Fəzada düz xətlər və müstəvilər

Bu dərsdə öyrənəcəksən

Aksiomlara və əlamətlərə əsasən iki düz xəttin, düz xətlə müstəvinin və iki müstəvinin qarşılıqlı vəziyyətini müəyyən etmək, çarpaz düz xətlər arasındakı bucağı tapmaq
Perpendikulyar, mail və proyeksiyadan istifadə etmək, üç perpendikulyar haqqında teoremi hesablamada və isbatda tətbiq etmək
Düz xətlə müstəvi arasındakı bucağı, ikiüzlü bucağın xətti bucağını və iki müstəvi arasındakı bucağı (≤ 90°) tapmaq
Fəzada məsafələri hesablamaq və DİM-in qapalı, kodlaşdırılan və yazılı tapşırıqlarını tam əsaslandırma ilə həll etmək

Sinif otağına bax: döşəmə və divar müstəvilərin hissələridir, onların birləşdiyi künc xətti isə düz xəttdir. Lampanın naqili döşəməyə perpendikulyar asılır; ön divarın döşəmə ilə birləşdiyi xətt və yan divarın tavanla birləşdiyi xətt isə nə kəsişir, nə də paraleldir. Planimetriyada bütün fiqurlar bir müstəvidə yerləşirdi; stereometriya (fəza həndəsəsi) fiqurları fəzada öyrənir. Bu, stereometriyanın ilk dərsidir: burada sonrakı «Çoxüzlülər: prizma və piramida» və «Fırlanma cisimləri: silindr, konus və kürə» dərslərində lazım olan hər şey — paralellik, perpendikulyarlıq, bucaqlar və məsafələr — qurulur. DİM-in qəbul imtahanının II mərhələsində «Fəzada düz xətlər və müstəvilər» mövzusundan 2026-cı ildə hər iki qrupun (I və II) riyaziyyat tapşırıqlarında sual olub: birində ikiüzlü bucağın qiymətini, digərində iki müstəvi arasındakı bucağın ala bilməyəcəyi qiymətləri tapmaq lazım idi. Mövzu 11-ci sinif buraxılış imtahanının proqramına da daxildir.

Əsas anlayışlar və stereometriyanın aksiomları

Nöqtə, düz xətt və müstəvi tərif edilmir — onların xassələri aksiomlarla verilir. Nöqtələr böyük latın hərfləri (A, B, C), düz xətlər kiçik hərflər (a, b) və ya iki nöqtə (AB), müstəvilər yunan hərfləri (α, β, γ) və ya üç nöqtə (ABC) ilə işarə olunur. Müstəvi hər tərəfə sonsuz uzanır, şəkildə isə onu paraleloqram kimi çəkirik. Planimetriyanın bütün teoremləri fəzada da hər bir müstəvinin daxilində doğrudur.

A1. Bir düz xətt üzərində olmayan istənilən üç nöqtədən bir və yalnız bir müstəvi keçir.
A2. Düz xəttin iki nöqtəsi müstəvi üzərindədirsə, onun bütün nöqtələri bu müstəvi üzərindədir.
A3. İki müxtəlif müstəvinin ortaq nöqtəsi varsa, onlar həmin nöqtədən keçən düz xətt üzrə kəsişir.

Aksiomlardan çıxır ki, müstəvini dörd yolla təyin etmək olar: 1) bir düz xətt üzərində olmayan üç nöqtə ilə; 2) düz xətt və onun üzərində olmayan nöqtə ilə; 3) iki kəsişən düz xətt ilə; 4) iki paralel düz xətt ilə. Ona görə üçayaqlı fotoaparat ştativi heç vaxt yırğalanmır, dördayaqlı stol isə yırğalana bilər: dörd ayağın ucu bir müstəvidə olmaya bilər.

Neçə müstəvi?

