- Əvəzetmə üsulunu və hissə-hissə inteqrallamanı tətbiq etmək
- Rasional funksiyaları sadə kəsrlərə ayıraraq inteqrallamaq
- Qeyri-məxsusi inteqralların yığılmasını araşdırmaq
- İnteqralla fırlanma cisminin həcmini və işi hesablamaq
İnteqrallar cədvəli sadə funksiyaların öhdəsindən gəlir, bəs ∫ x eˣ dx, ∫ ln x dx və ya ∫ dx/(x² − 1)? Cədvəldə onlara uyğun düstur yoxdur. Diferensiallama qaydaları kimi universal resept olmasa da, kiçik bir alətlər dəsti əksər halları həll edir: əvəzetmə zəncir qaydasını, hissə-hissə inteqrallama hasil qaydasını tərsinə çevirir, sadə kəsrlərə ayırma isə mürəkkəb kəsri sadə hissələrə bölür.
Əvəzetmə üsulu
- uyeni dəyişən (daxili funksiya)
- duyeni dəyişənin diferensialı
Müəyyən inteqralda sərhədləri də dəyiş: x = a olduqda u = g(a), x = b olduqda u = g(b).
a) ∫ 2x(x² + 1)⁵ dx b) ∫ tg x dx c) ∫₀¹ x · e^(x²) dx
Həllini göstərHəllini gizlət
b) tg x = sin x / cos x. u = cos x, du = −sin x dx: ∫ (−du/u) = −ln|u| + C = −ln|cos x| + C.
c) u = x², du = 2x dx, yəni x dx = du/2. Sərhədlər: x = 0 ⇒ u = 0, x = 1 ⇒ u = 1.
(1/2) ∫₀¹ eᵘ du = (1/2)(e − 1) ≈ 0,859.
Hissə-hissə inteqrallama
Hasil qaydasından başlayaq: (uv)′ = u′v + uv′. Hər iki tərəfi inteqrallasaq, uv = ∫ v du + ∫ u dv alınır. Bərabərliyi başqa cür yazsaq, bir inteqralı digəri ilə əvəz etməyə imkan verən düstur alınır:
- udiferensiallanan hissə: du = u′ dx
- dvinteqrallanan hissə: v = ∫ dv
Hissə-hissə inteqrallama düsturu. Müəyyən inteqral üçün: ∫ₐᵇ u dv = [uv]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du.
a) ∫ x eˣ dx b) ∫ ln x dx c) ∫₀^π x sin x dx
Həllini göstərHəllini gizlət
∫ x eˣ dx = x eˣ − ∫ eˣ dx = eˣ(x − 1) + C.
b) u = ln x (L), dv = dx ⇒ du = dx/x, v = x.
∫ ln x dx = x ln x − ∫ x · (1/x) dx = x ln x − x + C.
c) u = x, dv = sin x dx ⇒ du = dx, v = −cos x.
[−x cos x]₀^π + ∫₀^π cos x dx = (π − 0) + [sin x]₀^π = π + 0 = π.
Sadə kəsrlər və triqonometrik inteqrallar
Surətinin dərəcəsi məxrəcinkindən kiçik olan P(x)/Q(x) rasional funksiyasını Q-nun vuruqlarına uyğun sadə kəsrlərə ayırmaq olar: xətti vuruq (x − a) A/(x − a) verir; təkrarlanan (x − a)² vuruğu A/(x − a) + B/(x − a)² verir; vuruqlara ayrılmayan x² + px + q kvadrat üçhədlisi (Ax + B)/(x² + px + q) verir. Hər hissə cədvəl üzrə inteqrallanır: ∫ A/(x − a) dx = A ln|x − a| + C.
- a, bməxrəcin müxtəlif kökləri (a ≠ b)
- A, Btapılmalı sabitlər
- P(x)dərəcəsi 2-dən kiçik çoxhədli
İki müxtəlif xətti vuruq üçün sadə kəsrlərə ayırma; sonra ∫ = A ln|x − a| + B ln|x − b| + C.
∫ (5x − 1)/(x² − x − 2) dx inteqralını hesabla.
Həllini göstərHəllini gizlət
(5x − 1)/((x − 2)(x + 1)) = A/(x − 2) + B/(x + 1).
x = 2: A = (5 · 2 − 1)/(2 + 1) = 9/3 = 3. x = −1: B = (5 · (−1) − 1)/(−1 − 2) = −6/(−3) = 2.
Yoxlama: 3(x + 1) + 2(x − 2) = 5x − 1. ✓
∫ = 3 ln|x − 2| + 2 ln|x + 1| + C.
