Loqarifm və onun xassələri. Loqarifmik funksiya

Bu dərsdə öyrənəcəksən

Loqarifmi tərifə görə hesablamaq və əsas loqarifmik eynilikdən istifadə etmək
Hasilin, qismətin, qüvvətin loqarifmi və yeni əsasa keçid düsturları ilə ifadələri sadələşdirmək
y = logₐx funksiyasının qrafikini və xassələrini bilmək, loqarifmləri müqayisə etmək
Loqarifmik şkalalardan (pH, desibel, maqnituda) və ikiqat artma müddəti düsturundan istifadə etmək

Keçən dərsdə 2ˣ = 5 tənliyində ilişib qaldıq: 2² = 4 azdır, 2³ = 8 çoxdur, deməli, x 2 ilə 3 arasındadır, amma onu «gözəl» ədəd kimi yazmaq olmur. Aysel də oxşar sual verir: illik 10% faizlə əmanəti neçə ildə ikiqat artar? 1,1ⁿ = 2 tənliyində də naməlum üstdədir. Belə ədədlər üçün riyaziyyatçılar yeni ad və işarə düşünüblər — loqarifm: x = log₂5 ≈ 2,32 və n = log₁,₁2 ≈ 7,27.

Bu dərsdə loqarifmi tərifdən başlayaraq öyrənirik: onu necə hesablamalı, hansı xassələri var, y = logₐx funksiyasının qrafiki necədir və loqarifmlər həyatda harada lazım olur. Loqarifmik tənlik və bərabərsizlikləri isə növbəti dərsdə — «Loqarifmik tənliklər və bərabərsizliklər» — həll edəcəyik.

Loqarifmin tərifi və əsas loqarifmik eynilik

Tərif

Loqarifm

b müsbət ədədinin a əsasına görə loqarifmi (logₐb) elə c ədədidir ki, aᶜ = b; burada a > 0, a ≠ 1. Başqa sözlə, loqarifm bu suala cavabdır: «a-nı hansı qüvvətə yüksəltmək lazımdır ki, b alınsın?» Məsələn, log₂8 = 3, çünki 2³ = 8.

logₐb = c ⇔ aᶜ = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

burada:

aloqarifmin əsası: a > 0, a ≠ 1
bloqarifm altındakı ədəd (arqument): b > 0
cloqarifmin qiyməti — istənilən həqiqi ədəd (mənfi də ola bilər)

Loqarifm qüvvət üstüdür. Eyni bərabərliyi iki cür oxuyuruq: 2³ = 8 ⇔ log₂8 = 3. Xüsusi hallar: logₐ1 = 0, çünki a⁰ = 1; logₐa = 1, çünki a¹ = a.

Şərtlərin səbəbi üstlü funksiyadadır. aᶜ həmişə müsbət olduğundan mənfi ədədin və sıfırın loqarifmi yoxdur: log₂(−8) və log₂0 mənasızdır. a = 1 olduqda isə 1ᶜ = 1 və, məsələn, log₁5 üçün heç bir c tapılmır. Ən vacib nəticə: loqarifm altındakı ifadə həmişə müsbət olmalıdır — növbəti dərsdə təyin oblastını məhz buna görə tapacağıq.

Tərifə görə hesablama

Hesabla:
1) log₂32
2) log₃(1/9)
3) log₅√5
4) log₁₀0,001
5) log₀,₅8
6) log₄8

Həllini göstər

1) 2⁵ = 32 ⇒ log₂32 = 5.
2) 3⁻² = 1/9 ⇒ log₃(1/9) = −2.
3) √5 = 5^(1/2) ⇒ log₅√5 = 1/2.
4) 10⁻³ = 0,001 ⇒ log₁₀0,001 = −3.
5) 0,5⁻³ = 2³ = 8 ⇒ log₀,₅8 = −3.
6) 4 = 2², 8 = 2³: (2²)ᶜ = 2³ ⇒ 2c = 3 ⇒ log₄8 = 3/2.