1) Bir müstəvidə yerləşməyən 4 nöqtə verilib. Onların hər üçündən keçən neçə müxtəlif müstəvi var?
2) Heç dördü bir müstəvidə olmayan 5 nöqtə üçün eyni sual.
3) Bir nöqtədə kəsişən a, b, c düz xətləri bir müstəvidə yerləşmir. Bu düz xətlərin cütləri neçə müstəvi təyin edir?

Həllini göstər

1) Hər müstəvi 3 nöqtə ilə təyin olunur, üçlüklərin sayı C₄³ = 4-dür. Bunlar tetraedrin (üçbucaqlı piramidanın) 4 üzüdür.
2) C₅³ = 5 · 4 · 3 / 6 = 10 müstəvi. Heç dörd nöqtə bir müstəvidə olmadığından hər üçlük ayrıca müstəvi verir.
3) (a, b), (a, c), (b, c) cütləri 3 müstəvi verir: iki kəsişən düz xətt bir müstəvi təyin edir. Üçü bir müstəvidə olsaydı, cavab 1 olardı.

İki düz xəttin qarşılıqlı vəziyyəti. Çarpaz düz xətlər

Müstəvidə iki düz xətt ya kəsişir, ya da paraleldir. Fəzada üçüncü hal da var. Fəzada paralel düz xətlər bir müstəvidə yerləşən və kəsişməyən düz xətlərdir; tək «kəsişmir» şərti kifayət deyil.

Tərif

Çarpaz düz xətlər

Bir müstəvidə yerləşməyən düz xətlər çarpaz düz xətlər adlanır: onlar nə kəsişir, nə də paraleldir. Əlamət: a düz xətti α müstəvisində yerləşirsə, b düz xətti isə α-nı a üzərində olmayan nöqtədə kəsirsə, a və b çarpazdır.

Fiqurlar	Vəziyyət	Ortaq nöqtələr
iki düz xətt	kəsişir	bir nöqtə
iki düz xətt	paraleldir (bir müstəvidə)	yoxdur
iki düz xətt	çarpazdır (bir müstəvidə deyil)	yoxdur
düz xətt və müstəvi	düz xətt müstəvidə yerləşir	sonsuz sayda
düz xətt və müstəvi	kəsişir	bir nöqtə
düz xətt və müstəvi	paraleldir	yoxdur
iki müstəvi	kəsişir	düz xətt
iki müstəvi	paraleldir	yoxdur

Fəzada mümkün olan bütün hallar. Yeni olan yalnız çarpaz düz xətlərdir — qalanlarını planimetriyadan tanıyırsan.

Məsələlərdə ən çox bu əlamətlər və xassələr işlədilir:

Düz xətlə müstəvinin paralellik əlaməti: müstəvidə yerləşməyən düz xətt bu müstəvidəki hər hansı düz xəttə paraleldirsə, müstəviyə də paraleldir.
Müstəvilərin paralellik əlaməti: bir müstəvinin iki kəsişən düz xətti uyğun olaraq digər müstəvinin iki düz xəttinə paraleldirsə, müstəvilər paraleldir.
İki paralel müstəvini üçüncü müstəvi kəsirsə, kəsişmə düz xətləri paraleldir. 2026-cı ildə I qrupun silindrik qaba qoyulmuş çubuq haqqındakı yazılı tapşırığında əsas addım məhz bu xassə idi.
Üçüncü düz xəttə paralel olan iki düz xətt fəzada da bir-birinə paraleldir; paralel müstəvilər arasında qalan paralel parçalar bərabərdir.

∠(a; b) = ∠(a′; b), a′ ∥ a, 0° < ∠(a; b) ≤ 90°

burada:

a, bçarpaz düz xətlər
a′a-ya paralel olub b-ni kəsən düz xətt

Çarpaz düz xətlər arasındakı bucaq: düz xətlərdən birini paralel köçürüb digəri ilə kəsişdiririk. Bu bucaq 90°-dən böyük olmur; 90° olarsa, çarpaz düz xətlər perpendikulyar adlanır.

Kubda AB və CC₁ çarpazdır; AB₁ ∥ DC₁ olduğundan AB₁ ilə BC₁ arasındakı bucaq bərabərtərəfli BC₁D üçbucağının bucağına, 60°-yə bərabərdir.

