Məzmuna keç
Educora
AZ
AzərbaycancaEnglishРусскийTürkçe
Mənim səhifəmEducora StudioParametrlər
İrəli8-ci sinif22 dəq38 / 82

Xətti bərabərsizliklər və onların sistemləri

Bərabərsizliklərin xassələri, ədədi aralıqlar və onların yazılışı, xətti bərabərsizliklərin həlli, sistemlər və ikiqat bərabərsizliklər, tam həllərin sayı, sadə modullu bərabərsizliklər, tarif və büdcə məsələləri.

Özünü yoxla
Bu dərsdə öyrənəcəksən
  • Həllər çoxluğunu aralıq şəklində yazmaq və ədəd oxunda göstərmək
  • Bərabərsizliklərin xassələrini tətbiq etmək (mənfi ədədə vuranda işarəni çevirmək) və cəmi, fərqi, hasili qiymətləndirmək
  • Xətti bərabərsizlikləri, sistemləri və ikiqat bərabərsizlikləri həll etmək, tam həllərini saymaq
  • |x − a| < b və |x − a| > b bərabərsizliklərini həll etmək, tarif və büdcə məsələlərinə bərabərsizlik qurmaq

Mobil tarif: ayda 5 manat abunə haqqı və hər danışıq dəqiqəsi üçün 0,1 manat. Leyla ayda 12 manatdan çox xərcləmək istəmir. O, nə qədər danışa bilər? Dəqiqələrin sayını x ilə işarə etsək, 5 + 0,1x ≤ 12, deməli, 0,1x ≤ 7 və x ≤ 70. Cavab bir ədəd deyil, bütöv bir çoxluqdur: 0-dan 70 dəqiqəyə qədər istənilən müddət. «Ən çoxu», «ən azı», «-dan çox olmamalıdır», «daha ucuzdur» kimi ifadələr olan suallar bərabərsizliklərə gətirir.

«Xətti tənliklər» dərsində hədləri bərabərlik işarəsinin o biri tərəfinə keçirir və x-in əmsalına bölürdün. Xətti bərabərsizliklər də demək olar ki, eyni cür həll olunur — bir mühüm fərqlə, onu bu dərsdə aydınlaşdıracağıq. Növbəti dərs, «Kvadrat bərabərsizliklər və intervallar üsulu», burada öyrəndiklərinin hamısına söykənir.

Bərabərsizlik, onun həlli və ədədi aralıqlar

Tərif
Bərabərsizliyin həlli

Dəyişənli bərabərsizliyin həlli dəyişənin elə qiymətidir ki, onu yerinə yazdıqda doğru ədədi bərabərsizlik alınır. Bərabərsizliyi həll etmək onun bütün həllərini (həllər çoxluğunu) tapmaq və ya həlli olmadığını göstərmək deməkdir. Həllər çoxluğu eyni olan bərabərsizliklər eynigüclü adlanır.

< və > işarələri ciddi, ≤ («kiçik və ya bərabərdir») və ≥ («böyük və ya bərabərdir») işarələri isə qeyri-ciddi bərabərsizlik verir. Məsələn, x = 3 ədədi x ≤ 3 bərabərsizliyinin həllidir, x < 3 bərabərsizliyinin isə həlli deyil. Xətti bərabərsizliyin həlləri ədəd oxunun bütöv bir hissəsini tutur, ona görə onları ədədi aralıqlar şəklində yazırıq.

BərabərsizlikYazılışAdıƏdəd oxunda
a < x < b(a; b)intervalhər iki uc boş nöqtədir
a ≤ x ≤ b[a; b]parçahər iki uc dolu nöqtədir
a ≤ x < b[a; b)yarımintervala dolu, b boş nöqtədir
x > a(a; +∞)açıq şüaa boş nöqtədir, ştrix sağa gedir
x ≥ a[a; +∞)şüaa dolu nöqtədir, ştrix sağa gedir
x ≤ a(−∞; a]şüaa dolu nöqtədir, ştrix sola gedir
Kvadrat mötərizə ucun daxil olduğunu, dairəvi mötərizə daxil olmadığını göstərir. ∞ işarəsinin yanında həmişə dairəvi mötərizə yazılır: sonsuzluq ədəd deyil. Bütün ədəd oxu (−∞; +∞), boş çoxluq isə ∅ ilə işarə olunur.
Aralıqları oxumaq və yazmaq

1) Aralıq şəklində yaz: a) −2 < x ≤ 5; b) x ≥ −1; c) x < 4.
2) Bərabərsizlik şəklində yaz: [0; 3) və (−∞; −2].
3) (−2; 3] aralığına hansı tam ədədlər daxildir? −2 və 3 ona daxildirmi?

