Parçada ən böyük və ən kiçik qiymət. Optimallaşdırma məsələləri

Bu dərsdə öyrənəcəksən

Ekstremumla funksiyanın çoxluqda ən böyük və ən kiçik qiyməti arasındakı fərqi izah etmək
Parçada ən böyük və ən kiçik qiyməti alqoritmlə, yeganə kritik nöqtəsi olan aralıqda isə törəmənin işarəsi ilə tapmaq
Mətnli məsələni bir dəyişənli funksiyaya çevirmək və onun təyin oblastını yazmaq
Sahə, həcm, material, məsafə və mənfəətə aid optimallaşdırma məsələlərini həll etmək və soruşulan kəmiyyəti vahidi ilə yazmaq

Leyla tərəfi 12 sm olan kvadrat kartondan muncuqları üçün qapaqsız qutu düzəltmək istəyir: künclərdən eyni kvadratlar kəsib kənarları qatlayacaq. Kiçik kvadratlar kəssə, qutu dayaz alınar; böyük kəssə, oturacaqdan az şey qalar. Ən yaxşı ölçü haradasa arada gizlənib və onu törəmə dəqiq tapır. Əvvəlki dərsdə funksiyanın ekstremumlarını — qrafikin «təpələrini» və «çuxurlarını» tapdıq. İndi daha böyük sual verəcəyik: funksiya bütöv bir parçada ən böyük və ən kiçik hansı qiyməti alır və real məsələdə ən yaxşı variantı necə seçmək olar?

Ekstremum və ən böyük qiymət: fərq nədir?

Maksimum (ekstremum) lokal anlayışdır: f(x₀) yalnız yaxın nöqtələrdəki qiymətlərlə müqayisə olunur. Ən böyük qiymət isə qlobaldır: o, verilmiş çoxluğun bütün nöqtələrindəki qiymətlərlə müqayisə olunur. Dağ marşrutunu təsəvvür et: yolda bir neçə təpə var, amma bütün marşrutun ən hündür nöqtəsi bu təpələrdən biri də ola bilər, yol zirvədə bitirsə, son nöqtə də.

Tərif

Ən böyük və ən kiçik qiymət

x₀ ∈ X olsun. Əgər X çoxluğunun bütün x-ləri üçün f(x) ≤ f(x₀) olarsa, M = f(x₀) ədədi f funksiyasının X çoxluğunda ən böyük qiyməti adlanır. Bütün x ∈ X üçün f(x) ≥ f(x₀) olarsa, m = f(x₀) ən kiçik qiymətdir. Yazılış: M = max f(x), m = min f(x) (x ∈ X).

Əlamət	Ekstremum	Ən böyük / ən kiçik qiymət
Nə ilə müqayisə olunur	yaxın nöqtələrdəki qiymətlərlə	çoxluğun bütün nöqtələrindəki qiymətlərlə
Neçə dənə	bir neçə maksimum və minimum ola bilər	bir ədəd (bir neçə nöqtədə alına bilər)
[a; b] parçasının ucunda	olmur: ekstremum nöqtəsi daxili nöqtədir	tez-tez məhz orada alınır
Aralıqdan asılıdırmı?	yox	bəli: aralığı dəyiş — cavab dəyişə bilər

Lokal və qlobal: iki fərqli sual

Məsələn, f(x) = x + 4/x funksiyasının x = −2 nöqtəsində maksimumu −4, x = 2 nöqtəsində minimumu 4-dür: maksimum minimumdan kiçikdir! Burada ziddiyyət yoxdur, çünki hər biri yalnız öz qonşuları ilə müqayisə olunur.