Kubda düz xətlər və bucaqlar

ABCDA₁B₁C₁D₁ kubunda:
1) AB və CC₁ düz xətlərinin qarşılıqlı vəziyyətini müəyyən edin;
2) AA₁ və BC düz xətləri arasındakı bucağı tapın;
3) AB₁ və BC₁ düz xətləri arasındakı bucağı tapın;
4) AC və B₁D₁ düz xətləri arasındakı bucağı tapın.

Həllini göstər

1) AB alt üzün (ABCD) müstəvisində yerləşir, CC₁ isə bu müstəvini AB üzərində olmayan C nöqtəsində kəsir. Əlamətə görə AB və CC₁ çarpazdır.
2) AA₁ ∥ BB₁, deməli, axtarılan bucaq BB₁ ilə BC arasındakı bucağa bərabərdir. BB₁C₁C kvadratdır, ∠B₁BC = 90°. Cavab: 90°.
3) AB₁C₁D düzbucaqlısında AB₁ ∥ DC₁. Deməli, axtarılan bucaq DC₁ və BC₁ arasındakı ∠BC₁D bucağıdır. BC₁D üçbucağının hər üç tərəfi kubun üzlərinin diaqonallarıdır (a√2), yəni üçbucaq bərabərtərəflidir. Cavab: 60°.
4) AA₁C₁C düzbucaqlı olduğundan AC ∥ A₁C₁, A₁C₁ və B₁D₁ isə kvadratın diaqonallarıdır və perpendikulyardır. Cavab: 90° — AC və B₁D₁ çarpaz perpendikulyar düz xətlərdir.

Perpendikulyar, mail və proyeksiya. Üç perpendikulyar haqqında teorem

Tərif

Düz xəttin müstəviyə perpendikulyarlığı

Düz xətt müstəvidəki hər bir düz xəttə perpendikulyardırsa, o, müstəviyə perpendikulyardır (a ⊥ α). Əlamət: düz xətt müstəvidəki iki kəsişən düz xəttə perpendikulyardırsa, müstəviyə də perpendikulyardır. Məsələn, kubun AA₁ tili AB və AD-yə perpendikulyardır, deməli, bütün alt üzə perpendikulyardır.

Tərif

Perpendikulyar, mail, proyeksiya

A nöqtəsi α müstəvisindən kənardadır. AH ⊥ α olarsa, AH parçası perpendikulyar, H onun oturacağı, AH-ın uzunluğu isə A nöqtəsindən α müstəvisinə qədər məsafədir. A-nı α-nın H-dan fərqli istənilən M nöqtəsi ilə birləşdirən AM parçası mail, HM parçası isə mailin proyeksiyasıdır.

AHM üçbucağı düzbucaqlıdır. a ⊥ HM olduğundan üç perpendikulyar haqqında teoremə görə a ⊥ AM.

AM² = AH² + HM²

burada:

AMmail
AHperpendikulyar — A nöqtəsindən müstəviyə qədər məsafə
HMmailin proyeksiyası

AHM düzbucaqlı üçbucağında Pifaqor teoremi. Nəticələr: perpendikulyar istənilən maildən qısadır; bir nöqtədən çəkilmiş bərabər maillərin proyeksiyaları bərabərdir və əksinə; böyük mailin proyeksiyası da böyükdür.

Maillər və proyeksiyalar

1) Nöqtədən müstəviyə 5 sm uzunluqlu perpendikulyar və 13 sm uzunluqlu mail çəkilib. Mailin proyeksiyasını tapın.
2) Bir nöqtədən müstəviyə uzunluqları 10 sm və 17 sm olan iki mail çəkilib; onların proyeksiyalarının nisbəti 2 : 5-dir. Nöqtədən müstəviyə qədər məsafəni tapın.