Həllini göstər
1) a) (−2; 5] — −2 daxil deyil (dairəvi mötərizə), 5 daxildir (kvadrat mötərizə); b) [−1; +∞); c) (−∞; 4).
2) [0; 3) ⇔ 0 ≤ x < 3; (−∞; −2] ⇔ x ≤ −2.
3) −2 daxil deyil, 3 daxildir. Tam ədədlər: −1, 0, 1, 2, 3 — cəmi 5 ədəd.

Bərabərsizliklərin xassələri

Qaydalar haradan gəlir? Tərifə görə, a > b o deməkdir ki, a − b fərqi müsbətdir. Aşağıdakı bütün xassələr bu bir fikirdən alınır: a və b-yə eyni c ədədini əlavə etdikdə fərq dəyişmir; c-yə vurduqda isə fərq də c-yə vurulur və c(a − b) hasili öz işarəsini yalnız c > 0 olduqda saxlayır. c < 0 olduqda hasilin işarəsi dəyişir — bərabərsizliyin işarəsi də məhz buna görə çevrilir.

a < b ⇒ a + c < b + c; c > 0: ac < bc; c < 0: ac > bc
burada:
  • a, bbərabərsizliyin tərəfləri
  • chər iki tərəfə əlavə olunan və ya hər iki tərəfin vurulduğu ədəd

Eyni ədədi əlavə etmək (çıxmaq) və müsbət ədədə vurmaq (bölmək) işarəni saxlayır. Mənfi ədədə vuranda və ya bölərkən bərabərsizlik işarəsi əksinə dəyişir.

Xassələrin tətbiqi

Məlumdur ki, a < b. Müqayisə et: 1) a − 7 və b − 7; 2) 5a və 5b; 3) −2a və −2b; 4) 3 − a və 3 − b.

Həllini göstər
1) Hər iki tərəfdən 7 çıxırıq: a − 7 < b − 7.
2) 5 > 0 ədədinə vururuq, işarə qalır: 5a < 5b.
3) −2 < 0 ədədinə vururuq, işarə çevrilir: −2a > −2b.
4) Əvvəlcə −1-ə vururuq: −a > −b, sonra 3 əlavə edirik: 3 − a > 3 − b.
Yoxlama: a = 1, b = 4 olduqda 3 − 1 = 2, 3 − 4 = −1 və həqiqətən 2 > −1.
a < b və c < d ⇒ a + c < b + d; a, b, c, d > 0 olduqda: ac < bd
burada:
  • a < b, c < deyni işarəli (eyni istiqamətli) iki bərabərsizlik

Eyni istiqamətli bərabərsizlikləri hədbəhəd toplamaq, tərəfləri müsbət olanları isə hədbəhəd vurmaq olar. Hədbəhəd çıxmaq və bölmək olmaz: a − b-ni qiymətləndirmək üçün əvvəlcə b-ni −b-yə çevirib sonra toplayırıq.

Cəmi, fərqi və hasili qiymətləndirmək

Məlumdur ki, 3 < x < 5 və 1 < y < 2. Qiymətləndir: 1) x + y; 2) x − y; 3) xy; 4) tərəfləri x və y olan düzbucaqlının perimetrini P = 2(x + y).

Həllini göstər
1) Hədbəhəd toplayırıq: 3 + 1 < x + y < 5 + 2, yəni 4 < x + y < 7.
2) Əvvəlcə 1 < y < 2 bərabərsizliyini −1-ə vururuq: −2 < −y < −1. İndi toplayırıq: 3 − 2 < x − y < 5 − 1, yəni 1 < x − y < 4.
3) Bütün tərəflər müsbətdir, hədbəhəd vururuq: 3 · 1 < xy < 5 · 2, yəni 3 < xy < 10.
4) 4 < x + y < 7 bərabərsizliyini 2-yə vururuq: 8 < P < 14.

Xətti bərabərsizliklərin həlli. Tarif və büdcə məsələləri

Tərif
Xətti bərabərsizlik

ax > b (və ya ax < b, ax ≥ b, ax ≤ b) şəklində bərabərsizlik; burada a və b ədədlər, x isə dəyişəndir. x-in yalnız birinci dərəcədə olduğu və məxrəcdə x olmayan istənilən bərabərsizlik bu şəklə gətirilir.