Parçada kəsilməz funksiya: teorem və alqoritm

Veyerştrass teoremi (məktəb ifadəsi): [a; b] parçasında kəsilməz funksiya bu parçada özünün ən böyük və ən kiçik qiymətini alır. Əyani mənası: x = a-dan x = b-yə qədər qələmi kağızdan qaldırmadan çəkilən qrafikin ən yüksək və ən alçaq nöqtəsi var. Hər iki şərt vacibdir. (0; 1) aralığında f(x) = x funksiyası nə ən böyük, nə də ən kiçik qiymət alır: qiymətləri 0-a və 1-ə istənilən qədər yaxınlaşır, amma onlara çatmır. [0; π] parçasında tg x kəsilməz deyil (x = π/2-də təyin olunmayıb) və istənilən qədər böyük qiymətlər alır.

Ən böyük qiymət harada ola bilər? Əgər o, parçanın daxili x₀ nöqtəsində alınırsa, x₀ həm də maksimum nöqtəsidir, deməli, əvvəlki dərsdəki zəruri şərtə görə f′(x₀) = 0 və ya f′(x₀) mövcud deyil — x₀ kritik nöqtədir. Əks halda o, parçanın ucunda — a və ya b nöqtəsində alınır. Ən kiçik qiymət üçün də eynidir. Deməli, namizədlər azdır və onları sadəcə müqayisə edirik — işarə cədvəli lazım deyil.

M = max {f(a); f(x₁); …; f(xₖ); f(b)}, m = min {f(a); f(x₁); …; f(xₖ); f(b)}

burada:

a, bparçanın ucları
x₁, …, xₖ(a; b) aralığının daxilindəki kritik nöqtələr
M, mf funksiyasının [a; b] parçasında ən böyük və ən kiçik qiyməti

Kəsilməz funksiyanın parçada ən böyük və ən kiçik qiyməti uclardakı və daxildəki kritik nöqtələrdəki qiymətlər arasından seçilir.

1
Funksiyanı yoxla
f funksiyası [a; b] parçasında kəsilməz olmalıdır: bütün parça təyin oblastına daxildir.
2
Törəməni tap
f′(x)-i tap və mümkünsə vuruqlara ayır.
3
Kritik nöqtələr
f′(x) = 0 tənliyini həll et və f′-in mövcud olmadığı nöqtələri tap. Yalnız (a; b) aralığına düşənləri saxla, qalanlarını at.
4
Qiymətləri hesabla
f-in qiymətini saxlanılan nöqtələrdə və hər iki ucda — a və b-də hesabla.
5
Seç və cavabı yaz
Ən böyük ədəd M, ən kiçik ədəd m-dir. Cavab qiymətdir, nöqtə yox: «ən böyük qiymət 10-dur (x = −1-də)».

Dörd namizəd

f(x) = x³ − 3x² − 9x + 5 funksiyasının [−2; 4] parçasında ən böyük və ən kiçik qiymətini tap. Parça [−2; 6] olsaydı, cavab necə dəyişərdi?

Həllini göstər

1) f çoxhədlidir, hər yerdə kəsilməzdir.
2) f′(x) = 3x² − 6x − 9 = 3(x + 1)(x − 3).
3) Kritik nöqtələr x = −1 və x = 3 — hər ikisi (−2; 4) aralığındadır.
4) f(−2) = −8 − 12 + 18 + 5 = 3; f(−1) = −1 − 3 + 9 + 5 = 10; f(3) = 27 − 27 − 27 + 5 = −22; f(4) = 64 − 48 − 36 + 5 = −15.
5) Ən böyük qiymət 10-dur (x = −1-də), ən kiçik qiymət −22-dir (x = 3-də).
[−2; 6] parçasında: f(6) = 216 − 108 − 54 + 5 = 59, deməli, ən böyük qiymət 59 olur və x = 6 ucunda alınır — orada heç maksimum yoxdur.

Daha üç parça

Ən böyük və ən kiçik qiyməti tap: 1) f(x) = x + 4/x, [1; 4]; 2) f(x) = sin x + cos x, [0; π/2]; 3) f(x) = 2x³ − 3x² − 12x + 1, [0; 3].