Həllini göstər

1) HM = √(13² − 5²) = √(169 − 25) = √144 = 12 sm.
2) Proyeksiyalar 2x və 5x olsun (kiçik mailin proyeksiyası kiçikdir). Perpendikulyar ortaqdır: 10² − (2x)² = 17² − (5x)² ⇒ 100 − 4x² = 289 − 25x² ⇒ 21x² = 189 ⇒ x² = 9, x = 3. Proyeksiyalar 6 sm və 15 sm, məsafə √(100 − 36) = 8 sm. Yoxlama: √(289 − 225) = 8. ✓

İnteraktiv

Simulyasiya yüklənir…

AHM üçbucağını modelləşdir: katetlərdən biri proyeksiya HM, digəri perpendikulyar AH, hipotenuz isə mail AM-dir. Ədədləri dəyiş və gör ki, mail həmişə həm perpendikulyardan, həm də proyeksiyadan uzundur.

a ⊂ α: a ⊥ HM ⇔ a ⊥ AM

burada:

aα müstəvisində mailin M oturacağından keçən düz xətt
HMmailin proyeksiyası
AMmail

Üç perpendikulyar haqqında teorem: müstəvidə mailin oturacağından onun proyeksiyasına perpendikulyar çəkilmiş düz xətt mailin özünə də perpendikulyardır; tərs teorem də doğrudur. «Üç perpendikulyar»: AH ⊥ α, a ⊥ HM və a ⊥ AM.

Niyə doğrudur? AH ⊥ α olduğundan AH müstəvidəki a düz xəttinə perpendikulyardır. a ⊥ HM şərti ilə birlikdə alınır ki, a düz xətti AHM müstəvisinin iki kəsişən düz xəttinə (AH və HM) perpendikulyardır, deməli, bu müstəviyə, o cümlədən AM-ə də perpendikulyardır. Tərs teorem eyni yolla isbat olunur: a ⊥ AM və a ⊥ AH ⇒ a ⊥ (AHM) ⇒ a ⊥ HM. Teoremin əsas tətbiqi nöqtədən düz xəttə qədər məsafədir: əvvəlcə müstəvidə proyeksiyanın oturacağından düz xəttə perpendikulyar çəkirik, sonra Pifaqor teoremini tətbiq edirik.

Nöqtədən düz xəttə qədər məsafə

1) ABC üçbucağında AB = AC = 13 sm, BC = 10 sm. A təpəsindən üçbucağın müstəvisinə AD perpendikulyarı qaldırılıb, AD = 9 sm. D nöqtəsindən BC düz xəttinə qədər məsafəni tapın.
2) ABCD kvadratının tərəfi 6 sm-dir, SA ⊥ (ABC) və SA = 8 sm. S nöqtəsindən CD və BD düz xətlərinə qədər məsafələri tapın.

Həllini göstər

1) M — BC-nin ortası olsun. Bərabəryanlı üçbucaqda median həm də hündürlükdür: AM ⊥ BC, AM = √(13² − 5²) = 12 sm. AM — DM mailinin proyeksiyasıdır və BC ⊥ AM, onda üç perpendikulyar haqqında teoremə görə BC ⊥ DM. Axtarılan məsafə DM = √(AD² + AM²) = √(81 + 144) = √225 = 15 sm.
2) AD ⊥ CD (kvadratın qonşu tərəfləri), AD isə SD mailinin proyeksiyasıdır, onda SD ⊥ CD və məsafə SD = √(8² + 6²) = 10 sm. BD üçün: O — diaqonalların kəsişmə nöqtəsi, AO ⊥ BD, AO = 6√2 / 2 = 3√2 sm; onda SO ⊥ BD və SO = √(64 + 18) = √82 sm.

DİM üslubunda: isbat tapşırığı

ABC üçbucağında ∠C = 90°. SA parçası üçbucağın müstəvisinə perpendikulyardır. İsbat edin ki, SCB üçbucağı düzbucaqlıdır.

