- İbtidai funksiyaları cədvəl və xəttilik vasitəsilə tapmaq
- Müəyyən inteqralı Riman cəmlərinin limiti kimi izah etmək
- Nyuton–Leybnis düsturu ilə müəyyən inteqralları hesablamaq
- Əyrilər arasındakı sahəni və funksiyanın orta qiymətini tapmaq
Avtomobilin bort kompüteri hər saniyə sürəti qeyd edir. Avtomobil nə qədər yol gedib? Sürət sabit olsaydı, yol = sürət × zaman olardı, lakin sürət daim dəyişir. Səfəri çox kiçik zaman aralıqlarına bölək, hər birində sürəti zamana vuraq, hasilləri toplayaq və aralıqları kiçildək — nəticə inteqral olacaq. Təəccüblüdür ki, onu hesablamaq üçün diferensiallamanı tərsinə aparmaq kifayətdir.
İbtidai funksiya və qeyri-müəyyən inteqral
Əgər intervalın bütün nöqtələrində F′(x) = f(x) olarsa, F funksiyası f-in bu intervalda ibtidai funksiyası adlanır. Məsələn, x³/3 funksiyası x²-nin ibtidai funksiyasıdır, x³/3 + 5 və x³/3 − π da elə: istənilən iki ibtidai funksiya bir-birindən sabit ədəd qədər fərqlənir.
- ∫inteqral işarəsi
- f(x)inteqralaltı funksiya
- dxinteqrallama dəyişəninin x olduğunu göstərir
- Cixtiyari sabit
Qeyri-müəyyən inteqral bütün ibtidai funksiyalar ailəsidir. Xəttilik: ∫ (a · f + b · g) dx = a ∫ f dx + b ∫ g dx.
| f(x) | ∫ f(x) dx | Qeyd |
|---|---|---|
| xⁿ | xⁿ⁺¹ / (n + 1) + C | n ≠ −1; ∫ x³ dx = x⁴/4 + C |
| 1 / x | ln |x| + C | x ≠ 0; n = −1 halı |
| eˣ | eˣ + C | öz-özünün ibtidaisidir |
| aˣ | aˣ / ln a + C | a > 0, a ≠ 1 |
| sin x | −cos x + C | mənfi işarəyə diqqət |
| cos x | sin x + C | x radianla |
| 1 / cos² x | tg x + C | cos x ≠ 0 |
| 1 / sin² x | −ctg x + C | sin x ≠ 0 |
| 1 / (1 + x²) | arctg x + C | bütün x |
| 1 / √(1 − x²) | arcsin x + C | |x| < 1 |
| 1 / (x² + a²) | (1/a) arctg(x/a) + C | a ≠ 0 |
- Ff-in ibtidai funksiyası
- k, bsabitlər, k ≠ 0
Xətti arqument qaydası: ∫ cos 3x dx = (1/3) sin 3x + C, ∫ e²ˣ⁺¹ dx = (1/2) e²ˣ⁺¹ + C, ∫ dx/(2x − 5) = (1/2) ln|2x − 5| + C.
a) ∫ (3x² − 4/x + 2eˣ) dx
b) ∫ (√x + 1/x²) dx
Həllini göstərHəllini gizlət
b) Qüvvət şəklində yazaq: x^(1/2) + x⁻². ∫ x^(1/2) dx = x^(3/2)/(3/2) = (2/3)x^(3/2); ∫ x⁻² dx = x⁻¹/(−1) = −1/x.
Cavab: (2/3)x√x − 1/x + C.
Yoxlama: ((2/3)x^(3/2))′ = x^(1/2) = √x və (−1/x)′ = 1/x². ✓
Müəyyən inteqral: Riman cəmləri
f funksiyası [a, b] parçasında kəsilməz olsun. Parçanı eni Δx = (b − a)/n olan n bərabər hissəyə bölək, hər hissədə bir xᵢ* nöqtəsi seçək və Riman cəmini ∑ f(xᵢ*) · Δx quraq — bu, n nazik düzbucaqlının sahələrinin cəmidir. n → ∞ olduqda cəmlər bir ədədə — müəyyən inteqrala yaxınlaşır. f ≥ 0 olduqda bu, qrafikin altındakı sahədir; f < 0 olan yerlərdə sahə mənfi işarə ilə hesablanır (işarəli sahə).
- a, binteqralın aşağı və yuxarı sərhədləri
- xᵢ*i-ci hissədə seçilmiş nöqtə
- Δxhər hissənin eni
Müəyyən inteqralın tərifi (Riman). ∫ işarəsi «cəm» (summa) sözünün uzadılmış S hərfidir, dx isə Δx-i xatırladır.
∫₀¹ x² dx inteqralını n = 4 düzbucaqlı ilə, sağ və sol uc nöqtələrdən istifadə edərək qiymətləndir.
Həllini göstərHəllini gizlət
R₄ = (1/16 + 4/16 + 9/16 + 16/16) · 1/4 = 30/64 ≈ 0,469.
Sol uclar 0, 1/4, 1/2, 3/4: L₄ = (0 + 1/16 + 4/16 + 9/16) · 1/4 = 14/64 ≈ 0,219.