  1. 1
    Mötərizələri aç, kəsrlərdən qurtul

    Kəsrlər varsa, hər iki tərəfi müsbət ortaq məxrəcə vur — işarə dəyişmir.

  2. 2
    Hədləri köçür

    x-li hədləri bir tərəfə, ədədləri o biri tərəfə keçir və işarələrini dəyiş.

  3. 3
    Oxşar hədləri islah et

    ax > b (və ya başqa işarəli) şəklinə gətir.

  4. 4
    Əmsala böl

    a-ya böl. a < 0 olarsa, işarəni çevir!

  5. 5
    Yaz və yoxla

    Cavabı aralıq şəklində yaz; ondan bir ədədi və ondan kənar bir ədədi ilkin bərabərsizlikdə yoxla.

ax > b: a > 0 olduqda x > b/a; a < 0 olduqda x < b/a; a = 0 olduqda: b < 0 isə x — istənilən ədəd, b ≥ 0 isə həll yoxdurax > b: a > 0 olduqda x > b/a; a < 0 olduqda x < b/a; a = 0 olduqda: b < 0 isə x — istənilən ədəd, b ≥ 0 isə həll yoxdur
burada:
  • ax-in əmsalı
  • bsərbəst hədd (sağ tərəfdəki ədəd)
  • b/ab/asərhəd nöqtəsi — ax = b tənliyinin kökü

a = 0 olduqda bərabərsizlik 0 · x > b şəklinə düşür və x-dən asılı olmayan ədədi bərabərsizliyə çevrilir: ya bütün x-lər üçün doğrudur, ya heç biri üçün.

Xətti bərabərsizliklər

Həll et: 1) 3(x − 2) − 5 ≤ 9 − x; 2) −2x + 7 > 1; 3) (x − 1)/2 − (x + 3)/3 < 1.

Həllini göstər
1) Mötərizəni açırıq: 3x − 6 − 5 ≤ 9 − x, yəni 3x − 11 ≤ 9 − x.
Hədləri köçürürük: 3x + x ≤ 9 + 11, 4x ≤ 20, x ≤ 5. Cavab: (−∞; 5].
2) −2x > 1 − 7, −2x > −6. −2-yə bölürük və işarəni çeviririk: x < 3. Cavab: (−∞; 3).
3) Hər iki tərəfi 6-ya vururuq (müsbət ədəd, işarə qalır): 3(x − 1) − 2(x + 3) < 6.
3x − 3 − 2x − 6 < 6, x − 9 < 6, x < 15. Cavab: (−∞; 15); ən böyük tam həll 14-dür.
Xüsusi hallar və ən böyük tam həll

1) 2(x + 3) > 2x + 1; 2) 3x − 4 ≥ 3(x + 1); 3) 5 − 3x ≥ 2x − 12 bərabərsizliyinin ən böyük tam həllini tap.

Həllini göstər
1) 2x + 6 > 2x + 1 ⇒ 0 · x > −5, yəni 0 > −5 — bu, hər x üçün doğrudur. Cavab: x — istənilən ədəd, (−∞; +∞).
2) 3x − 4 ≥ 3x + 3 ⇒ 0 · x ≥ 7 — heç bir x üçün doğru deyil. Cavab: həlli yoxdur (∅).
3) 5 + 12 ≥ 2x + 3x ⇒ 17 ≥ 5x ⇒ x ≤ 3,4. 3,4-dən böyük olmayan ən böyük tam ədəd 3-dür.

Mətnli məsələni bərabərsizliyə çevirmək üçün məchulu işarə et, hər iki tərəfi onun vasitəsilə yaz və işarəni sözlərə görə seç: «ən çoxu» ⇒ ≤, «ən azı» ⇒ ≥, «daha ucuzdur» ⇒ <. Həll etdikdən sonra yalnız mənası olan qiymətləri saxla: dəqiqələrin, adamların və dəftərlərin sayı mənfi ola bilməz, dəftərlər isə yalnız tam ədədlə sayılır.

İki tarifin müqayisəsi

A tarifi: ayda 8 manat və dəqiqəsi 0,05 manat. B tarifi: ayda 2 manat və dəqiqəsi 0,15 manat. Murad ayda neçə dəqiqə danışsa, A tarifi ona daha ucuz başa gələr?