Həllini göstər

İsbat.
1) SA ⊥ (ABC) olduğundan SC — mail, AC isə onun (ABC) müstəvisinə proyeksiyasıdır.
2) BC düz xətti (ABC) müstəvisində yerləşir və mailin C oturacağından keçir; şərtə görə BC ⊥ AC, yəni BC proyeksiyaya perpendikulyardır.
3) Üç perpendikulyar haqqında teoremə görə BC ⊥ SC.
4) Deməli, ∠SCB = 90° və SCB üçbucağı düzbucaqlıdır, bunu da isbat etmək tələb olunurdu.
Yazılı cavabda hər addımı əsaslandır: hansı parçanın mail, hansının proyeksiya olduğunu və hansı teoremdən istifadə etdiyini yaz. Eyni üsulla isbat olunur ki, SA ⊥ (ABCD) olan ABCD düzbucaqlısında SBC və SDC üçbucaqları da düzbucaqlıdır.

Düz xətlə müstəvi arasındakı bucaq

Tərif

Düz xətlə müstəvi arasındakı bucaq

Mail ilə müstəvi arasındakı bucaq — mail ilə onun bu müstəviyə proyeksiyası arasındakı bucaqdır. Düz xətt müstəviyə perpendikulyardırsa, bucaq 90°, paraleldirsə və ya müstəvidə yerləşirsə, 0° sayılır. Deməli, həmişə 0° ≤ φ ≤ 90°.

sin φ = AH / AM, cos φ = HM / AM, tg φ = AH / HMsin φ = AH / AM, cos φ = HM / AM, tg φ = AH / HM

burada:

φmail ilə müstəvi arasındakı bucaq (AHM üçbucağında M təpəsindəki bucaq)
AHnöqtədən müstəviyə qədər məsafə
HMproyeksiya
AMmail

Bir nöqtədən çəkilmiş maillərdən müstəvi ilə böyük bucaq əmələ gətirən daha qısadır: AM = AH / sin φ.

Bucaq, mail və məsafə

1) 12 sm uzunluqlu mail müstəvi ilə 30° bucaq əmələ gətirir. Mailin ucundan müstəviyə qədər məsafəni və mailin proyeksiyasını tapın.
2) Uzunluğu 10 sm olan AB parçasının A ucu müstəvi üzərindədir, B ucu isə müstəvidən 5 sm məsafədədir. AB ilə müstəvi arasındakı bucağı tapın.
3) Müstəvidən 6 sm məsafədə olan nöqtədən müstəvi ilə 30° və 45° bucaq əmələ gətirən iki mail çəkilib; maillərin proyeksiyaları perpendikulyardır. Maillərin uzunluqlarını və onların oturacaqları arasındakı məsafəni tapın.

Həllini göstər

1) AH = AM · sin 30° = 12 · ½ = 6 sm; HM = AM · cos 30° = 12 · √3/2 = 6√3 sm.
2) sin φ = 5/10 = ½ ⇒ φ = 30°.
3) Maillər: 6 : sin 30° = 12 sm və 6 : sin 45° = 6√2 sm. Proyeksiyalar: 6 : tg 30° = 6√3 sm və 6 : tg 45° = 6 sm. Proyeksiyalar H nöqtəsində düz bucaq əmələ gətirir, ona görə oturacaqlar arasındakı məsafə bu düzbucaqlı üçbucağın hipotenuzudur: √(108 + 36) = √144 = 12 sm.

İkiüzlü bucaq və iki müstəvi arasındakı bucaq

Tərif

İkiüzlü bucaq və onun xətti bucağı

Ortaq sərhəd düz xətti olan iki yarımmüstəvinin əmələ gətirdiyi fiqur ikiüzlü bucaq, yarımmüstəvilər onun üzləri, ortaq düz xətt isə tili adlanır. Tilin istənilən C nöqtəsindən hər üzdə tilə perpendikulyar CA və CB şüalarını çəkək: ∠ACB — ikiüzlü bucağın xətti bucağıdır. Bütün xətti bucaqlar bərabərdir və ikiüzlü bucağın ölçüsü onun xətti bucağının ölçüsüdür: 0° < φ < 180°, yəni ikiüzlü bucaq kor da ola bilər.

