Məzmuna keç
Educora
AZ
AzərbaycancaEnglishРусскийTürkçe
Mənim səhifəmEducora StudioParametrlər
İrəli9–10-cu sinif25 dəq43 / 82

Funksiya və onun xassələri

Funksiyanın tərifi və verilmə üsulları, təyin oblastı və qiymətlər çoxluğu, sıfırlar və işarəsabitlik aralıqları, artma və azalma, cüt və tək funksiyalar, dövrilik, qrafiklərin çevrilməsi (sürüşdürmə, dartılma, əks etdirmə, |f(x)|), y = k/x, √x, |x|, x³ qrafikləri və tərs funksiya.

Özünü yoxla
Bu dərsdə öyrənəcəksən
  • Funksiyanın təyin oblastını və qiymətlər çoxluğunu düsturdan tapmaq
  • Sıfırları, işarəsabitlik aralıqlarını, artma və azalmanı, cütlüyü, təkliyi və dövriliyi araşdırmaq
  • Əsas funksiyaların qrafiklərindən sürüşdürmə, dartılma, əks etdirmə və modul vasitəsilə yeni qrafiklər qurmaq
  • Tərs funksiyanı tapmaq və onun qrafikini y = x düz xəttinə nəzərən simmetriya ilə qurmaq

Elvinin telefonundakı hava proqnozu tətbiqi qış günü üçün temperatur qrafikini göstərir: günün hər anına bir temperatur uyğundur. Qrafikə baxan kimi suallara cavab veririk: ən isti və ən soyuq an nə vaxtdır, temperatur nə vaxt sıfırdan yuxarıdır, nə vaxt qalxır, nə vaxt düşür? Bu suallar istənilən funksiyaya verilə bilər, cavablarına isə funksiyanın xassələri deyilir. Bu dərsdə onları qrafiksiz, düsturun özündən tapmağı və bir qrafikdən yenilərini hesablamasız almağı öyrənəcəyik.

«Xətti funksiya və onun qrafiki» dərsində funksiya anlayışı ilə tanış olduq, «Kvadrat funksiya və onun qrafiki» dərsində parabolanı sürüşdürdük, «Kvadrat kök, n dərəcəli kök və rasional üstlü qüvvət» dərsində isə y = √x qrafikini gördük. İndi bu fikirləri istənilən funksiya üçün ümumiləşdiririk. Bu dil üstlü, loqarifmik və triqonometrik funksiyaları, sonra isə törəməni öyrənərkən lazım olacaq.

Funksiya, təyin oblastı və qiymətlər çoxluğu

Tərif
Funksiya

x dəyişəninin hər qiymətinə y dəyişəninin yeganə qiymətini uyğun qoyan qayda: y = f(x). x-in ala biləcəyi bütün qiymətlər təyin oblastı D(f), y-in aldığı bütün qiymətlər isə qiymətlər çoxluğu E(f) adlanır.

Funksiyanı dörd üsulla vermək olar: düsturla (y = x² − 1), cədvəllə (saatlara görə temperatur), qrafiklə və sözlə («hər natural ədədə onun bölənlərinin sayı»). Əyriyə baxıb onun funksiyanın qrafiki olub-olmadığını da demək olar: hər şaquli düz xətt onu ən çoxu bir nöqtədə kəsməlidir. x² + y² = 25 çevrəsi funksiyanın qrafiki deyil: x = 3 olduqda y = 4 də, y = −4 də alınır.

