Məzmuna keç
Educora
AZ
AzərbaycancaEnglishРусскийTürkçe
Mənim səhifəmEducora StudioParametrlər
Başlanğıc5–6-cı sinif22 dəq3 / 82

Ən böyük ortaq bölən və ən kiçik ortaq bölünən

ƏBOB-u bölənləri sadalamaqla, sadə vuruqlara ayırmaqla və Evklid alqoritmi ilə tapmaq, qarşılıqlı sadə ədədlər, ƏKOB, ƏBOB · ƏKOB = a · b bərabərliyi, üç ədəd və bölüşdürmə, kəsmə, yenidən görüşmə və ortaq məxrəc məsələləri.

Özünü yoxla
Bu dərsdə öyrənəcəksən
  • İki və üç ədədin ƏBOB-unu bölənləri sadalamaqla, sadə vuruqlara ayırmaqla və Evklid alqoritmi ilə tapmaq
  • Qarşılıqlı sadə ədədləri tanımaq, ƏKOB-u bölünənləri sadalamaqla və sadə vuruqlarla tapmaq
  • ƏBOB · ƏKOB = a · b bərabərliyi ilə birini digərindən tapmaq
  • Məsələdə ƏBOB, yoxsa ƏKOB lazım olduğunu müəyyən edib onu həll etmək

Murad ad günü üçün 24 alma və 36 armud alıb. O, eyni cür hədiyyə paketləri hazırlamaq istəyir: hər paketdə eyni sayda alma və eyni sayda armud olsun, heç nə artıq qalmasın. Ən çoxu neçə paket alınar? Həmin gün dayanacaqdan bir avtobus hər 12 dəqiqədən, digəri hər 18 dəqiqədən bir yola düşür; saat 8:00-da ikisi birlikdə yola düşdü. Növbəti dəfə nə vaxt birlikdə yola düşəcəklər? Birinci sualda hər iki ədədin böləni olan ən böyük ədəd, ikincidə isə hər iki ədədə bölünən ən kiçik ədəd axtarılır. Bunlar ƏBOB və ƏKOB-dur.

Burada əvvəlki dərsin — «Bölünmə əlamətləri. Sadə və mürəkkəb ədədlər» dərsinin alətləri lazım olacaq: bölənləri cütlərlə tapmaq, bölünmə əlamətləri və sadə vuruqlara ayırma. ƏBOB və ƏKOB isə dərhal növbəti dərsdə — «Adi kəsrlər: anlayış, ixtisar və müqayisə» dərsində işə düşəcək: ƏBOB kəsri ixtisar etməyə, ƏKOB isə ortaq məxrəc tapmağa kömək edir.

Ortaq bölənlər və ƏBOB

Tərif
Ortaq bölən və ƏBOB

Verilmiş ədədlərin hər birinin böləni olan ədəd onların ortaq bölənidir. Ortaq bölənlərin ən böyüyü ən böyük ortaq bölən adlanır və ƏBOB(a; b) kimi yazılır. Məsələn, 24 və 36 ədədlərinin ortaq bölənləri 1, 2, 3, 4, 6, 12-dir, ona görə ƏBOB(24; 36) = 12.

Ən sadə üsul hər ədədin bölənlərini (cütlərlə) yazıb ortaqlarını seçməkdir. 1 həmişə ortaq böləndir, ƏBOB isə ədədlərin ən kiçiyindən böyük ola bilməz. Kiçik ədəd böyüyün bölənidirsə, ƏBOB elə kiçik ədədin özüdür: ƏBOB(12; 36) = 12.

Bölənləri sadalayırıq

Bölənləri sadalamaqla tap: 1) ƏBOB(18; 30); 2) ƏBOB(16; 40); 3) ƏBOB(15; 28).

Həllini göstər
1) 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18; 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. Ortaq: 1, 2, 3, 6 → ƏBOB = 6.
2) 16: 1, 2, 4, 8, 16; 40: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40. Ortaq: 1, 2, 4, 8 → ƏBOB = 8. Kiçik ədəd 16 isə 40-ın böləni deyil, ona görə cavab 16 deyil.
3) 15: 1, 3, 5, 15; 28: 1, 2, 4, 7, 14, 28. Yeganə ortaq bölən 1-dir → ƏBOB = 1, halbuki hər iki ədəd mürəkkəbdir.
Tərif
Qarşılıqlı sadə ədədlər

ƏBOB-u 1-ə bərabər olan ədədlər qarşılıqlı sadə adlanır: onların 1-dən başqa ortaq böləni yoxdur. 15 və 28 hər ikisi mürəkkəb olsa da, qarşılıqlı sadədir. İki ardıcıl ədəd həmişə qarşılıqlı sadədir: onların istənilən ortaq böləni fərqi, yəni 1-i də bölməlidir. İki müxtəlif sadə ədəd də qarşılıqlı sadədir.