Tərif

Onluq və natural loqarifm

10 əsaslı loqarifm onluq loqarifm adlanır və lg b kimi yazılır: lg b = log₁₀b. e ≈ 2,718 əsaslı loqarifm natural loqarifmdir: ln b = logₑb. Kalkulyatordakı log və ln düymələri məhz bu iki loqarifmi hesablayır: lg 1000 = 3, lg 0,01 = −2, ln e = 1, ln 1 = 0.

a^(logₐb) = b logₐ(aᶜ) = c

burada:

aəsas: a > 0, a ≠ 1
bmüsbət ədəd
cistənilən həqiqi ədəd

Əsas loqarifmik eynilik: a-nı b-nin loqarifminə yüksəltsək, b alınır. Qüvvətə yüksəltmə və loqarifm bir-birini «ləğv edir», toplama və çıxma kimi.

Əsas eynilikdən istifadə

Hesabla:
1) 2^(log₂7)
2) 3^(2 + log₃5)
3) 10^(1 + lg 3)
4) 25^(log₅3)
5) ln e³ və e^(ln 5)

Həllini göstər

1) Birbaşa eynilikdən: 7.
2) Qüvvəti iki vuruğa ayırırıq: 3² · 3^(log₃5) = 9 · 5 = 45.
3) 10¹ · 10^(lg 3) = 10 · 3 = 30.
4) 25 = 5²: 25^(log₅3) = (5^(log₅3))² = 3² = 9.
5) ln e³ = 3, e^(ln 5) = 5.

Loqarifmin xassələri

Loqarifm qüvvət üstü olduğundan onun xassələri qüvvətlərin xassələrindən alınır. x = aᵐ və y = aⁿ olsun, yəni m = logₐx, n = logₐy. Onda xy = aᵐ⁺ⁿ, x/y = aᵐ⁻ⁿ, xᵖ = a^(pm). Bu bərabərlikləri tərifə görə oxusaq, üç əsas xassə alınır: vurma loqarifmlərin toplanmasına, bölmə çıxılmasına, qüvvətə yüksəltmə isə vurmaya çevrilir.

logₐ(xy) = logₐx + logₐy

burada:

x, ymüsbət ədədlər

Hasilin loqarifmi vuruqların loqarifmlərinin cəminə bərabərdir. Sağdan sola da oxunur: eyni əsaslı loqarifmlərin cəmi hasilin loqarifmidir.

Hasilin loqarifmi

1) log₆4 + log₆9
2) lg 25 + lg 4
3) log₃18 + log₃1,5
4) log₂(8x) ifadəsini log₂x vasitəsilə yaz (x > 0).

Həllini göstər

1) log₆(4 · 9) = log₆36 = 2.
2) lg(25 · 4) = lg 100 = 2.
3) log₃(18 · 1,5) = log₃27 = 3.
4) log₂8 + log₂x = 3 + log₂x.

logₐ(x / y) = logₐx − logₐylogₐ(x / y) = logₐx − logₐy

burada:

x, ymüsbət ədədlər

Qismətin loqarifmi bölünənin və bölənin loqarifmlərinin fərqinə bərabərdir. Xüsusi hal: logₐ(1/y) = −logₐy.

Qismətin loqarifmi

1) log₃54 − log₃2
2) lg 5000 − lg 5
3) log₂24 − log₂3
4) log₅(1/125)

Həllini göstər

1) log₃(54 : 2) = log₃27 = 3.
2) lg(5000 : 5) = lg 1000 = 3.
3) log₂(24 : 3) = log₂8 = 3.
4) log₅(1/125) = −log₅125 = −3.

logₐ(xᵖ) = p · logₐx log_(aᵏ) x = (1/k) · logₐxlogₐ(xᵖ) = p · logₐx log_(aᵏ) x = (1/k) · logₐx

burada:

xmüsbət ədəd
pistənilən həqiqi ədəd
kəsasın qüvvət üstü, k ≠ 0

Arqumentin qüvvət üstü loqarifmin önünə vuruq kimi çıxır, əsasın qüvvət üstü isə tərs ədəd kimi: log₈x = log_(2³) x = ⅓ · log₂x.

Qüvvətin loqarifmi

1) log₂(1/32)
2) log₃√27
3) 2 log₅10 − log₅4
4) log₉(x²) ifadəsini log₃x vasitəsilə yaz (x > 0).

Həllini göstər

1) 1/32 = 2⁻⁵ ⇒ −5 · log₂2 = −5.
2) √27 = 3^(3/2) ⇒ (3/2) · log₃3 = 3/2.
3) 2 log₅10 = log₅100, sonra qismət: log₅(100 : 4) = log₅25 = 2.
4) 9 = 3²: log₉(x²) = ½ · log₃(x²) = ½ · 2 log₃x = log₃x.