- Cüt qüvvətlər — dərəcəni azalt: sin² x = (1 − cos 2x)/2, cos² x = (1 + cos 2x)/2. Buradan ∫ sin² x dx = x/2 − sin 2x/4 + C və ∫₀^π sin² x dx = π/2.
- Tək qüvvət — bir vuruğu ayır və əvəzetmə apar: ∫ sin³ x dx = ∫ (1 − cos² x) sin x dx; u = cos x ⇒ −cos x + cos³ x/3 + C.
- Hasillər — cəmə çevir: sin α · cos β = (1/2)[sin(α − β) + sin(α + β)] və oxşar düsturlar.
Qeyri-məxsusi inteqrallar
- ∞sonsuz sərhəd: əvvəlcə sonlu b ilə hesabla, sonra b → ∞
- limlimit sonludursa, inteqral yığılır, əks halda dağılır
Uc nöqtədə qeyri-məhdud funksiya üçün də eyni ideya: ∫₀¹ f(x) dx = lim (t→0⁺) ∫ₜ¹ f(x) dx.
- pqüvvət göstəricisi; sərhəd halı p = 1 hər iki inteqral üçün dağılır
p-inteqralları — digər inteqralları müqayisə etmək üçün etalon.
a) ∫₁^∞ dx/x² b) ∫₁^∞ dx/x c) ∫₀¹ dx/√x d) ∫₀^∞ e⁻ˣ dx
Həllini göstərHəllini gizlət
b) lim (b→∞) [ln x]₁ᵇ = lim ln b = ∞ — dağılır.
c) lim (t→0⁺) [2√x]ₜ¹ = 2 − 0 = 2 — funksiya 0 yaxınlığında qeyri-məhdud olsa da, yığılır.
d) lim (b→∞) [−e⁻ˣ]₀ᵇ = lim (1 − e⁻ᵇ) = 1 — yığılır.
Tətbiqlər: fırlanma cisminin həcmi və iş
- f(x)x nöqtəsindəki diskin radiusu
- π (f(x))² dxqalınlığı dx olan nazik diskin həcmi
Disk üsulu: y = f(x), a ≤ x ≤ b altındakı fiqur x oxu ətrafında fırlanır.
a) y = √x, 0 ≤ x ≤ 4 əyrisi altındakı fiqurun x oxu ətrafında fırlanmasından alınan cismin həcmini tap.
b) Kürənin həcmi düsturunu çıxar.
Həllini göstərHəllini gizlət
b) R radiuslu kürə y = √(R² − x²) yarımçevrəsinin fırlanmasından alınır, −R ≤ x ≤ R:
V = π ∫ (R² − x²) dx (−R-dən R-ə qədər) = π [R²x − x³/3] = π (2R³ − 2R³/3) = (4/3)πR³.
Məktəbdən tanış düstur alındı — yaxşı yoxlamadır.
- F(x)dəyişən qüvvə, N
- xhərəkət istiqamətində koordinat, m
- Aiş, C (coul)
Dəyişən qüvvənin işi — «qüvvə × yol» düsturunun inteqral şəkli.
Sərtliyi k = 200 N/m olan yay Huk qanununa tabedir: F = kx. Yayı 0-dan 10 sm-ə, sonra 10 sm-dən 20 sm-ə qədər dartmaq üçün hansı iş görülür?
Həllini göstərHəllini gizlət
0 → 0,1 m: A = 200 · 0,1²/2 = 1 C.
0,1 → 0,2 m: A = 100 · (0,2² − 0,1²) = 100 · 0,03 = 3 C.
İkinci 10 sm birincidən üç dəfə «bahalıdır», çünki qüvvə uzanma ilə birlikdə artır.
Əsas fikirlər
- Əvəzetmə: ∫ f(g(x)) g′(x) dx = ∫ f(u) du — funksiyanı və onun törəməsini axtar.
- Hissə-hissə: ∫ u dv = uv − ∫ v du; u-nu LIATE sırası ilə seç.
- Sadə kəsrlər: məxrəci vuruqlara ayır, kəsri böl, hər hissə loqarifm verir (dərəcə böyükdürsə, əvvəlcə böl).
- Qeyri-məxsusi inteqral limit kimi təyin olunur; ∫₁^∞ dx/xᵖ yalnız p > 1 olduqda yığılır.
- Fırlanma cisminin həcmi V = π ∫ f² dx; dəyişən qüvvənin işi ∫ F dx.
Özünü yoxla
10 sual. Hər düzgün cavab XP qazandırır.