Həllini göstər

1) x = 0 parçaya daxil deyil, f kəsilməzdir. f′(x) = 1 − 4/x² = (x² − 4)/x² = 0 → x = ±2; parçada yalnız x = 2 var. f(1) = 5, f(2) = 4, f(4) = 5. Ən böyük qiymət 5 (hər iki ucda), ən kiçik qiymət 4 (x = 2-də).
2) f′(x) = cos x − sin x = 0 → tg x = 1 → x = π/4. f(0) = 1, f(π/4) = √2/2 + √2/2 = √2 ≈ 1,41, f(π/2) = 1. Ən böyük qiymət √2, ən kiçik qiymət 1.
3) f′(x) = 6x² − 6x − 12 = 6(x + 1)(x − 2). x = −1 parçadan kənardadır — onu atırıq (f(−1) = 8 yanlış «ən böyük qiymət» verərdi!). f(0) = 1, f(2) = 16 − 12 − 24 + 1 = −19, f(3) = 54 − 27 − 36 + 1 = −8. Ən böyük qiymət 1, ən kiçik qiymət −19.

Qısa yol: f′ bütün parçada işarəsini saxlayırsa, funksiya monotondur və cavab uclardadır. Artan funksiya üçün m = f(a), M = f(b); azalan funksiya üçün əksinə.

Monoton funksiyalar

Ən böyük və ən kiçik qiyməti tap: 1) f(x) = x³ + 3x − 2, [−1; 2]; 2) f(x) = 5 − 2x − x³, [0; 2]; 3) f(x) = x² − 6x + 1, [0; 2].

Həllini göstər

1) f′(x) = 3x² + 3 > 0 — f artır. m = f(−1) = −1 − 3 − 2 = −6, M = f(2) = 8 + 6 − 2 = 12.
2) f′(x) = −2 − 3x² < 0 — f azalır. M = f(0) = 5, m = f(2) = 5 − 4 − 8 = −7.
3) f′(x) = 2x − 6 = 0 → x = 3, amma bu nöqtə [0; 2] parçasından kənardadır; parçada f′ < 0, f azalır. M = f(0) = 1, m = f(2) = 4 − 12 + 1 = −7.

Aralıq qapalı deyilsə — (a; b), (0; +∞) — teorem heç nəyə zəmanət vermir. Amma başqa etibarlı qayda var: kəsilməz funksiyanın aralıqda yeganə kritik nöqtəsi x₀ varsa və orada f′ işarəsini «−»-dan «+»-ya dəyişirsə, f(x₀) bütün aralıqda ən kiçik qiymətdir: funksiya x₀-a qədər azalır, sonra artır. İşarə «+»-dan «−»-ya dəyişirsə, f(x₀) ən böyük qiymətdir. Optimallaşdırma məsələlərinin çoxu məhz bu qayda ilə həll olunur.

Yeganə kritik nöqtə

1) f(x) = x² + 16/x funksiyasının (0; +∞) aralığında ən kiçik qiymətini tap. 2) g(x) = 3x − x³ funksiyasının (0; +∞) aralığında ən böyük qiymətini tap.

Həllini göstər

1) f′(x) = 2x − 16/x² = (2x³ − 16)/x² = 0 → x³ = 8 → x = 2. 0 < x < 2 olduqda f′ < 0, x > 2 olduqda f′ > 0 — yeganə kritik nöqtə minimumdur. Ən kiçik qiymət f(2) = 4 + 8 = 12. Ən böyük qiymət yoxdur: x → 0 və x → +∞ olduqda f(x) → +∞.
2) g′(x) = 3 − 3x² = 3(1 − x)(1 + x) = 0 → x = 1 (x = −1 aralıqda deyil). 0 < x < 1 olduqda g′ > 0, x > 1 olduqda g′ < 0 — maksimum. Ən böyük qiymət g(1) = 3 − 1 = 2. Ən kiçik qiymət yoxdur: x → +∞ olduqda g(x) → −∞.

