Müsbət və mənfi ədədlər. Koordinat düz xətti və modul

Bu dərsdə öyrənəcəksən

Koordinat düz xəttində tam və kəsr koordinatlı nöqtələri qeyd etmək və nöqtənin koordinatını oxumaq
Ədədin tam, rasional, müsbət və ya mənfi olduğunu müəyyən etmək, həyati vəziyyətləri işarəli ədədlərlə yazmaq
Əks ədədi və ədədin modulunu tapmaq, |x| = a şəklində sadə tənlikləri həll etmək
Müsbət və mənfi ədədləri müqayisə etmək və artma sırası ilə düzmək

Qış səhəri. Hava proqnozu: Bakıda +6 °C, Şahdağda −8 °C. Liftdəki −1 düyməsi yeraltı dayanacağa aparır, bank tətbiqi isə kart balansını −15 manat göstərir. Bu ədədlərin hər birində işarə vacib məlumat daşıyır: sıfırdan yuxarı, yoxsa aşağı; yerin üstü, yoxsa altı; pul var, yoxsa borc. +6 °C ilə −8 °C arasında neçə dərəcə fərq var? Bu dərsdə bu suala koordinat düz xəttində vahidləri sayaraq cavab verəcəyik.

Sən artıq natural ədədləri, adi və onluq kəsrləri tanıyırsan (bax: «Adi kəsrlər: anlayış, ixtisar və müqayisə» və «Onluq kəsrlər» dərsləri). Onların hamısı sıfırdan böyük və ya sıfıra bərabərdir. İndi ədədlər dünyasını sıfırdan sola doğru genişləndiririk. Mənfi ədədlərlə hesablamağı isə növbəti dərsdə — «Rasional ədədlər üzərində əməllər» dərsində öyrənəcəksən.

Koordinat düz xətti

Tərif

Koordinat düz xətti

Üzərində üç şey seçilmiş düz xətt: başlanğıc nöqtə O (ona 0 ədədi uyğundur), müsbət istiqamət (adətən sağa, oxla göstərilir) və vahid parça (uzunluğu 1 olan parça). Nöqtəyə uyğun ədəd onun koordinatı adlanır: A(3) yazılışı «A nöqtəsinin koordinatı 3-dür» deməkdir.

Müsbət ədədlər O-dan sağda, mənfi ədədlər isə solda yerləşir: 3 ədədi O-dan 3 vahid sağda, −3 isə 3 vahid solda olan nöqtədir. Kəsr ədədlərin də öz yeri var: −1,5 nöqtəsi −1 ilə −2-nin tam ortasındadır, −2/3 nöqtəsini tapmaq üçün isə O ilə −1 arasındakı parçanı üç bərabər hissəyə bölüb O-dan sola iki hissə sayırıq. Termometr də koordinat düz xəttidir, sadəcə şaquli: sıfırdan yuxarı «+», aşağı «−».

1
İşarəyə bax
a > 0 olarsa, O-dan sağa, a < 0 olarsa, sola gedəcəksən. a = 0 olarsa, nöqtə O-nun özüdür.
2
Vahidləri say
İşarəni nəzərə almadan ədəd qədər vahid parça ayır: −4 üçün 4 vahid.
3
Kəsr hissəni böl
Ədəd kəsrdirsə, vahid parçanı məxrəc qədər bərabər hissəyə böl: −2,5 üçün 2 tam vahid və yarım vahid, −3/4 üçün vahidin 4 hissəsindən 3-ü.
4
Adlandır
Nöqtəni qeyd et, yanında hərfini və koordinatını yaz: C(−2,5).

Nöqtələr və koordinatlar

1) Koordinat düz xəttində A(4), B(−3), C(−1,5) və D(−3/4) nöqtələrini necə qeyd etmək olar?
2) M nöqtəsi O-dan 5 vahid solda, N nöqtəsi isə M-dən 7 vahid sağda yerləşir. Onların koordinatlarını tap.