Həllini göstər
Dəqiqələrin sayı x olsun. A-nın qiyməti 8 + 0,05x, B-nin qiyməti 2 + 0,15x.
A daha ucuzdur: 8 + 0,05x < 2 + 0,15x.
8 − 2 < 0,15x − 0,05x ⇒ 6 < 0,1x ⇒ x > 60.
Cavab: Murad ayda 60 dəqiqədən çox danışarsa, A tarifi ucuzdur; düz 60 dəqiqədə hər ikisi 11 manatdır.
Büdcə

Ayselin 50 manatı var. O, 20 manata çanta alır, qalan pulu isə hər biri 3,5 manat olan dəftərlərə xərcləmək istəyir. Ən çoxu neçə dəftər ala bilər?

Həllini göstər
n dəftər alsın: 20 + 3,5n ≤ 50 ⇒ 3,5n ≤ 30 ⇒ n ≤ 60/7 ≈ 8,6.
n tam ədəddir, ona görə ən çoxu 8 dəftər.
Yoxlama: 8 dəftərlə cəmi 20 + 28 = 48 manat, 9 dəftərlə isə 51,5 manat olardı.

Bərabərsizliklər sistemi və ikiqat bərabərsizlik

Tərif
Bərabərsizliklər sistemi

Eyni zamanda ödənməli olan bir neçə bərabərsizlik (fiqurlu mötərizə { ilə yazılır). Sistemin həlli hər bir bərabərsizliyi ödəyir, ona görə sistemin həllər çoxluğu onların həllər çoxluqlarının kəsişməsidir — ədəd oxunda bütün ştrixlərin üst-üstə düşdüyü hissə.

a < b: {x > a; x > b} ⇔ x > b; {x < a; x < b} ⇔ x < a; {x > a; x < b} ⇔ a < x < b; {x < a; x > b} — həlli yoxdur
burada:
  • a, biki sərhəd nöqtəsi, a < b

«Hər ikisindən böyük» — böyüyündən böyük; «hər ikisindən kiçik» — kiçiyindən kiçik; «arada» — interval; ştrixlər bir-birindən uzaqlaşırsa, həll yoxdur.

Bərabərsizliklər sistemi

Sistemləri həll et və tam həllərin sayını tap:
1) {2x − 1 > 3; 3x − 4 ≤ 11}
2) {x − 3 > 1; 2x < 6}
3) {3 − x < 5; 4x + 1 ≤ 13; x + 5 > 0}

Həllini göstər
1) 2x > 4 ⇒ x > 2; 3x ≤ 15 ⇒ x ≤ 5. Kəsişmə: (2; 5]. Tam həllər: 3, 4, 5 — cəmi 3.
2) x > 4 və x < 3: heç bir ədəd eyni zamanda 4-dən böyük və 3-dən kiçik ola bilməz. Cavab: həlli yoxdur.
3) −x < 2 ⇒ x > −2; 4x ≤ 12 ⇒ x ≤ 3; x > −5. «−2-dən və −5-dən böyük» — yəni x > −2, deməli, (−2; 3]. Tam həllər: −1, 0, 1, 2, 3 — cəmi 5.

İkiqat bərabərsizlik m < ax + b < n iki bərabərsizlikdən ibarət sistemin qısa yazılışıdır. Onu hissələrə ayırmadan həll etmək olar: hər addımı eyni vaxtda hər üç hissəyə tətbiq edirik. Mənfi ədədə bölərkən hər iki işarə çevrilir; səliqə üçün nəticəni kiçik ədəddən böyüyə doğru yenidən yazırıq.

İkiqat bərabərsizliklər

1) −1 ≤ 2x + 3 < 9; 2) −3 < 1 − 2x ≤ 5 (tam həllərin cəmini də tap).

Həllini göstər
1) Hər hissədən 3 çıxırıq: −4 ≤ 2x < 6. Hər hissəni 2-yə bölürük: −2 ≤ x < 3, yəni x ∈ [−2; 3).
2) Hər hissədən 1 çıxırıq: −4 < −2x ≤ 4. −2-yə bölürük və hər iki işarəni çeviririk: 2 > x ≥ −2, yəni −2 ≤ x < 2, x ∈ [−2; 2). Tam həllər: −2, −1, 0, 1; onların cəmi −2-dir.
Orta bal: ikiqat bərabərsizlik

Elvinin ilk üç testdən balları 78, 90 və 82-dir. Dörd testin orta balının ən azı 85 olması üçün dördüncü bal necə olmalıdır (maksimal bal 100-dür)?