Düsturla verilmiş funksiyanın təyin oblastı düsturun mənalı olduğu bütün x-lərdir: məxrəc sıfır olmamalı, cüt dərəcəli kökün altı mənfi olmamalıdır (bu şərtləri «Kvadrat bərabərsizliklər və intervallar üsulu» dərsində ətraflı həll etdik). Qiymətlər çoxluğunu tapmaq daha çətindir. Ən etibarlı üsul belədir: a ədədi E(f)-ə o zaman daxildir ki, f(x) = a tənliyinin ən azı bir həlli olsun.

a ∈ E(f) ⇔ f(x) = a tənliyinin həlli var
burada:
  • D(f)təyin oblastı — x-in mümkün qiymətləri
  • E(f)qiymətlər çoxluğu — y-in aldığı qiymətlər
  • ayoxlanılan ədəd

x-i a vasitəsilə ifadə et və bunun hansı a üçün mümkün olduğunu tap. Sadə hallarda daha qısa yol var: (…)² ≥ 0, √(…) ≥ 0, |…| ≥ 0 hissələrini qiymətləndirmək.

Təyin oblastı və qiymətlər çoxluğu

1) y = √(8 − 2x) + 1/x funksiyasının təyin oblastını tap. Qiymətlər çoxluğunu tap: 2) y = x² − 4x + 7; 3) y = 3 − √(x + 1); 4) y = 4/(x² + 1); 5) y = (2x + 1)/(x − 1).

Həllini göstər
1) 8 − 2x ≥ 0 və x ≠ 0 ⇒ x ≤ 4, x ≠ 0. D = (−∞; 0) ∪ (0; 4].
2) Tam kvadratı ayırırıq: y = (x − 2)² + 3 ≥ 3, x = 2 olduqda isə y = 3. E = [3; +∞).
3) √(x + 1) mənfi olmayan istənilən qiyməti alır, ona görə y = 3 − √(x + 1) ≤ 3. E = (−∞; 3].
4) x² + 1 ≥ 1 ⇒ 0 < 4/(x² + 1) ≤ 4, x = 0 olduqda y = 4. E = (0; 4].
5) (2x + 1)/(x − 1) = a ⇒ 2x + 1 = ax − a ⇒ x(a − 2) = a + 1 ⇒ x = (a + 1)/(a − 2). Bu, a ≠ 2 olduqda mümkündür (x ≠ 1 şərti də ödənir, çünki a + 1 ≠ a − 2). E = (−∞; 2) ∪ (2; +∞).

Sıfırlar, işarə, artma və azalma

Tərif
Sıfırlar və işarəsabitlik aralıqları

f(x) = 0 olan x-lər funksiyanın sıfırlarıdır: orada qrafik Ox oxunu kəsir və ya ona toxunur. Funksiyanın işarəsini saxladığı aralıqlara işarəsabitlik aralıqları deyilir: f(x) > 0 olan yerdə qrafik Ox-dan yuxarıda, f(x) < 0 olan yerdə aşağıdadır.

x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂) — artan; x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂) — azalan
burada:
  • x₁, x₂aralıqdan götürülmüş istənilən iki qiymət
  • f(x₂) − f(x₁)isbatda işarəsi araşdırılan fərq

Artan funksiyada böyük arqumentə böyük qiymət uyğundur, qrafik soldan sağa qalxır. Artan və ya azalan funksiya hər qiyməti ən çoxu bir dəfə alır, ona görə f(x) = a tənliyinin ən çoxu bir kökü olur.

Sıfırlar, işarə və monotonluğun isbatı

1) f(x) = x³ − 4x funksiyasının sıfırlarını və işarəsabitlik aralıqlarını tap.
2) f(x) = 5 − 2x funksiyasının azalan olduğunu isbat et.
3) f(x) = 1/x funksiyasının (0; +∞) aralığında azalan olduğunu isbat et.
4) f(x) = x³ funksiyasının bütün ədəd oxunda artan olduğunu isbat et.