Həllini göstər

1) A: O-dan sağa 4 vahid. B: sola 3 vahid. C: sola 1 tam və yarım vahid, yəni −1 ilə −2-nin ortası. D: O ilə −1 arasındakı parçanı 4 hissəyə bölüb sola 3 hissə sayırıq.
2) M nöqtəsi solda olduğu üçün koordinatı mənfidir: M(−5). M-dən sağa 7 addım: 5 addımda O-ya çatırıq, daha 2 addım bizi 2 nöqtəsinə aparır. Deməli, N(2).

Temperatur fərqi termometrdə

Bakıda +6 °C, Şahdağda −8 °C-dir. Bu temperaturlar arasında neçə dərəcə fərq var? Termometrin bir bölgüsü 1 °C-dir.

Həllini göstər

Termometri koordinat düz xətti kimi düşünək. −8-dən 0-a qədər 8 bölgü, 0-dan 6-ya qədər isə 6 bölgü var.
Nöqtələr sıfırın müxtəlif tərəflərindədir, ona görə bölgüləri toplayırıq: 8 + 6 = 14 °C.
Müqayisə üçün: −8 °C ilə −3 °C sıfırın eyni tərəfindədir, aralarında 8 − 3 = 5 bölgü, yəni 5 °C fərq var.

Tam və rasional ədədlər

Sıfırdan böyük ədədlər müsbət, sıfırdan kiçik ədədlər mənfi adlanır. Sıfır nə müsbət, nə də mənfidir — o, iki tərəfi ayıran sərhəddir. Müsbət ədədin qarşısındakı «+» işarəsini yazmamaq olar: +6 = 6. Mənfi ədədin qarşısındakı «−» isə heç vaxt buraxılmır: −6 ilə 6 tamamilə fərqli ədədlərdir.

Tərif

Tam ədədlər (Z)

Natural ədədlər (1, 2, 3, …), onlara əks olan mənfi ədədlər (−1, −2, −3, …) və 0: Z = {…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …}. Koordinat düz xəttində tam ədədlər bir-birindən vahid parça qədər aralı olan nöqtələrdir.

Tərif

Rasional ədədlər (Q)

m/n şəklində yazıla bilən ədədlər; burada m tam, n isə natural ədəddir. Bura bütün tam ədədlər (5 = 5/1, −2 = −2/1), müsbət və mənfi adi kəsrlər (−3/4) və sonlu onluq kəsrlər (−0,25 = −1/4) daxildir.

r = m/nr = m/n

burada:

rrasional ədəd
msurət — istənilən tam ədəd (müsbət, mənfi və ya 0)
nməxrəc — natural ədəd (n ≠ 0)

Hər natural ədəd tam ədəddir, hər tam ədəd isə rasional ədəddir: N ⊂ Z ⊂ Q. Mənfi kəsrin işarəsini surətə yazmaq olar: −3/4 = (−3)/4.

Hansı ədəd hara aiddir?

Ədədlər: 7; −4; 0; −2/3; 3,5; −0,125; 12/4; −6/3.
1) Bunlardan hansılar tam ədədlərdir?
2) Hər birini m/n şəklində yaz və onların rasional olduğunu göstər.

Həllini göstər

1) 7, −4 və 0 tam ədədlərdir. 12/4 = 3 və −6/3 = −2 də tam ədəddir: kəsr kimi yazılsalar da, ixtisardan sonra tam alınır. −2/3, 3,5 və −0,125 tam deyil.
2) 7 = 7/1; −4 = −4/1; 0 = 0/1; −2/3 artıq m/n şəklindədir; 3,5 = 35/10 = 7/2; −0,125 = −125/1000 = −1/8; 12/4 = 3/1; −6/3 = −2/1.
Nəticə: səkkiz ədədin hamısı rasionaldır, onlardan beşi tam ədəddir.