ƏBOB-u sadə vuruqlarla tapmaq

Böyük ədədlərin bölənlərini sadalamaq uzun çəkir, sadə vuruqlar isə işi qısaldır. Ortaq bölən yalnız hər iki ədəddə olan sadə vuruqlardan ibarət ola bilər, özü də hər vuruq ayrılışların hər birində olduğundan artıq dəfə yox. Ona görə ƏBOB ortaq sadə vuruqların hasilidir, hər biri ən kiçik qüvvət üstü ilə götürülür.

  1. 1
    Ayır

    Hər ədədi sadə vuruqlara ayır və eyni vuruqları qüvvət şəklində yaz.

  2. 2
    Ortaqları seç

    Hər iki ayrılışda olan sadə vuruqları seç. Yalnız bir ədəddə olan vuruqlar ƏBOB-a düşmür.

  3. 3
    Kiçik üstü götür

    Hər ortaq vuruğu iki qüvvət üstündən kiçiyi ilə yaz və hasili hesabla. Ortaq vuruq yoxdursa, ƏBOB = 1.

120 = 2³ · 3 · 5126 = 2 · 3² · 7ƏBOB(120; 126) = 2 · 3 = 6
burada:
  • 2, 3ortaq sadə vuruqlar, kiçik qüvvət üstləri ilə: 2³ və 2¹-dən 2¹, 3¹ və 3²-dən 3¹
  • 5, 7yalnız bir ədəddə var — ƏBOB-a daxil edilmir

ƏBOB ortaq sadə vuruqların hasilidir, hər biri ən kiçik qüvvət üstü ilə. Yoxlama: 120 : 6 = 20, 126 : 6 = 21, 20 və 21 isə qarşılıqlı sadədir.

Sadə vuruqlarla ƏBOB

Tap: 1) ƏBOB(360; 84); 2) ƏBOB(72; 120); 3) ƏBOB(105; 88).

Həllini göstər
1) 360 = 2³ · 3² · 5, 84 = 2² · 3 · 7. Ortaq vuruqlar 2 və 3-dür, kiçik üstlər: 2², 3¹. ƏBOB = 2² · 3 = 12.
2) 72 = 2³ · 3², 120 = 2³ · 3 · 5. ƏBOB = 2³ · 3 = 24.
3) 105 = 3 · 5 · 7, 88 = 2³ · 11. Ortaq sadə vuruq yoxdur: ƏBOB = 1, ədədlər qarşılıqlı sadədir.

Evklid alqoritmi

Bəzən ədədləri vuruqlara ayırmaq da çətindir: məsələn, 391 və 299. Təxminən 2300 il əvvəl Evklid ayırma tələb etməyən üsul təsvir edib. Onun ideyası əvvəlki dərsdəndir: a və b ədədləri d-yə bölünürsə, a − b fərqi də d-yə bölünür. Tərsinə, b və a − b ədədləri d-yə bölünürsə, a = (a − b) + b də bölünür. Deməli, (a; b) və (a − b; b) cütlərinin ortaq bölənləri eynidir, ƏBOB-ları da eynidir.

ƏBOB(a; b) = ƏBOB(a − b; b)
burada:
  • a, bnatural ədədlər, a > b
  • a − bfərq — böyük ədədin yerinə yazılır

Böyük ədədi fərqlə əvəz et və təkrarla. İki ədəd bərabərləşəndə alınan ədəd ƏBOB-dur.

Çıxma ilə

Çıxma üsulu ilə tap: 1) ƏBOB(48; 18); 2) ƏBOB(35; 21).

Həllini göstər
1) (48; 18) → (30; 18) → (12; 18) → (12; 6) → (6; 6). ƏBOB = 6.
2) (35; 21) → (14; 21) → (14; 7) → (7; 7). ƏBOB = 7. Yoxlama: 35 = 5 · 7, 21 = 3 · 7.

48-dən 18-i iki dəfə çıxıb 12 aldıq — bu, qalıqlı bölmədir: 48 = 18 · 2 + 12. Ona görə çıxmaları təkrarlamaq əvəzinə dərhal qalığı götürmək olar. Bu, Evklid alqoritminin sürətli formasıdır.

a = b · q + rƏBOB(a; b) = ƏBOB(b; r)
burada:
  • qnatamam qismət
  • rqalıq, 0 ≤ r < b

(a; b) cütünü (b; r) cütü ilə əvəz et. Qalıq 0 olanda sonuncu bölən (sıfırdan fərqli sonuncu qalıq) ƏBOB-dur.