Optimallaşdırma məsələləri: sözlərdən funksiyaya

Tərif

Optimallaşdırma məsələsi

Hansısa kəmiyyəti (sahəni, həcmi, xərci, mənfəəti) ən böyük və ya ən kiçik edən variantı tapmaq məsələsi. Riyazi dildə: bir dəyişənli funksiyanın öz təyin oblastında ən böyük və ya ən kiçik qiymətini tapmaq.

Törəmə hesablama hissəsini bir neçə sətirdə görür; əsas iş şərti bir dəyişənli funksiyaya çevirməkdir. Hər dəfə eyni plana əməl et.

1
Dəyişən
Dəyişə bilən kəmiyyəti seç, onu x ilə işarə et və vahidini yaz.
2
Funksiya
Optimallaşdırılan kəmiyyəti (sahəni, həcmi, xərci…) x ilə ifadə et; artıq hərfləri şərtin köməyi ilə aradan qaldır.
3
Təyin oblastı
Məsələnin mənasından tap: uzunluq müsbətdir, kəsilən hissə vərəqin yarısından böyük ola bilməz və s.
4
Törəmə
Törəməni tap və təyin oblastındakı kritik nöqtələri müəyyən et.
5
Yoxlama
Parçada uclarla müqayisə et; yeganə kritik nöqtə olduqda onun ətrafında f′-in işarəsinə bax.
6
Cavab
Məhz soruşulana cavab ver (ölçülər, həcm, qiymət…) və vahidi yaz.

Ən böyük sahə

Murad düzbucaqlı bağçanı 40 m hasarla əhatə etmək istəyir. Sahənin ən böyük olması üçün bağçanın ölçüləri necə olmalıdır?

Həllini göstər

Dəyişən: bir tərəf x m; digər tərəf (40 − 2x)/2 = 20 − x m.
Funksiya: S(x) = x(20 − x) = 20x − x².
Təyin oblastı: 0 < x < 20.
Törəmə: S′(x) = 20 − 2x = 0 → x = 10.
Yoxlama: x < 10 olduqda S′ > 0, x > 10 olduqda S′ < 0 — yeganə kritik nöqtə maksimumdur.
Cavab: 10 m × 10 m, yəni kvadrat; S = 100 m². Ümumiyyətlə, perimetri verilmiş düzbucaqlılar arasında ən böyük sahə kvadratındır.

Divar boyunca hasar

Elvin anbarın divarı yanında toyuqlar üçün düzbucaqlı meydança hasarlamaq istəyir. Onun 60 m məftil toru var, divar boyunca isə tor lazım deyil. Meydançanın sahəsi ən böyük olsun deyə ölçülər necə olmalıdır?

Həllini göstər

Dəyişən: divara perpendikulyar hər tərəf x m; onda divara paralel tərəf 60 − 2x m olur.
Funksiya: S(x) = x(60 − 2x) = 60x − 2x².
Təyin oblastı: 0 < x < 30.
Törəmə: S′(x) = 60 − 4x = 0 → x = 15.
Yoxlama: x = 15-də S′ işarəsini «+»-dan «−»-ya dəyişir — maksimum.
Cavab: 15 m × 30 m (divar boyunca 30 m); S = 450 m².
Diqqət: bu dəfə cavab kvadrat deyil — divar boyunca tərəf iki dəfə uzundur. Eyni 60 m toru dörd tərəfə çəksəydik, ən yaxşısı 15 m × 15 m kvadrat olardı — cəmi 225 m². Divar sahəni iki dəfə artırır.