Mənfi ədədlər həyatda bir kəmiyyətin iki əks istiqamətini göstərmək üçün lazımdır. Hansı istiqaməti müsbət saymaq razılaşmadır, amma bir dəfə seçdikdən sonra ona əməl etmək lazımdır:

Temperatur: sıfırdan 5 dərəcə aşağı −5 °C, sıfırdan 12 dərəcə yuxarı +12 °C yazılır.
Hündürlük və dərinlik: dəniz səviyyəsindən 40 m aşağıda üzən dalğıc −40 m-də, 4466 m hündürlüyündəki Bazardüzü zirvəsi +4466 m-dədir.
Bank hesabı: hesaba daxil olan 50 manat +50, xərclənən 20 manat −20 kimi yazılır; −15 manat balans 15 manat borc deməkdir.
Lift: −2 düyməsi yerin altındakı ikinci mərtəbəyə aparır.

Qarşılıqlı əks ədədlər

Tərif

Qarşılıqlı əks ədədlər

Yalnız işarələri ilə fərqlənən iki ədəd: 5 və −5, −2,7 və 2,7. Koordinat düz xəttində onlar O-dan eyni məsafədə, müxtəlif tərəflərdə yerləşir, yəni O nöqtəsinə nəzərən simmetrikdir. 0-ın əksi 0-ın özüdür. a ədədinin əksi −a kimi yazılır.

Diqqət: −a yazılışı «mənfi ədəd» kimi yox, «a-nın əksi» kimi oxunur. a = 4 olarsa, −a = −4 mənfidir; a = −4 olarsa, −a = −(−4) = 4 müsbətdir. Əks ədədi iki dəfə götürsək, simmetriya bizi başladığımız yerə qaytarır — güzgüdə iki dəfə əks olunmaq kimi.

−(−a) = a

burada:

aistənilən rasional ədəd
−aa-nın əksi (a mənfi olduqda müsbətdir)

Əks ədədin əksi ədədin özüdür. Yan-yana duran iki «−» bir-birini ləğv edir: −(−(−5)) = −5, çünki üç işarədən ikisi ləğv olunur, biri qalır.

Əks ədədlər

1) 7; −3,5; 2/9; 0 ədədlərinin əksini yaz.
2) Sadələşdir: −(−12); −(−(−8)); −(+6).
3) −x = 9 olarsa, x nəyə bərabərdir? −y = −2,4 olarsa, y nəyə bərabərdir?

Həllini göstər

1) −7; 3,5; −2/9; 0.
2) −(−12) = 12; −(−(−8)) = −8 (üç «−»: ikisi ləğv olunur, biri qalır); −(+6) = −6.
3) x-in əksi 9-dursa, x 9-un əksidir: x = −9. y-in əksi −2,4-dürsə, y = 2,4.

Ədədin modulu

Tərif

Ədədin modulu

Koordinat düz xəttində ədədi göstərən nöqtədən başlanğıc nöqtə O-ya qədər olan məsafə. a ədədinin modulu |a| kimi yazılır və «a-nın modulu» oxunur. Məsafə olduğu üçün modul heç vaxt mənfi olmur.

−3 və 3 qarşılıqlı əks ədədlərdir: O nöqtəsinə nəzərən simmetrikdir və modulları bərabərdir.

|a| = a, əgər a ≥ 0; |a| = −a, əgər a < 0

burada:

aistənilən rasional ədəd
|a|a-nın modulu — a nöqtəsindən O-ya qədər məsafə
−aa-nın əksi; a < 0 olduqda müsbətdir

Müsbət ədədin və sıfırın modulu ədədin özüdür, mənfi ədədin modulu isə onun əksidir. Buna görə |a| ≥ 0 və |−a| = |a|: əks ədədlərin modulları bərabərdir.

Düstur ilk baxışda qəribə görünür: modul mənfi ola bilməz, bəs niyə «−a» yazılıb? Çünki a mənfi olduqda −a müsbətdir. Məsələn, a = −7 olarsa, |a| = −a = −(−7) = 7. Yəni burada «−a» mənfi ədəd deyil, əks ədəddir.