Həllini göstər
1) x³ − 4x = x(x − 2)(x + 2) = 0 ⇒ sıfırlar −2; 0; 2. İntervallar üsulu ilə (ən sağda «+»): f(x) > 0 — (−2; 0) ∪ (2; +∞), f(x) < 0 — (−∞; −2) ∪ (0; 2).
2) x₁ < x₂ olsun. f(x₂) − f(x₁) = (5 − 2x₂) − (5 − 2x₁) = −2(x₂ − x₁) < 0, çünki x₂ − x₁ > 0. Deməli, f(x₂) < f(x₁) — funksiya azalandır.
3) 0 < x₁ < x₂ olsun. f(x₂) − f(x₁) = 1/x₂ − 1/x₁ = (x₁ − x₂)/(x₁x₂). Surət mənfi, məxrəc müsbətdir, deməli, fərq mənfidir — funksiya azalandır.
4) x₂³ − x₁³ = (x₂ − x₁)(x₂² + x₁x₂ + x₁²). İkinci mötərizə (x₂ + x₁/2)² + ¾x₁² şəklində yazılır və x₁ ≠ x₂ olduqda müsbətdir. Deməli, x₁ < x₂ ⇒ x₁³ < x₂³ — funksiya artandır.

Belə isbatlar yalnız sadə funksiyalarda asandır. «Funksiyanın artma və azalma aralıqları. Ekstremumlar» dərsində törəmə eyni suala istənilən funksiya üçün bir addımda cavab verəcək.

Cüt və tək funksiyalar. Dövri funksiyalar

y = x² qrafiki Oy oxuna nəzərən simmetrikdir, çünki x və −x eyni qiymət verir. y = x³ qrafiki isə koordinat başlanğıcına nəzərən simmetrikdir: (2; 8) nöqtəsinin qarşısında (−2; −8) nöqtəsi durur. Bu iki simmetriya işi yarıya endirir: qrafikin sağ yarısını qurub onu əks etdirmək kifayətdir.

f(−x) = f(x) — cüt funksiya; f(−x) = −f(x) — tək funksiya
burada:
  • D(f)−x də təyin oblastına daxil olmalıdır: oblast 0-a nəzərən simmetrikdir
  • f(−x)x-in yerinə −x qoyulub sadələşdirilmiş ifadə

Cüt funksiyanın qrafiki Oy oxuna, tək funksiyanın qrafiki koordinat başlanğıcına nəzərən simmetrikdir. Funksiyaların çoxu nə cüt, nə də təkdir.

  1. 1
    Təyin oblastı

    Oblast 0-a nəzərən simmetrik deyilsə, funksiya nə cüt, nə də təkdir — yoxlama burada bitir.

  2. 2
    f(−x)-i hesabla

    x-in yerinə −x yaz və sadələşdir: (−x)² = x², (−x)³ = −x³, |−x| = |x|.

  3. 3
    Müqayisə et

    f(−x) = f(x) — cüt, f(−x) = −f(x) — tək. Heç biri alınmırsa, bunu bir ədədlə göstər: məsələn, f(−1) ≠ f(1) və f(−1) ≠ −f(1).

Cüt, tək, yoxsa heç biri?

Funksiyanın cüt, yoxsa tək olduğunu müəyyən et: 1) f(x) = x⁴ − 3x²; 2) f(x) = x³ + 2x; 3) f(x) = x/(x² + 1); 4) f(x) = x² + x; 5) f(x) = √x; 6) f(x) = |x| − x².

Həllini göstər
1) f(−x) = (−x)⁴ − 3(−x)² = x⁴ − 3x² = f(x) — cüt.
2) f(−x) = −x³ − 2x = −(x³ + 2x) = −f(x) — tək.
3) f(−x) = −x/(x² + 1) = −f(x) — tək.
4) f(1) = 2, f(−1) = 0: f(−1) ≠ f(1) və f(−1) ≠ −f(1) — nə cüt, nə tək.
5) D(f) = [0; +∞) simmetrik deyil — nə cüt, nə tək.
6) |−x| − (−x)² = |x| − x² = f(x) — cüt.