Çox rast gəlinən hal x + k/x cəmidir: bir toplanan x ilə artır, digəri azalır. Törəmə onların tarazlaşdığı nöqtəni göstərir.

f(x) = x + k/x (x > 0): f′(x) = 1 − k/x² = 0 → x = √k, fₘᵢₙ = f(√k) = 2√kf(x) = x + k/x (x > 0): f′(x) = 1 − k/x² = 0 → x = √k, fₘᵢₙ = f(√k) = 2√k

burada:

kmüsbət sabit ədəd
xmüsbət dəyişən
2√kcəmin ən kiçik qiyməti

x < √k olduqda f′ < 0, x > √k olduqda f′ > 0 — yeganə kritik nöqtə ən kiçik qiyməti verir. Optimumda hər iki toplanan bərabərdir: x = k/x = √k.

x + k/x düsturu ilə

1) Hansı müsbət x üçün x + 9/x cəmi ən kiçikdir və bu ən kiçik qiymət nədir? 2) Düzbucaqlı meydançanın sahəsi 36 m² olmalıdır. Hasarın ən qısa olması üçün ölçülər necə olmalıdır? 3) x + 4/x funksiyasının [1; 4] parçasında ən kiçik qiymətini düsturla tap.

Həllini göstər

1) f′(x) = 1 − 9/x² = 0 → x = 3. x < 3 olduqda f′ < 0, x > 3 olduqda f′ > 0 — minimum. Ən kiçik qiymət 3 + 9/3 = 6 = 2√9.
2) Bir tərəf x m, digəri 36/x m; perimetr P(x) = 2(x + 36/x), x > 0. Düstura görə (k = 36) x = 6, P = 2 · 2√36 = 24 m. Cavab: 6 m × 6 m kvadrat, 24 m hasar.
3) k = 4, √4 = 2 parçaya daxildir, deməli, ən kiçik qiymət 2√4 = 4-dür (x = 2-də) — yuxarıdakı nəticə ilə eynidir. Ən böyük qiyməti isə yenə uclar verir.

V(x) = x(a − 2x)², 0 < x < a/2; V′(x) = (a − 2x)(a − 6x) = 0 → x = a/6, Vₘₐₓ = 2a³/27V(x) = x(a − 2x)², 0 < x < a/2; V′(x) = (a − 2x)(a − 6x) = 0 → x = a/6, Vₘₐₓ = 2a³/27

burada:

akvadrat vərəqin tərəfi
xkünclərdən kəsilən kvadratın tərəfi (qutunun hündürlüyü)
a − 2xqutunun oturacağının tərəfi
Vqutunun həcmi

Kvadrat vərəqdən qapaqsız qutu: künclərdən tərəfi a/6 olan kvadratlar kəs.

Leylanın qutusu

Leyla 12 sm × 12 sm ölçülü kartonun künclərindən eyni kvadratlar kəsir və kənarları qatlayaraq qapaqsız qutu düzəldir. Kəsilən kvadratın tərəfi nə qədər olmalıdır ki, qutunun həcmi ən böyük olsun? Bu həcm nəyə bərabərdir? Sonra düsturla tərəfi 30 sm və 18 sm olan vərəqlər üçün cavabı tap.

Həllini göstər

Dəyişən: kəsilən kvadratın tərəfi x sm — bu, həm də qutunun hündürlüyüdür.
Funksiya: oturacaq tərəfi 12 − 2x olan kvadratdır, V(x) = x(12 − 2x)².
Təyin oblastı: 0 < x < 6 (x = 6 olduqda oturacaq qalmır).
Törəmə: V′(x) = (12 − 2x)² − 4x(12 − 2x) = (12 − 2x)(12 − 6x) = 0 → x = 2 və ya x = 6; x = 6 təyin oblastına daxil deyil.
Yoxlama: V′(1) = 10 · 6 = 60 > 0, V′(3) = 6 · (−6) = −36 < 0 — maksimum.
Cavab: tərəfi 2 sm olan kvadratlar kəsilməlidir; qutu 8 sm × 8 sm × 2 sm, V = 2 · 8² = 128 sm³.
Düsturla: a = 30 sm → x = 5 sm, V = 5 · 20² = 2000 sm³; a = 18 sm → x = 3 sm, V = 3 · 12² = 432 sm³.