Xətti bucaq tilə perpendikulyar iki şüa ilə qurulur. ABC üçbucağında kosinuslar teoremi φ-ni verir.

İki müstəvi arasındakı bucaq isə başqa anlayışdır. Kəsişən iki müstəvi dörd ikiüzlü bucaq əmələ gətirir (iki cüt bərabər bucaq, qonşuların cəmi 180°); onlardan kiçiyi müstəvilər arasındakı bucaq sayılır. Ona görə kəsişən müstəvilər arasındakı bucaq 0° < φ ≤ 90° aralığındadır, paralel müstəvilər üçün isə 0° qəbul olunur. φ = 90° olarsa, müstəvilər perpendikulyardır. Əlamət: müstəvi digər müstəviyə perpendikulyar olan düz xətdən keçirsə, bu müstəvilər perpendikulyardır. Qapı istənilən vəziyyətdə döşəməyə perpendikulyardır, çünki onun ox xətti döşəməyə perpendikulyardır.

DİM üslubunda: qapalı tapşırıq «hansılar ola bilməz»

Hansılar kəsişən iki müstəvi arasındakı bucağın dərəcə ölçüsü ola bilməz?
I. 0° II. 150° III. 90° IV. 92° V. 45°
A) I, II və IV B) II və IV C) I və III D) II, III və IV E) I, IV və V

Həllini göstər

Kəsişən müstəvilər arasındakı bucaq dörd ikiüzlü bucağın kiçiyidir, ona görə 0° < φ ≤ 90°.
I. 0° — yalnız paralel müstəvilər üçündür, kəsişən müstəvilər üçün ola bilməz.
II. 150° və IV. 92° — 90°-dən böyükdür, ola bilməz. Belə ikiüzlü bucaqlar var, amma onda müstəvilər arasındakı bucaq 30° və 88° olur.
III. 90° (perpendikulyar müstəvilər) və V. 45° ola bilər.
Cavab: A. Ən çox edilən səhv: «ikiüzlü bucaq» ilə «müstəvilər arasındakı bucağı» qarışdırmaq və ya 0°-ni unudub yalnız II və IV-ü seçmək (B).

DİM üslubunda: kodlaşdırılan tapşırıq

İkiüzlü bucağın müxtəlif üzlərində A və B nöqtələri götürülüb. Bu nöqtələrdən tilə endirilmiş AC və BC perpendikulyarlarının oturacağı eyni C nöqtəsidir; AC = 3, BC = 5, AB = 7. İkiüzlü bucağın dərəcə ölçüsünü tapın.

Həllini göstər

AC və BC tilə perpendikulyardır və tilin eyni C nöqtəsindən çıxır, deməli, ∠ACB — ikiüzlü bucağın xətti bucağıdır.
ABC üçbucağında kosinuslar teoremi: cos ∠ACB = (AC² + BC² − AB²) / (2 · AC · BC) = (9 + 25 − 49) / 30 = −15/30 = −½.
∠ACB = 120°.
Cavab: 120. Diqqət: ikiüzlü bucaq 120°-dir, bu üzlərin müstəviləri arasındakı bucaq isə 180° − 120° = 60° olardı — sualın nəyi soruşduğunu diqqətlə oxu. AC = BC = AB olsaydı, ABC üçbucağı bərabərtərəfli olardı və ikiüzlü bucaq 60° alınardı.

S′ = S · cos φ

burada:

S′çoxbucaqlının müstəviyə ortoqonal proyeksiyasının sahəsi
Sçoxbucaqlının sahəsi
φçoxbucaqlının müstəvisi ilə proyeksiya müstəvisi arasındakı bucaq

Ortoqonal proyeksiyanın sahəsi haqqında teorem. Növbəti dərsdə piramidanın yan səthi bu düsturla bir sətirdə tapılacaq.