Həllini göstər
(78 + 90 + 82 + x)/4 ≥ 85 ⇒ 250 + x ≥ 340 ⇒ x ≥ 90.
Bal 100-dən çox ola bilməz, ona görə sistem alırıq: {x ≥ 90; x ≤ 100}, yəni 90 ≤ x ≤ 100.

Modullu sadə bərabərsizliklər

«Müsbət və mənfi ədədlər» dərsindən xatırla: |x| ədəd oxunda x-dən 0-a qədər məsafədir. Eyni qayda ilə |x − a| x və a nöqtələri arasındakı məsafədir. Deməli, |x − 3| < 2 soruşur: hansı nöqtələr 3 nöqtəsinə 2-dən yaxındır? Onlar 3 − 2 = 1-dən 3 + 2 = 5-ə qədər intervalı doldurur. |x − 3| > 2 isə 3-dən 2-dən çox uzaq olan nöqtələri soruşur: onlar 1-dən solda və 5-dən sağdadır.

|x − a| < b ⇔ a − b < x < a + b; |x − a| > b ⇔ x < a − b və ya x > a + b (b > 0)
burada:
  • |x − a|ədəd oxunda x ilə a arasındakı məsafə
  • amərkəz — məsafənin ölçüldüyü nöqtə
  • bicazə verilən məsafə, b > 0

«Kiçikdir» a ətrafında bir interval verir (sistem kimi), «böyükdür» isə ondan kənarda iki şüa (sözü «və ya», birləşmə ∪). ≤ və ≥ olduqda a ± b ucları da daxildir. b < 0 olarsa, |x − a| < b bərabərsizliyinin həlli yoxdur, |x − a| > b isə hər x üçün doğrudur, çünki məsafə mənfi ola bilməz.

Modullu bərabərsizliklər

Həll et: 1) |x − 3| < 2; 2) |x + 1| ≥ 4; 3) |2x − 1| ≤ 5; 4) |x − 4| < −1; 5) |x − 2| ≤ 3 bərabərsizliyinin neçə tam həlli var?

Həllini göstər
1) Mərkəz 3, məsafə 2: 1 < x < 5, yəni (1; 5).
2) |x + 1| = |x − (−1)|: mərkəz −1, məsafə 4. x ≤ −1 − 4 = −5 və ya x ≥ −1 + 4 = 3: (−∞; −5] ∪ [3; +∞).
3) −5 ≤ 2x − 1 ≤ 5 ⇒ −4 ≤ 2x ≤ 6 ⇒ −2 ≤ x ≤ 3, yəni [−2; 3].
4) Modul heç vaxt mənfi deyil, ona görə −1-dən kiçik ola bilməz: həlli yoxdur.
5) −3 ≤ x − 2 ≤ 3 ⇒ −1 ≤ x ≤ 5; −1-dən 5-ə qədər tam ədədlər: 5 − (−1) + 1 = 7.
İnteraktiv
Simulyasiya yüklənir…
V hərfinə bənzəyən qrafik y = |x − a|, üfüqi xətt isə y = b-dir. V xəttin altında olan yerdə |x − a| < b, üstündə olan yerdə |x − a| > b. Başlanğıcda a = 3, b = 2: V qrafiki x = 1 ilə x = 5 arasında xəttin altındadır. b-ni sıfırdan aşağı sal və gör ki, niyə onda |x − a| < b bərabərsizliyinin həlli yoxdur.

Əsas fikirlər

  • Hər iki tərəfi mənfi ədədə vuranda və ya bölərkən bərabərsizlik işarəsi əksinə dəyişir; ədəd əlavə etmək və müsbət ədədə vurmaq işarəni saxlayır.
  • Kvadrat mötərizə ucu daxil edir, dairəvi mötərizə etmir; ∞ yanında həmişə dairəvi mötərizə olur.
  • a = 0 olduqda 0 · x > b bərabərsizliyi ya bütün x-lər üçün doğrudur, ya heç biri üçün.
  • Sistemin həlli həllər çoxluqlarının kəsişməsidir; ikiqat bərabərsizlikdə hər addım hər üç hissəyə tətbiq olunur.
  • b > 0 olduqda |x − a| < b ⇔ a − b < x < a + b; |x − a| > b ⇔ x < a − b və ya x > a + b.

Özünü yoxla

12 sual. Hər düzgün cavab XP qazandırır.

1 / 12
Bərabərsizliyin hər iki tərəfini −4-ə böldükdə işarə ilə nə baş verir?