İnteraktiv

Simulyasiya yüklənir…

Qutunun həcmi V(x) = x(12 − 2x)², 0 ≤ x ≤ 6. Qrafik 0-dan qalxır, x = 2-də 128-ə çatır və x = 6-da yenidən 0-a düşür. y = c düz xəttini sürüşdür: c < 128 olduqda o, qrafiki iki nöqtədə kəsir (eyni həcmli iki müxtəlif qutu), c = 128 olduqda zirvəyə yalnız toxunur, c > 128 olduqda isə qrafiklə kəsişmir — bundan böyük qutu yoxdur.

V = πr²h → h = V/(πr²); S(r) = 2πr² + 2V/r; S′(r) = 4πr − 2V/r² = 0 → r³ = V/(2π), h = 2rV = πr²h → h = V/(πr²); S(r) = 2πr² + 2V/r; S′(r) = 4πr − 2V/r² = 0 → r³ = V/(2π), h = 2r

burada:

roturacağın radiusu
hsilindrin hündürlüyü
Vverilmiş həcm
Stam səthin sahəsi: iki oturacaq 2πr² və yan səth 2πrh

Həcmi verilmiş qapalı silindrə ən az material hündürlüyü diametrinə bərabər olduqda sərf olunur.

Silindrik banka

Qapalı silindrik konserv bankasının həcmi 250π sm³ (≈ 785 sm³) olmalıdır. Hansı radius və hündürlükdə ona ən az metal sərf olunar? Sonra həcmi 54π sm³ olan banka üçün hesabla.

Həllini göstər

Dəyişən: radius r sm, r > 0.
Funksiya: πr²h = 250π bərabərliyindən h = 250/r²; S(r) = 2πr² + 2πr · 250/r² = 2πr² + 500π/r.
Törəmə: S′(r) = 4πr − 500π/r² = 0 → r³ = 125 → r = 5.
Yoxlama: r < 5 olduqda S′ < 0, r > 5 olduqda S′ > 0 — yeganə kritik nöqtə minimumdur.
Cavab: r = 5 sm, h = 250/25 = 10 sm = 2r; S = 50π + 100π = 150π ≈ 471 sm².
54π sm³ üçün: r³ = 27 → r = 3 sm, h = 6 sm, S = 18π + 36π = 54π ≈ 170 sm².

Parabolanın ən yaxın nöqtəsi

y = x² parabolasının A(3; 0) nöqtəsinə ən yaxın nöqtəsini və bu məsafəni tap. Sonra B(6; 3) nöqtəsi üçün eyni işi gör.

Həllini göstər

Dəyişən: parabolanın nöqtəsi M(x; x²).
Funksiya: məsafənin kvadratı g(x) = MA² = (x − 3)² + (x² − 0)² = x⁴ + x² − 6x + 9. MA ən kiçik olanda MA² də ən kiçikdir, amma MA²-də kök yoxdur — onun törəməsini tapmaq asandır.
Törəmə: g′(x) = 4x³ + 2x − 6 = 2(x − 1)(2x² + 2x + 3). 2x² + 2x + 3 həmişə müsbətdir (diskriminant 4 − 24 < 0), deməli, x = 1 yeganə kritik nöqtədir.
Yoxlama: g′ işarəsini «−»-dan «+»-ya dəyişir — ən kiçik qiymət.
Cavab: M(1; 1), MA = √(4 + 1) = √5 ≈ 2,24.
B(6; 3) üçün: g(x) = (x − 6)² + (x² − 3)², g′(x) = 4x³ − 10x − 12 = 2(x − 2)(2x² + 4x + 3), yenə yeganə kritik nöqtə x = 2-dir. Cavab: M(2; 4), MB = √(16 + 1) = √17 ≈ 4,12.

R(p) = p · q(p), Π(p) = (p − c) · q(p)

burada:

pbir məhsulun satış qiyməti (manat)
q(p)bu qiymətdə satılan məhsulların sayı
cbir məhsulun maya dəyəri
R, Πgəlir (satışdan daxil olan pul) və mənfəət

Gəlir qiymətlə satış sayının hasilidir; mənfəət üçün hər satılan məhsulun maya dəyəri çıxılır.