Dəqiq sahə bu ədədlər arasındadır. n düzbucaqlı üçün Rₙ = (n + 1)(2n + 1)/(6n²) → 2/6 = 1/3 (n → ∞).
Analizin əsas teoremi
Milyonlarla düzbucaqlını toplamaq yorucudur. Nyuton və Leybnisin böyük kəşfi sahəni ibtidai funksiya ilə əlaqələndirir. A(x) = ∫ₐˣ f(t) dt sahə funksiyasına baxaq. x-i h qədər artırsaq, eni h, hündürlüyü təxminən f(x) olan nazik zolaq əlavə olunur: A(x + h) − A(x) ≈ f(x) · h. h-a bölüb h → 0 götürsək, A′(x) = f(x) alınır. Deməli, sahə funksiyası f-in ibtidai funksiyasıdır!
- ∫ₐˣ f(t) dtsahə funksiyası A(x) — yuxarı sərhəddi dəyişən inteqral
- tinteqrallama dəyişəni (x ilə qarışmasın deyə başqa hərf)
Əsas teoremin birinci hissəsi: diferensiallama inteqrallamanı «ləğv edir».
- Ff-in istənilən ibtidai funksiyası
- F(x) |ₐᵇF(b) − F(a) fərqinin qısa yazılışı
Nyuton–Leybnis düsturu (əsas teoremin ikinci hissəsi). C sabiti fərqdə ixtisar olunur, ona görə istənilən ibtidai funksiya yarayır.
a) ∫₀¹ x² dx b) ∫₀^π sin x dx c) ∫₁^e dx/x d) ∫₀² (3x² − 2x + 1) dx
Həllini göstərHəllini gizlət
b) [−cos x]₀^π = −cos π + cos 0 = 1 + 1 = 2. Sinusoidin bir «tağının» sahəsi 2-dir.
c) [ln x]₁^e = ln e − ln 1 = 1.
d) [x³ − x² + x]₀² = 8 − 4 + 2 = 6.
- Sərhədlərin yerini dəyişmək işarəni dəyişir; ∫ₐᵃ f dx = 0.
- Additivlik: istənilən m üçün ∫ₐᵇ f dx = ∫ₐᵐ f dx + ∫ₘᵇ f dx.
- Xəttilik: ∫ₐᵇ (αf + βg) dx = α ∫ₐᵇ f dx + β ∫ₐᵇ g dx.
- Müqayisə: [a, b]-də f(x) ≤ g(x) isə, ∫ₐᵇ f dx ≤ ∫ₐᵇ g dx.
- Simmetriya: tək f üçün ∫₋ₐᵃ f dx = 0, cüt f üçün ∫₋ₐᵃ f dx = 2 ∫₀ᵃ f dx.
Əyrilər arasındakı sahə və orta qiymət
- fyuxarıdakı əyri: [a, b]-də f(x) ≥ g(x)
- gaşağıdakı əyri
- a, badətən əyrilərin kəsişmə nöqtələrinin absisləri
İki əyri arasındakı sahə: «yuxarı çıx aşağı», sonra inteqralla.
y = x və y = x² xətləri ilə məhdudlaşmış fiqurun sahəsini tap.
Həllini göstərHəllini gizlət
[0; 1]-də x ≥ x² (məsələn, x = 1/2 üçün 1/2 > 1/4), yəni düz xətt yuxarıdadır.
S = ∫₀¹ (x − x²) dx = [x²/2 − x³/3]₀¹ = 1/2 − 1/3 = 1/6.
- f̄f-in [a, b] parçasında orta qiyməti
- b − aparçanın uzunluğu
Orta qiymət teoremi: kəsilməz f funksiyası parçanın hansısa c nöqtəsində məhz f̄ qiymətini alır — hündürlüyü f̄ olan düzbucaqlının sahəsi qrafik altındakı sahəyə bərabərdir.
a) sin x funksiyasının [0; π] parçasında orta qiymətini tap.
b) Cismin sürəti v(t) = 3t² m/s-dir. 0 ≤ t ≤ 2 s müddətində gedilən yolu və orta sürəti tap.
Həllini göstərHəllini gizlət
b) Yol: s = ∫₀² 3t² dt = [t³]₀² = 8 m.
Orta sürət: 8/2 = 4 m/s. Yoxlama: sürət 0-dan 12 m/s-ə qədər artır, orta qiymət bu aralıqdadır.
Əsas fikirlər
- F′ = f olarsa, F f-in ibtidai funksiyasıdır; ∫ f dx = F + C.
- ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C (n ≠ −1), ∫ dx/x = ln|x| + C, ∫ eˣ dx = eˣ + C.
- Müəyyən inteqral Riman cəmlərinin limitidir — qrafik altındakı işarəli sahə.
- Nyuton–Leybnis: ∫ₐᵇ f dx = F(b) − F(a); həmçinin d/dx ∫ₐˣ f(t) dt = f(x).
- Əyrilər arasındakı sahə: ∫ₐᵇ (yuxarı − aşağı) dx; orta qiymət: (1/(b − a)) ∫ₐᵇ f dx.
Özünü yoxla
10 sual. Hər düzgün cavab XP qazandırır.