  1. 1
    Qalıqla böl

    Böyük ədədi kiçiyə qalıqla böl.

  2. 2
    Qalığa bax

    Qalıq 0-dırsa, bölən ƏBOB-dur — iş bitdi.

  3. 3
    Cütü yenilə

    Əks halda bölən yeni bölünən, qalıq isə yeni bölən olur; 1-ci addıma qayıt. Qalıqlar hər dəfə kiçilir, ona görə alqoritm mütləq bitir.

Evklid alqoritmi ilə

Tap: 1) ƏBOB(391; 299); 2) ƏBOB(1071; 462).

Həllini göstər
1) 391 = 299 · 1 + 92
299 = 92 · 3 + 23
92 = 23 · 4 + 0
ƏBOB(391; 299) = 23. Yoxlama: 391 = 23 · 17, 299 = 23 · 13.
2) 1071 = 462 · 2 + 147
462 = 147 · 3 + 21
147 = 21 · 7 + 0
ƏBOB(1071; 462) = 21. Yoxlama: 1071 = 21 · 51, 462 = 21 · 22.

Ortaq bölünənlər və ƏKOB

Tərif
Ortaq bölünən və ƏKOB

Verilmiş ədədlərin hər birinə bölünən ədəd onların ortaq bölünənidir. Ortaq bölünənlərin ən kiçiyi ən kiçik ortaq bölünən adlanır və ƏKOB(a; b) kimi yazılır. 6-nın bölünənləri: 6, 12, 18, 24, 30, …; 8-in bölünənləri: 8, 16, 24, 32, … Deməli, ƏKOB(6; 8) = 24.

6 və 8-in ortaq bölünənləri 24, 48, 72, … ədədləridir — hamısı ƏKOB-un bölünənləridir və sonsuz saydadır, ona görə «ən böyük ortaq bölünən» olmur. Sadalamağın rahat yolu: böyük ədədin bölünənlərini ardıcıl yoxla və kiçik ədədə bölünən ilkində dayan. ƏKOB(12; 18): 18 ədədi 12-yə bölünmür, 36 isə bölünür, deməli, cavab 36-dır. ƏKOB ədədlərin böyüyündən kiçik, hasilindən isə böyük ola bilməz.

  1. 1
    Ayır

    Hər ədədi sadə vuruqlara ayır.

  2. 2
    Bütün vuruqları götür

    Heç olmasa bir ayrılışda olan hər sadə vuruğu götür, hər birini ən böyük qüvvət üstü ilə.

  3. 3
    Vur

    Hasili hesabla. Qısa yol: böyük ədədin ayrılışını yaz və ona kiçik ədəddən çatışmayan vuruqları əlavə et.

120 = 2³ · 3 · 5126 = 2 · 3² · 7ƏKOB(120; 126) = 2³ · 3² · 5 · 7 = 2520
burada:
  • 2³, 3²hər iki ədəddə olan vuruqlar — böyük qüvvət üstü ilə
  • 5, 7yalnız bir ədəddə olan vuruqlar da götürülür

ƏKOB bütün sadə vuruqların hasilidir, hər biri ən böyük qüvvət üstü ilə. Yoxlama: 2520 : 120 = 21, 2520 : 126 = 20.

ƏKOB-u tapırıq

Tap: 1) ƏKOB(12; 18); 2) ƏKOB(40; 60); 3) ƏKOB(15; 28); 4) ƏKOB(9; 36).

Həllini göstər
1) 12 = 2² · 3, 18 = 2 · 3² → ƏKOB = 2² · 3² = 36.
2) 40 = 2³ · 5, 60 = 2² · 3 · 5 → ƏKOB = 2³ · 3 · 5 = 120.
3) 15 = 3 · 5, 28 = 2² · 7 — ortaq vuruq yoxdur, ona görə ƏKOB = 15 · 28 = 420.
4) 36 ədədi 9-a bölünür, ona görə ƏKOB = 36.
243622233ƏBOB = 2 · 2 · 3 = 12ƏKOB = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 = 72
ƏBOB — kəsişmədəki vuruqlar, ƏKOB — şəkildəki bütün vuruqlar. Kəsişməni iki dəfə saysaq, 24 · 36 alınar: ƏBOB · ƏKOB = 12 · 72 = 864 = 24 · 36.