Dondurmanın ən sərfəli qiyməti

Bakı bulvarındakı köşk dondurma satır. Müşahidələrə görə, dondurmanın qiyməti p manat olduqda gündə q = 200 − 40p dondurma satılır, hər dondurma köşkə 1 manata başa gəlir. 1) Hansı qiymətdə gəlir ən böyük olur? 2) Hansı qiymətdə mənfəət ən böyük olur? 3) Dondurma köşkə 2 manata başa gəlsəydi, cavab necə dəyişərdi?

Həllini göstər

Təyin oblastı: satış sayı mənfi ola bilməz: 200 − 40p ≥ 0 → p ≤ 5, deməli, [0; 5] parçasında işləyirik.
1) R(p) = p(200 − 40p) = 200p − 40p², R′(p) = 200 − 80p = 0 → p = 2,5 manat. R(2,5) = 2,5 · 100 = 250 manat (uclarda R(0) = R(5) = 0).
2) Π(p) = (p − 1)(200 − 40p) = −40p² + 240p − 200, Π′(p) = 240 − 80p = 0 → p = 3 manat. Uclarda Π(0) = −200 və Π(5) = 0, Π(3) = 2 · 80 = 160 manat isə ən böyük mənfəətdir; gündə 80 dondurma satılır.
3) Π(p) = (p − 2)(200 − 40p), Π′(p) = 280 − 80p = 0 → p = 3,5 manat, Π = 1,5 · 60 = 90 manat.
Ən böyük gəlir və ən böyük mənfəət müxtəlif qiymətlərdə alınır: çox satmaq hələ çox qazanmaq demək deyil.

Asan yollar və tipik səhvlər

Sürətli məşq

1.f(x) = x² − 4x, [0; 5] parçası: ən böyük qiymət =
2.x > 0 olduqda x + 25/x cəminin ən kiçik qiyməti =
3.Tərəfi 24 sm olan kvadrat vərəqdən ən böyük qapaqsız qutu: kəsilən kvadratın tərəfi = sm
4.Həcmi 16π sm³ olan qapalı silindr, ən az material: radius = sm

Bu dərslə «Törəmə və onun tətbiqləri» modulu başa çatır. Kritik nöqtələr, işarələr və uclar ideyası «Riyazi analiz» modulunun «Törəmənin tətbiqləri» dərsində universitet səviyyəsində davam edir: orada qabarıqlıq, Lopital qaydası və əlaqəli sürətlər də öyrənilir.

Əsas fikirlər

Ekstremum lokaldır (yaxın nöqtələrlə müqayisə), ən böyük və ən kiçik qiymət isə qlobaldır (çoxluğun bütün nöqtələri ilə müqayisə).
[a; b] parçasında kəsilməz funksiya ən böyük və ən kiçik qiymətini alır — ya daxildəki kritik nöqtədə, ya da ucda.
Alqoritm: f′ → (a; b) daxilindəki kritik nöqtələr → onlarda və a, b uclarında qiymətlər → ən böyüyü və ən kiçiyi seç.
Monoton funksiyanın cavabı uclardadır; aralıqda yeganə kritik nöqtə varsa, f′-in işarəsi onun ən böyük, yoxsa ən kiçik qiymət verdiyini göstərir.
Optimallaşdırma: dəyişən → funksiya → təyin oblastı → törəmə → yoxlama → vahidi ilə cavab.
Faydalı nəticələr: perimetr verilib — kvadrat; x + k/x ≥ 2√k; vərəqdən qutu — x = a/6; banka — h = 2r.

Özünü yoxla

12 sual. Hər düzgün cavab XP qazandırır.

1 / 12

[a; b] parçasında kəsilməz funksiya ən böyük qiymətini harada ala bilər?