Bəzi proseslər eyni vaxtdan sonra təkrarlanır: saatın əqrəbləri, gecə ilə gündüzün növbələşməsi, Ayın fazaları. Riyaziyyatda belə funksiyalara dövri deyilir. Ən vacib nümunələr sin x və cos x funksiyalarıdır, onların dövrü 2π-dir — onları «Triqonometrik funksiyalar və onların qrafikləri» dərsində ətraflı öyrənəcəyik.

f(x + T) = f(x)
burada:
  • Tdövr: T ≠ 0 ədədi; adətən ən kiçik müsbət dövr göstərilir
  • xtəyin oblastından istənilən ədəd (x ± T də oradadır)

T dövrdürsə, 2T, 3T, −T də dövrdür: f(x + nT) = f(x). Qrafik uzunluğu T olan bir hissənin təkrarından ibarətdir.

Dövri funksiyanın qiymətləri

f funksiyasının dövrü 4-dür, f(1) = 3 və f(2) = −1. 1) f(9), f(−6) və f(2026)-nı tap. 2) Əlavə olaraq f tək funksiyadırsa, f(7)-ni tap.

Həllini göstər
1) 9 = 1 + 2 · 4 ⇒ f(9) = f(1) = 3. −6 = 2 − 2 · 4 ⇒ f(−6) = f(2) = −1. 2026 = 4 · 506 + 2 ⇒ f(2026) = f(2) = −1: həlledici olan 4-ə bölmədə qalıqdır.
2) 7 = −1 + 2 · 4 ⇒ f(7) = f(−1) = −f(1) = −3.

Əsas funksiyalar və qrafiklərin çevrilməsi

Aşağıdakı dörd funksiyanın qrafiklərini tanımaq lazımdır: çevrilmələr onlardan çoxlu yeni qrafik yaradır. y = k/x funksiyasının qrafiki hiperboladır: k > 0 olduqda onun qolları I və III rüblərdə, k < 0 olduqda II və IV rüblərdə yerləşir; qollar oxlara getdikcə yaxınlaşır, amma onları heç vaxt kəsmir.

FunksiyaD(f)E(f)Cüt/təkMonotonluq
y = k/x (k > 0)x ≠ 0y ≠ 0tək(−∞; 0) və (0; +∞) aralıqlarının hər birində azalır
y = √x[0; +∞)[0; +∞)nə cüt, nə təkartan
y = |x|(−∞; +∞)[0; +∞)cüt(−∞; 0] aralığında azalır, [0; +∞) aralığında artır
y = x³(−∞; +∞)(−∞; +∞)təkartan
Qrafiklər: hiperbola, «yarımparabola», «V» hərfi və kubik parabola. k < 0 olduqda y = k/x hər aralıqda ayrılıqda artır.

İstənilən y = f(x) qrafikindən düsturu azca dəyişməklə yeni qrafiklər alınır. Qaydanı yadda saxlamaq asandır: x ilə edilən dəyişiklik qrafiki üfüqi istiqamətdə və «tərsinə», bütün funksiya ilə edilən dəyişiklik isə şaquli istiqamətdə və «olduğu kimi» dəyişir. Parabolanın sürüşdürülməsini «Kvadrat funksiya və onun qrafiki» dərsində görmüşdük; indi bu qaydalar istənilən funksiya üçündür.

y = f(x − a) + b
burada:
  • aüfüqi sürüşmə: a > 0 — sağa, a < 0 — sola
  • bşaquli sürüşmə: b > 0 — yuxarı, b < 0 — aşağı

Qrafikin hər nöqtəsi (x; y) → (x + a; y + b) köçür. Təyin oblastı a qədər, qiymətlər çoxluğu b qədər sürüşür.

Sürüşdürmələr

Qrafikin necə alındığını söylə, təyin oblastını və qiymətlər çoxluğunu tap: 1) y = √(x − 2) + 1; 2) y = 2/(x + 1) − 3; 3) y = (x − 1)³ + 2.