Şəkil vacib bir bərabərliyi izah edir. Hər sadə vuruq üçün ƏBOB kiçik qüvvət üstünü, ƏKOB isə böyüyünü götürür, birlikdə isə hər ikisini götürürlər — a · b hasilində olduğu kimi. 24 = 2³ · 3 və 36 = 2² · 3² üçün 2-nin qüvvət üstü ƏBOB-da 2, ƏKOB-da 3, cəmi 5-dir; 24 · 36 hasilində də 3 + 2 = 5.

ƏBOB(a; b) · ƏKOB(a; b) = a · b
burada:
  • a, bistənilən iki natural ədəd
  • ƏKOBƏKOB = a · b : ƏBOB — ən çox işlədilən forma

Yalnız iki ədəd üçün doğrudur. Qarşılıqlı sadə ədədlərdə ƏBOB = 1, ona görə ƏKOB = a · b.

ƏBOB-dan ƏKOB-a

1) ƏBOB(18; 24) = 6. ƏKOB(18; 24) neçədir?
2) İki ədədin hasili 864, ƏBOB-u isə 12-dir. Onların ƏKOB-u neçədir?
3) ƏKOB(8; 15) neçədir?

Həllini göstər
1) ƏKOB = 18 · 24 : 6 = 432 : 6 = 72. Daha rahat: əvvəl böl, sonra vur: 18 : 6 = 3, 3 · 24 = 72.
2) ƏKOB = 864 : 12 = 72. (Belə ədədlərə misal: 24 və 36.)
3) 8 = 2³ və 15 = 3 · 5 qarşılıqlı sadədir, ƏBOB = 1, deməli, ƏKOB = 8 · 15 = 120.

Üç ədəd və məsələlər

Üç ədəd üçün qaydalar eynidir: ƏBOB hər üç ayrılışda olan vuruqları ən kiçik qüvvət üstü ilə, ƏKOB isə bütün vuruqları ən böyük qüvvət üstü ilə götürür. Addım-addım da hesablamaq olar: ƏBOB(a; b; c) = ƏBOB(ƏBOB(a; b); c), ƏKOB üçün də eynilə.

Üç ədəd

1) 12, 18 və 30 ədədlərinin ƏBOB və ƏKOB-unu tap.
2) ƏKOB(4; 6; 9) neçədir? Addım-addım hesabla.

Həllini göstər
1) 12 = 2² · 3, 18 = 2 · 3², 30 = 2 · 3 · 5.
ƏBOB: hər üçündə 2 və 3 var, kiçik üstlərlə: 2 · 3 = 6.
ƏKOB: 2², 3², 5 → 4 · 9 · 5 = 180.
2) ƏKOB(4; 6) = 12, sonra ƏKOB(12; 9) = 36. Cavab: 36.
ƏBOB lazımdır, əgər…ƏKOB lazımdır, əgər…
əşyalar heç nə artıq qalmadan bərabər qruplara bölünürtəkrarlanan hadisələr yenidən eyni anda baş verməlidir
ən böyük hissə, paket, plitə və ya qrup axtarılırən kiçik ədəd, vaxt, uzunluq və ya məxrəc axtarılır
cavab verilmiş ədədlərdən böyük deyilcavab verilmiş ədədlərdən kiçik deyil
Bölüşdürmə və kəsmə

1) Muradın 24 alması və 36 armudu var (girişdəki məsələ). Ən çoxu neçə eyni paket düzəltmək olar və hər paketdə nə olacaq?
2) 48 sm və 72 sm uzunluğunda iki lenti heç nə artıq qalmadan bərabər və mümkün qədər uzun hissələrə kəsmək lazımdır. Hər hissə neçə santimetrdir və cəmi neçə hissə alınır?
3) Ölçüləri 240 sm × 180 sm olan döşəmə mümkün qədər böyük eyni kvadrat plitələrlə, plitələri kəsmədən örtülür. Plitənin tərəfi neçə santimetrdir və neçə plitə lazımdır?

Həllini göstər
1) Paketlərin sayı həm 24-ün, həm də 36-nın böləni olmalıdır, özü də ən böyüyü: ƏBOB(24; 36) = 12 paket. Hər paketdə 24 : 12 = 2 alma və 36 : 12 = 3 armud.
2) Hissənin uzunluğu həm 48-in, həm də 72-nin böləni olmalıdır: ƏBOB(48; 72) = 24 sm. Hissələr: 48 : 24 + 72 : 24 = 2 + 3 = 5.
3) Plitənin tərəfi həm 240-ın, həm də 180-in böləni olmalıdır: 240 = 2⁴ · 3 · 5, 180 = 2² · 3² · 5, ƏBOB = 2² · 3 · 5 = 60 sm. Uzununa 240 : 60 = 4, eninə 180 : 60 = 3 plitə, cəmi 4 · 3 = 12 plitə.
Yenidən birlikdə