İkiüzlü bucaq, məsafə və proyeksiyanın sahəsi

1) İkiüzlü bucaq 60°-dir. Bir üzdəki M nöqtəsi tildən 4√3 sm məsafədədir. M-dən digər üzün müstəvisinə qədər məsafəni tapın.
2) Sahəsi 20 sm² olan üçbucaq α müstəvisi ilə 60° bucaq əmələ gətirən müstəvidə yerləşir. Onun α-ya proyeksiyasının sahəsini tapın.
3) Kvadratın α müstəvisinə proyeksiyası sahəsi 18 sm² olan fiqurdur, kvadratın müstəvisi ilə α arasındakı bucaq 60°-dir. Kvadratın tərəfini tapın.

Həllini göstər

1) M-dən tilə MC perpendikulyarını, digər üzün müstəvisinə MH perpendikulyarını endirək. Üç perpendikulyar haqqında teoremin tərsinə görə HC ⊥ til, yəni ∠MCH xətti bucaqdır və 60°-dir. MCH düzbucaqlı üçbucağında MH = MC · sin 60° = 4√3 · √3/2 = 6 sm.
2) S′ = 20 · cos 60° = 20 · ½ = 10 sm².
3) S = S′ : cos 60° = 18 : ½ = 36 sm², kvadratın tərəfi √36 = 6 sm.

Fəzada məsafələr

Nöqtədən müstəviyə qədər məsafə — nöqtədən müstəviyə endirilmiş perpendikulyarın uzunluğu.
Müstəviyə paralel düz xətlə müstəvi arasındakı və paralel müstəvilər arasındakı məsafə — birinin istənilən nöqtəsindən digərinə endirilmiş perpendikulyarın uzunluğu; bütün nöqtələr üçün eynidir.
Çarpaz düz xətlər arasındakı məsafə — onların ortaq perpendikulyarının (hər ikisini kəsən və hər ikisinə perpendikulyar olan parçanın) uzunluğu. Bu, həm də düz xətlərdən birindən digərinə paralel keçən müstəviyə qədər məsafədir.

d_M = (d_A + d_B) / 2 (A və B müstəvinin bir tərəfində), d_M = |d_A − d_B| / 2 (müxtəlif tərəflərində)d_M = (d_A + d_B) / 2 (A və B müstəvinin bir tərəfində), d_M = |d_A − d_B| / 2 (müxtəlif tərəflərində)

burada:

d_A, d_BAB parçasının uclarından müstəviyə qədər məsafələr
d_Mparçanın M ortasından müstəviyə qədər məsafə

Birinci halda perpendikulyarlar trapesiya əmələ gətirir və düstur onun orta xəttidir; ikinci halda parça müstəvini kəsir.

Kubda məsafələr və parçanın ortası

1) ABCDA₁B₁C₁D₁ kubunun tili 6 sm-dir. Tapın: a) AB və CC₁ çarpaz düz xətləri arasındakı məsafəni; b) A nöqtəsindən BB₁D₁D müstəvisinə qədər məsafəni; c) AA₁ və BD düz xətləri arasındakı məsafəni.
2) AB parçasının ucları müstəvidən 7 sm və 3 sm məsafədədir. Parçanın ortasından müstəviyə qədər məsafəni iki hal üçün tapın: uclar müstəvinin bir tərəfindədir; müxtəlif tərəflərindədir.

Həllini göstər

1a) BC ⊥ AB və BC ⊥ CC₁, BC hər iki düz xətti kəsir — ortaq perpendikulyardır. Məsafə 6 sm.
1b) O — ABCD kvadratının mərkəzi. AO ⊥ BD (kvadratın diaqonalları) və AO ⊥ BB₁ (BB₁ alt üzə perpendikulyardır), deməli, AO ⊥ (BB₁D₁D). Məsafə AO = 6√2 / 2 = 3√2 sm.
1c) AO parçası AA₁-i A-da, BD-ni O-da kəsir və hər ikisinə perpendikulyardır — ortaq perpendikulyardır. Məsafə 3√2 sm.
2) Bir tərəfdə: (7 + 3)/2 = 5 sm. Müxtəlif tərəflərdə: (7 − 3)/2 = 2 sm.