Həllini göstər
1) y = √x qrafiki 2 vahid sağa və 1 vahid yuxarı: başlanğıc nöqtəsi (0; 0) → (2; 1). D = [2; +∞), E = [1; +∞).
2) y = 2/x hiperbolası 1 vahid sola və 3 vahid aşağı. Qrafik x = −1 və y = −3 düz xətlərinə yaxınlaşır (onlara asimptotlar deyilir). D: x ≠ −1, E: y ≠ −3. Yoxlama: x = 0 olduqda y = 2 − 3 = −1.
3) Kubik parabola 1 vahid sağa və 2 vahid yuxarı; simmetriya mərkəzi (0; 0) → (1; 2). D = E = (−∞; +∞).
y = k · f(x); y = f(kx); y = −f(x); y = f(−x); y = |f(x)|
burada:
  • k · f(x)Oy boyunca k dəfə dartılma (k > 1) və ya sıxılma (0 < k < 1): (x; y) → (x; ky)
  • f(kx)Ox boyunca k dəfə sıxılma (k > 1): (x; y) → (x/k; y)
  • −f(x), f(−x)Ox oxuna və Oy oxuna nəzərən əks etdirmə
  • |f(x)|Ox-dan aşağıdakı hissələr yuxarı əks etdirilir, qalanı dəyişmir

Bir neçə çevrilmə olanda ardıcıl işlə: əvvəl x ilə edilənlər (sürüşmə, sıxılma), sonra dartılma və əks etdirmə, sonra şaquli sürüşmə, xarici modul isə ən sonda.

Dartılma, əks etdirmə və modul

1) y = 2√x və y = √(4x) qrafiklərini müqayisə et. 2) y = √(−x) funksiyasının təyin oblastını tap. 3) y = |x² − 4| qrafikini qur və |x² − 4| = a tənliyinin həllərinin sayının a-dan necə asılı olduğunu tap.

Həllini göstər
1) √(4x) = √4 · √x = 2√x — eyni qrafikdir: Ox boyunca 4 dəfə sıxılma burada Oy boyunca 2 dəfə dartılma ilə eyni nəticə verir.
2) Bu, y = √x qrafikinin Oy oxuna nəzərən əksidir: −x ≥ 0 ⇒ D = (−∞; 0].
3) y = x² − 4 parabolasının sıfırları ±2-dir; −2 < x < 2 olduqda o, Ox-dan aşağıdadır. Bu hissəni yuxarı əks etdiririk: təpə (0; −4) → (0; 4). Həllərin sayı: a < 0 — 0; a = 0 — 2 (x = ±2); 0 < a < 4 — 4; a = 4 — 3 (x = 0 və x = ±2√2); a > 4 — 2.
İnteraktiv
Simulyasiya yüklənir…
Birinci qrafik y = √x, ikincisi y = k√(x − a) + b-dir. a qrafiki üfüqi, b şaquli sürüşdürür; k onu Oy boyunca dartır, k < 0 olduqda isə Ox oxuna nəzərən əks etdirir. Başlanğıc nöqtəsi həmişə (a; b)-dədir.

Tərs funksiya

y = 2x + 1 funksiyası x-dən y-i hesablayır. Bəzən əks sual lazımdır: y məlumdursa, x nədir? x = (y − 1)/2. Bu, yalnız f hər qiyməti bir dəfə alanda mümkündür — məsələn, f artan və ya azalandırsa. y = x² funksiyasının bütün ədəd oxunda tərsi yoxdur: y = 4 qiyməti həm x = 2, həm də x = −2 olduqda alınır.

Tərif
Tərs funksiya

f funksiyası hər qiymətini bir dəfə alırsa, E(f)-dən olan hər y-ə f(x) = y bərabərliyini ödəyən yeganə x-i uyğun qoyan g funksiyası f-in tərs funksiyasıdır. Adətən onun arqumentini yenə x ilə işarə edirik: y = g(x).

g(f(x)) = x, f(g(x)) = x; D(g) = E(f), E(g) = D(f)
burada:
  • gf-in tərsi; f⁻¹ kimi də yazılır
  • D, Etərs funksiyada təyin oblastı ilə qiymətlər çoxluğu yerini dəyişir

(a; b) nöqtəsi f-in qrafikinə aiddirsə, (b; a) nöqtəsi g-nin qrafikinə aiddir. Deməli, qarşılıqlı tərs funksiyaların qrafikləri y = x düz xəttinə nəzərən simmetrikdir.