1) Girişdəki avtobuslar: biri hər 12, digəri hər 18 dəqiqədən bir yola düşür, saat 8:00-da birlikdə yola düşdülər. Növbəti dəfə nə vaxt birlikdə yola düşəcəklər?
2) Bir mayak hər 6 saniyədən, digəri hər 10 saniyədən bir işıq saçır. İndicə hər ikisi eyni anda yandı. Neçə saniyədən sonra yenə birlikdə yanacaqlar?
3) Üç qaçışçı eyni anda startdan çıxır və dairəvi yolu uyğun olaraq 4, 6 və 9 dəqiqəyə qaçır. Neçə dəqiqədən sonra hər üçü yenə startda görüşəcək? Bu vaxta qədər hər biri neçə dairə qaçacaq?

Həllini göstər
1) Axtarılan vaxt həm 12-yə, həm də 18-ə bölünən ən kiçik ədəddir: 12 = 2² · 3, 18 = 2 · 3², ƏKOB = 2² · 3² = 36. Deməli, 36 dəqiqədən sonra, saat 8:36-da.
2) ƏKOB(6; 10): 10-un bölünənlərini yoxlayırıq: 10, 20, 30 — 30 ədədi 6-ya bölünür. Cavab: 30 saniyə.
3) ƏKOB(4; 6; 9) = 2² · 3² = 36 dəqiqə. Bu müddətdə qaçışçılar 36 : 4 = 9, 36 : 6 = 6 və 36 : 9 = 4 dairə qaçacaq.
Kəsrlərdə ƏBOB və ƏKOB

1) 5/12 və 7/18 kəsrlərini ən kiçik ortaq məxrəcə gətir.
2) 72/120 kəsrini bir addımda ixtisar et.

Həllini göstər
1) Ortaq məxrəc hər iki məxrəcə bölünməlidir, ən kiçiyi isə ƏKOB(12; 18) = 36-dır. Əlavə vuruqlar: 36 : 12 = 3, 36 : 18 = 2. Deməli, 5/12 = 15/36, 7/18 = 14/36.
2) ƏBOB(72; 120) = 24 (yuxarıda tapmışdıq). 72/120 = (72 : 24)/(120 : 24) = 3/5.
Ətraflı izah «Adi kəsrlər: anlayış, ixtisar və müqayisə» dərsindədir.
İnteraktiv
Simulyasiya yüklənir…
Özündən soruş: cavab verilmiş ədədlərdən kiçik olacaq (ƏBOB), yoxsa böyük (ƏKOB)?
Özünü yoxla
  1. 1.ƏBOB(18; 27) =
  2. 2.ƏKOB(6; 14) =
  3. 3.ƏBOB(8; 15) =
  4. 4.ƏBOB(a; b) = 4 və a · b = 96 olarsa, ƏKOB(a; b) =
  5. 5.ƏKOB(4; 6; 10) =
  6. 6.ƏBOB(91; 65) =

Sən ƏBOB-u tapmağın üç yolunu, ƏKOB-u tapmağı və məsələdə hansının lazım olduğunu tanımağı öyrəndin. Növbəti dərsdə — «Adi kəsrlər: anlayış, ixtisar və müqayisə» dərsində ƏBOB kəsrləri ixtisar etməyə, ƏKOB isə onları ortaq məxrəcə gətirib müqayisə etməyə kömək edəcək; «Adi kəsrlər üzərində əməllər» dərsində isə müxtəlif məxrəcli kəsrləri toplayacaqsan.

Əsas fikirlər

  • ƏBOB — ədədlərin hər birinin böləni olan ən böyük ədəd; ƏKOB — hər birinə bölünən ən kiçik natural ədəd.
  • Sadə vuruqlarla: ƏBOB — ortaq vuruqlar ən kiçik qüvvət üstü ilə; ƏKOB — bütün vuruqlar ən böyük qüvvət üstü ilə.
  • Evklid alqoritmi: ƏBOB(a; b) = ƏBOB(b; r); qalıq 0 olanda sonuncu bölən ƏBOB-dur.
  • Qarşılıqlı sadə ədədlərdə ƏBOB = 1 və ƏKOB = a · b; iki ardıcıl ədəd həmişə qarşılıqlı sadədir.
  • İki ədəd üçün ƏBOB · ƏKOB = a · b.
  • «Bərabər böl, ən böyük hissə» — ƏBOB; «yenə birlikdə, ən kiçik ortaq» — ƏKOB.

Özünü yoxla

12 sual. Hər düzgün cavab XP qazandırır.

1 / 12
Hansı ədədlər qarşılıqlı sadədir?