Yeni əsasa keçid

c = logₐb olsun, yəni aᶜ = b. Bərabərliyin hər iki tərəfinin k əsaslı loqarifmini alaq: c · logₖa = logₖb, buradan c = logₖb / logₖa. Bu düstur istənilən loqarifmi kalkulyatordakı lg və ya ln ilə hesablamağa, müxtəlif əsaslı loqarifmləri isə bir əsasa gətirməyə imkan verir.

logₐx = logₖx / logₖa logₐx = 1 / logₓa logₐk · logₖx = logₐxlogₐx = logₖx / logₖa logₐx = 1 / logₓa logₐk · logₖx = logₐx

burada:

kyeni əsas: k > 0, k ≠ 1 (çox vaxt 10 və ya e)
xmüsbət ədəd; ikinci düsturda həm də x ≠ 1

Yeni əsasa keçid düsturu və onun iki nəticəsi. Kalkulyatorda: logₐx = lg x / lg a = ln x / ln a.

Yeni əsasa keçid

1) log₄8
2) log₂5 (kalkulyatorla)
3) log₂3 · log₃4
4) log₈2
5) log₂3 = a olarsa, log₆12-ni a vasitəsilə ifadə et.

Həllini göstər

1) 2 əsasına keçirik: log₂8 / log₂4 = 3/2.
2) lg 5 / lg 2 ≈ 0,69897 / 0,30103 ≈ 2,32. Yoxlama: 2² = 4 < 5 < 8 = 2³.
3) «Zəncir»: log₂3 · log₃4 = log₂4 = 2.
4) 1 / log₂8 = 1/3.
5) log₆12 = log₂12 / log₂6 = (log₂4 + log₂3) / (log₂2 + log₂3) = (2 + a) / (1 + a).

1
Bir əsasa gətir
Əsaslar müxtəlifdirsə, yeni əsasa keçid düsturu ilə hamısını bir əsasa (çox vaxt 2, 3, 5 və ya 10) gətir.
2
Vuruqları içəri keçir
Loqarifmin önündəki ədədi qüvvət üstü kimi içəri keçir: 2 log₅10 = log₅100.
3
Birləşdir
Cəmi hasilin, fərqi qismətin loqarifmi kimi bir loqarifmə yığ.
4
Hesabla və yoxla
Alınan loqarifmi tərifə görə və ya əsas eynilik ilə hesabla, sonra cavabı təxmini qiymətlə yoxla.

İmtahan tipli ifadələr

Hesabla:
1) (lg 8 + lg 18) / (2 lg 2 + lg 3)
2) log₃5 · log₂₅27
3) 3^(log₉16)

Həllini göstər

1) Surət: lg(8 · 18) = lg 144. Məxrəc: lg 4 + lg 3 = lg 12. 144 = 12², deməli, lg 144 / lg 12 = 2 lg 12 / lg 12 = 2.
2) log₂₅27 = log_(5²)(3³) = (3/2) · log₅3. log₃5 · log₅3 = 1 olduğundan hasil 3/2-dir.
3) log₉16 = log_(3²)(4²) = log₃4 ⇒ 3^(log₃4) = 4.

Xassə	Nümunə
logₐ1 = 0, logₐa = 1	log₇1 = 0, log₇7 = 1
a^(logₐb) = b	2^(log₂7) = 7
logₐ(xy) = logₐx + logₐy	log₆4 + log₆9 = log₆36 = 2
logₐ(x/y) = logₐx − logₐy	log₃54 − log₃2 = log₃27 = 3
logₐ(xᵖ) = p · logₐx	log₂(1/32) = log₂2⁻⁵ = −5
logₐx = logₖx / logₖa	log₉27 = log₃27 / log₃9 = 3/2
logₐx = 1 / logₓa	log₈2 = 1 / log₂8 = 1/3

Bütün əsas xassələr bir cədvəldə. Hamısı yalnız təyin oblastında doğrudur: arqumentlər müsbət, əsaslar müsbət və 1-dən fərqli.