Modulu hesabla

1) |−12|; |3,7|; |0|; |−2/5|.
2) |−8| + |3|; |−8| − |−3|; |−6| · |−2|; |−20| : |4|.
3) −|−9| ifadəsinin qiymətini tap.

Həllini göstər

1) |−12| = 12; |3,7| = 3,7; |0| = 0; |−2/5| = 2/5.
2) Əvvəlcə modulları tapırıq, sonra adi müsbət ədədlərlə hesablayırıq: 8 + 3 = 11; 8 − 3 = 5; 6 · 2 = 12; 20 : 4 = 5.
3) Əvvəlcə modul: |−9| = 9, sonra onun əksi: −|−9| = −9. Modul mənfi deyil, amma onun qarşısındakı «−» nəticəni mənfi edir.

|x| = a (a > 0) ⇒ x = a və ya x = −a

burada:

xaxtarılan ədəd
averilmiş məsafə — müsbət ədəd

O-dan a məsafədə iki nöqtə var: biri sağda, biri solda. |x| = 0 olduqda yalnız x = 0; |x| = −3 kimi tənliyin isə həlli yoxdur, çünki məsafə mənfi ola bilməz.

|x| = a tənlikləri

Tənlikləri həll et: 1) |x| = 5; 2) |x| = 2,5; 3) |x| = 0; 4) |x| = −4.
5) Modulu 3-dən kiçik olan bütün tam ədədləri yaz.

Həllini göstər

1) x = 5 və ya x = −5 — iki kök.
2) x = 2,5 və ya x = −2,5.
3) Yalnız x = 0: O-dan 0 məsafədə olan nöqtə O-nun özüdür.
4) Kök yoxdur: modul mənfi ola bilməz.
5) O-dan 3 vahiddən az məsafədə olan tam ədədlər: −2, −1, 0, 1, 2 — 5 ədəd. −3 və 3 daxil deyil: onların modulu 3-ə bərabərdir, 3-dən kiçik deyil.

Ədədlərin müqayisəsi və sıralanması

Koordinat düz xəttində ədədlər soldan sağa artır: sağda yerləşən ədəd soldakından böyükdür. Buradan üç qayda çıxır. Hər müsbət ədəd sıfırdan böyükdür. Hər mənfi ədəd sıfırdan kiçikdir, deməli, istənilən müsbət ədəddən də kiçikdir. Ən maraqlısı üçüncü qaydadır — iki mənfi ədədin müqayisəsi.

a < 0, b < 0 və |a| > |b| ⇒ a < b

burada:

a, bmüqayisə olunan mənfi ədədlər
|a|, |b|onların O-dan məsafələri

İki mənfi ədəddən modulu böyük olan kiçikdir: o, sıfırdan daha uzaqda, daha solda yerləşir. −10 °C şaxta −2 °C-dən soyuqdur, 50 manat borc 5 manat borcdan pisdir.

Müqayisə et

<, > və ya = işarəsi qoy: 1) −7 və −2; 2) −3,5 və −3,05; 3) −1/2 və −1/3; 4) −0,6 və −2/3; 5) |−4| və −5.

Həllini göstər

1) |−7| = 7 > 2 = |−2|, deməli, −7 < −2.
2) 3,50 > 3,05, deməli, −3,5 < −3,05.
3) 1/2 = 3/6 > 2/6 = 1/3, deməli, −1/2 < −1/3.
4) 2/3 = 0,666… > 0,6, deməli, −0,6 > −2/3.
5) |−4| = 4 müsbətdir, −5 isə mənfidir: |−4| > −5.