DİM üslubunda: yazılı tapşırıq (tam həll)

ABC üçbucağında ∠C = 90°, AC = 6 sm, BC = 8 sm. SC parçası üçbucağın müstəvisinə perpendikulyardır, SC = 4,8√3 sm. Tapın: a) S nöqtəsindən AB düz xəttinə qədər məsafəni; b) SAB və ABC müstəviləri arasındakı bucağı; c) SAB üçbucağının sahəsini. Həllin bütün addımlarını yazın.

Həllini göstər

Həll.
1) ABC üçbucağında CH ⊥ AB hündürlüyünü çəkək. AB = √(36 + 64) = 10 sm, CH = AC · BC / AB = 6 · 8 / 10 = 4,8 sm.
2) SC ⊥ (ABC), deməli, SH — mail, CH isə onun proyeksiyasıdır. AB ⊥ CH olduğundan üç perpendikulyar haqqında teoremə görə AB ⊥ SH. Deməli, S-dən AB-yə qədər məsafə SH-dır.
3) SCH üçbucağı düzbucaqlıdır (∠C = 90°): SH = √(SC² + CH²) = √(69,12 + 23,04) = √92,16 = 9,6 sm.
4) SH ⊥ AB və CH ⊥ AB, ona görə ∠SHC — tili AB olan ikiüzlü bucağın xətti bucağıdır: tg ∠SHC = SC / CH = 4,8√3 / 4,8 = √3, ∠SHC = 60°. Bu bucaq itidir, deməli, müstəvilər arasındakı bucaq da 60°-dir.
5) S(SAB) = ½ · AB · SH = ½ · 10 · 9,6 = 48 sm². Proyeksiya düsturu ilə yoxlama: S(ABC) = ½ · 6 · 8 = 24 = 48 · cos 60°. ✓
Cavab: a) 9,6 sm; b) 60°; c) 48 sm².

Növbəti dərsdə — «Çoxüzlülər: prizma və piramida» — bu alətlərlə prizmanın və piramidanın elementlərini tapacağıq: piramidanın hündürlüyü perpendikulyar, yan tili mail, yan til ilə oturacaq arasındakı bucaq isə düz xətlə müstəvi arasındakı bucaqdır.

Özünü yoxla: boşluğu doldur

1.Kubda AB₁ və BC₁ düz xətləri arasındakı bucaq °-dir.
2.Mail 10, perpendikulyar 6 ⇒ proyeksiya =
3.8 sm-lik mail müstəvi ilə 30° bucaq əmələ gətirir ⇒ ucundan müstəviyə qədər məsafə sm-dir.
4.Kəsişən iki müstəvi arasındakı bucağın ən böyük qiyməti °-dir.
5.Sahəsi 12 olan fiqurun müstəvisi α ilə 60° bucaq əmələ gətirir ⇒ proyeksiyanın sahəsi

Əsas fikirlər

Müstəvi üç nöqtə, düz xətt və nöqtə, iki kəsişən və ya iki paralel düz xətt ilə təyin olunur.
Fəzada iki düz xətt kəsişir, paraleldir (bir müstəvidə) və ya çarpazdır; çarpaz düz xətlər arasındakı bucaq paralel köçürmə ilə tapılır və 90°-dən böyük deyil.
AM² = AH² + HM²: perpendikulyar istənilən maildən qısadır; üç perpendikulyar teoremi: a ⊥ proyeksiya ⇔ a ⊥ mail.
Düz xətlə müstəvi arasındakı bucaq — mail ilə proyeksiya arasındakı bucaqdır (0°–90°); ikiüzlü bucaq xətti bucaqla ölçülür (0°–180°), müstəvilər arasındakı bucaq isə 90°-dən böyük deyil.
Çarpaz düz xətlər arasındakı məsafə ortaq perpendikulyarın uzunluğudur; proyeksiyanın sahəsi S′ = S · cos φ.

Özünü yoxla

12 sual. Hər düzgün cavab XP qazandırır.

1 / 12

Hansı düz xətlər çarpaz adlanır?