sağda yerləşir; q tam r/b qarışıq ədədi isə q ilə q + 1 arasındadır. Bərabər kəsrlər eyni nöqtədir (1/2, 2/4 və 4/8 üst-üstə düşür), iki kəsrdən sağda olanı böyükdür.

0123/45/43/2
5/4 = 1 tam 1/4 və 3/2 = 6/4 = 1 tam 1/2: düzgün olmayan kəsrlər 1-dən sağdadır.
Koordinat şüası ilə

1) Vahid parça 6 xanaya bərabərdir. 5/6, 7/6 və 1 tam 1/2 nöqtələri 0-dan neçə xana sağdadır?
2) 1/3 ilə 1/2 arasında yerləşən bir kəsr tap.
3) 17/5 ilə 31/4 arasında hansı natural ədədlər yerləşir?

Həllini göstər
1) Bir xana vahidin 1/6 hissəsidir. 5/6 — 5 xana, 7/6 — 7 xana, 1 tam 1/2 = 3/2 = 9/6 — 9 xana.
2) Məxrəc 6 olanda 2/6 və 3/6 alınır — aralarında məxrəci 6 olan kəsr yoxdur. Məxrəci 12 götürək: 4/12 və 6/12, aralarında 5/12 var.
3) 17/5 = 3 tam 2/5, 31/4 = 7 tam 3/4. Aralarında 4, 5, 6 və 7 yerləşir.
Özünü yoxla
  1. 1.15/25 = 3/
  2. 2.2 tam 1/3 = /3
  3. 3.29/6 = 4 tam /6
  4. 4.3/8 = /40
  5. 5.4/9 və 5/12 üçün ən kiçik ortaq məxrəc:
  6. 6.2/3 5/8 (>, < və ya = işarəsini yaz)

Kəsri ixtisar etməyi, ortaq məxrəcə gətirməyi və müqayisə etməyi bacarırsansa, onlarla hesablamaya hazırsan: «Adi kəsrlər üzərində əməllər» dərsində bu bacarıqların hamısı toplama və çıxmada lazım olacaq.

Əsas fikirlər

  • a/b kəsrində məxrəc b bütövün neçə bərabər hissəyə bölündüyünü, surət a neçəsinin götürüldüyünü göstərir; kəsr xətti bölmədir: a/b = a : b.
  • Düzgün kəsr 1-dən kiçikdir; düzgün olmayan kəsr qalıqla bölmə ilə qarışıq ədədə çevrilir (23/4 = 5 tam 3/4), əks çevirmə isə (q · b + r)/b düsturu ilə aparılır.
  • Surəti və məxrəci eyni natural ədədə vurmaq və ya bölmək kəsrin qiymətini dəyişmir; ƏBOB-a bölmək kəsri dərhal ixtisar olunmayan edir.
  • Ən kiçik ortaq məxrəc məxrəclərin ƏKOB-udur, hər kəsrin əlavə vuruğu isə ƏKOB : məxrəc.
  • Eyni məxrəcdə surəti böyük olan, eyni surətdə məxrəci kiçik olan kəsr böyükdür; koordinat şüasında böyük kəsr sağda yerləşir.

Özünü yoxla

12 sual. Hər düzgün cavab XP qazandırır.

1 / 12
5/8 kəsrinin məxrəci hansı ədəddir?