1
Qruplara ayır
Ədədləri üç qrupa böl: mənfilər, sıfır, müsbətlər. Modul işarəsi varsa, əvvəlcə onu hesabla: |−5| = 5 müsbətdir.
2
Mənfiləri düz
Mənfi ədədləri modullarına görə müqayisə et: modulu ən böyük olan ən kiçikdir və sıranın əvvəlinə yazılır.
3
Müsbətləri düz
Müsbət ədədləri adi qaydada düz; lazım olsa, kəsrləri ortaq məxrəcə gətir və ya onluq kəsrə çevir.
4
Birləşdir və yoxla
Mənfilər → 0 → müsbətlər. Yoxla: koordinat düz xəttində bu sıra soldan sağa gedirmi?

Sırala və say

1) Ədədləri artma sırası ilə düz: 3; −4; 1/2; −2,5; 0; −1/4; |−6|.
2) Tutaq ki, qış səhəri termometrlər belə göstərir: Şahdağ −8 °C, Qəbələ −1 °C, Bakı +6 °C, Şəki −3 °C, Lənkəran +9 °C. Ən soyuq və ən isti yeri tap, temperaturları azalma sırası ilə yaz.
3) −3,5 ilə 2,4 arasında neçə tam ədəd var?

Həllini göstər

1) |−6| = 6. Mənfilər: −4, −2,5, −1/4; modulları 4 > 2,5 > 0,25, deməli, −4 < −2,5 < −1/4. Müsbətlər: 1/2 < 3 < 6.
Cavab: −4 < −2,5 < −1/4 < 0 < 1/2 < 3 < |−6|.
2) Ən soyuq yer Şahdağdır (−8 °C — modulu ən böyük mənfi ədəd), ən isti yer Lənkərandır (+9 °C).
Azalma sırası: 9 > 6 > −1 > −3 > −8.
3) −3,5-dən sağdakı ilk tam ədəd −3, 2,4-dən soldakı sonuncu tam ədəd 2-dir: −3, −2, −1, 0, 1, 2 — 6 tam ədəd.

İnteraktiv

Simulyasiya yüklənir…

Hər kartı uyğun qrupa at. Əvvəlcə kəsri ixtisar et, modulu və əks ədədi hesabla: 12/4 = 3, −(−4) = 4.

Özünü yoxla

1.|−9| =
2.−(−14) =
3.−3,5 ədədinin əksi:
4.−4 −9 (< və ya >)
5.|x| = 6 tənliyinin mənfi kökü: x =
6.−2 ilə 3 arasında olan tam ədədlərin sayı:

Artıq müsbət və mənfi ədədləri koordinat düz xəttində görür, müqayisə edir və modulunu tapırsan. Növbəti dərsdə — «Rasional ədədlər üzərində əməllər» dərsində — bu ədədləri toplamağı, çıxmağı, vurmağı və bölməyi öyrənəcəksən. Orada modul və əks ədəd hər qaydanın əsas aləti olacaq.

Əsas fikirlər

Koordinat düz xəttində başlanğıc nöqtə, müsbət istiqamət və vahid parça seçilir; müsbət ədədlər 0-dan sağda, mənfi ədədlər solda yerləşir, 0 isə nə müsbət, nə də mənfidir.
Tam ədədlər: natural ədədlər, onların əksləri və 0. Rasional ədədlər m/n şəklində yazılır (m tam, n natural); hər tam ədəd rasionaldır: N ⊂ Z ⊂ Q.
Əks ədədlər yalnız işarə ilə fərqlənir və O-ya nəzərən simmetrikdir; −(−a) = a, −a isə a mənfi olduqda müsbətdir.
Modul ədəddən 0-a qədər məsafədir: |a| ≥ 0, |−a| = |a|. |x| = a (a > 0) tənliyinin iki kökü var — a və −a; |x| = −3 tənliyinin kökü yoxdur.
Sağdakı ədəd böyükdür; iki mənfi ədəddən modulu böyük olan kiçikdir: −7 < −2, −1/2 < −1/3.

Özünü yoxla

12 sual. Hər düzgün cavab XP qazandırır.

1 / 12

|−12| neçəyə bərabərdir?