  1. 1
    Tərs funksiya varmı?

    f hər qiyməti bir dəfə almalıdır (məsələn, artan və ya azalan olmalıdır).

  2. 2
    x-i ifadə et

    y = f(x) bərabərliyindən x-i y vasitəsilə ifadə et.

  3. 3
    Hərfləri dəyiş

    x ilə y-in yerini dəyiş: y = g(x).

  4. 4
    Oblastı yaz və yoxla

    D(g) = E(f). Yoxlama: g(f(x)) = x olmalıdır.

Tərs funksiyanı tapırıq

Tərs funksiyanı tap: 1) y = 2x + 1; 2) y = √(x − 2); 3) y = x³ − 1; 4) y = x², x ≥ 0.

Həllini göstər
1) x = (y − 1)/2 ⇒ y = (x − 1)/2. Yoxlama: f(3) = 7, g(7) = 3.
2) D(f) = [2; +∞), E(f) = [0; +∞). y² = x − 2 ⇒ x = y² + 2 ⇒ y = x² + 2, x ≥ 0 — parabolanın yalnız sağ qolu.
3) x³ = y + 1 ⇒ x = ∛(y + 1) ⇒ y = ∛(x + 1). Yoxlama: f(2) = 7, g(7) = ∛8 = 2.
4) x ≥ 0 olduqda funksiya artır; x = √y ⇒ y = √x. Qrafiklər y = x düz xəttinə nəzərən simmetrikdir. y = aˣ və y = logₐx funksiyaları da belə cütdür («Loqarifm və onun xassələri. Loqarifmik funksiya» dərsi).
İnteraktiv
Simulyasiya yüklənir…
y = ax + b və onun tərsi y = (x − b)/a. a və b-ni dəyiş: qrafiklər həmişə y = x düz xəttinə (üçüncü qrafik) nəzərən simmetrik qalır.
Özünü yoxla: boşluğu doldur
  1. 1.y = √(x − 5) funksiyasının təyin oblastı: x ≥
  2. 2.y = (x + 2)² − 7 funksiyasının ən kiçik qiyməti:
  3. 3.y = 2x − 6 funksiyasının tərsi: y = x/2 +

Əsas fikirlər

  • Funksiya hər x-ə yeganə y uyğun qoyur; D(f) — x-in mümkün qiymətləri, E(f) — alınan qiymətlər: a ∈ E(f) ⇔ f(x) = a tənliyinin həlli var.
  • Sıfırlar f(x) = 0 tənliyinin kökləridir; artan funksiyada x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂), azalanda f(x₁) > f(x₂); monoton funksiya hər qiyməti bir dəfə alır.
  • Cüt funksiya: f(−x) = f(x), qrafik Oy-a nəzərən simmetrikdir; tək funksiya: f(−x) = −f(x), qrafik koordinat başlanğıcına nəzərən simmetrikdir; təyin oblastı simmetrik olmalıdır.
  • Dövri funksiya: f(x + T) = f(x); dövrün tam misli qədər sürüşmə qiyməti dəyişmir.
  • y = f(x − a) + b — a vahid sağa, b vahid yuxarı; k · f(x) — şaquli dartılma, f(kx) — üfüqi sıxılma; −f(x), f(−x) — oxlara nəzərən əks etdirmə; |f(x)| — Ox-dan aşağıdakı hissə yuxarı çevrilir.
  • Tərs funksiya yalnız f hər qiyməti bir dəfə aldıqda var: x-i ifadə et, hərfləri dəyiş; D(g) = E(f), qrafiklər y = x-ə nəzərən simmetrikdir.

Özünü yoxla

12 sual. Hər düzgün cavab XP qazandırır.

1 / 12
Hansı bərabərlik cüt funksiyanı təyin edir (təyin oblastı simmetrikdir)?