Özünü yoxla: boşluğu doldur

1.log₂32 =
2.lg 0,01 =
3.log₃(1/27) =
4.log₄2 =
5.5^(log₅7) =
6.log₆2 + log₆3 =

Loqarifmik funksiya y = logₐx

y = aˣ funksiyası hər müsbət qiyməti yalnız bir dəfə alır, ona görə onun tərs funksiyası var: y-ə görə x-i tapırıq, x = logₐy, və hərflərin yerini dəyişirik: y = logₐx. Tərs funksiyaların qrafikləri y = x düz xəttinə nəzərən simmetrikdir, ona görə loqarifmik funksiyanın xassələri üstlü funksiyanın xassələrinin güzgü əksidir: x və y yerlərini dəyişir.

y = logₐx (a > 0, a ≠ 1, x > 0)

burada:

aəsas
xarqument — yalnız müsbət ədədlər

y = aˣ funksiyasının tərsi. Təyin oblastı — (0; +∞), qiymətlər çoxluğu — bütün həqiqi ədədlər.

Qrafik (1; 0) və (a; 1) nöqtələrindən keçir, çünki logₐ1 = 0, logₐa = 1.
a > 1 olduqda funksiya artan, 0 < a < 1 olduqda azalandır.
Oy oxu (x = 0) şaquli asimptotdur: x sıfıra yaxınlaşanda qrafik aşağıya (a > 1) və ya yuxarıya (0 < a < 1) sonsuz uzanır.
İşarə: a və x 1-in eyni tərəfindədirsə, logₐx > 0; müxtəlif tərəflərindədirsə, logₐx < 0.

İnteraktiv

Simulyasiya yüklənir…

y = aˣ və y = logₐx (burada ln x / ln a kimi yazılıb) qrafikləri y = x düz xəttinə nəzərən simmetrikdir. a-nı 1-dən kiçik et: hər iki funksiya azalan olur. a = 1 olduqda loqarifm mənasını itirir.

a > 1: logₐx₁ < logₐx₂ ⇔ 0 < x₁ < x₂; 0 < a < 1: logₐx₁ < logₐx₂ ⇔ x₁ > x₂ > 0

burada:

x₁, x₂müqayisə olunan müsbət arqumentlər

Loqarifmlərin müqayisəsi. Əsaslar fərqlidirsə, loqarifmləri 0 və 1 kimi «dayaq» ədədlərlə müqayisə et: 1 = logₐa, 2 = logₐa².

Müqayisə və təyin oblastı

1) log₂5 və log₂7
2) log₀,₃5 və log₀,₃7
3) log₂3 və log₃2
4) log₃10 və 2
5) log₀,₅3 ədədinin işarəsini tap.
6) y = lg(4 − x²) funksiyasının təyin oblastını tap.

Həllini göstər

1) Əsas 2 > 1, funksiya artandır, 5 < 7 ⇒ log₂5 < log₂7.
2) Əsas 0,3 < 1, funksiya azalandır, 5 < 7 ⇒ log₀,₃5 > log₀,₃7.
3) Əsaslar fərqlidir, 1 ilə müqayisə edirik: log₂3 > log₂2 = 1, log₃2 < log₃3 = 1 ⇒ log₂3 > log₃2.
4) 2 = log₃9 və 10 > 9 ⇒ log₃10 > 2.
5) Əsas 0,5 < 1, arqument 3 > 1 — 1-in müxtəlif tərəflərindədirlər ⇒ log₀,₅3 < 0.
6) 4 − x² > 0 ⇒ x² < 4 ⇒ −2 < x < 2.

Loqarifmlər həyatda

Loqarifmik şkala çox geniş diapazonda dəyişən kəmiyyəti rahat ədədlərlə ifadə edir: şkalada 1 vahid fərq kəmiyyətin 10 dəfə dəyişməsi deməkdir (desibel şkalasında bu, 10 dB-dir). Kimyada, akustikada və seysmologiyada belə şkalalardan istifadə olunur.

pH = −lg[H⁺] L = 10 · lg(I / I₀)pH = −lg[H⁺] L = 10 · lg(I / I₀)

burada:

[H⁺]hidrogen ionlarının qatılığı (mol/l)
Lsəs səviyyəsi, desibel (dB)
I, I₀səsin intensivliyi və eşitmə həddi

Təmiz suda [H⁺] = 10⁻⁷ mol/l, deməli, pH = 7; pH < 7 — turş, pH > 7 — qələvi mühit. Zəlzələnin maqnitudası da onluq loqarifmdir: maqnituda 1 vahid artanda seysmoqrafın yazdığı rəqslərin amplitudu 10 dəfə, ayrılan enerji isə təxminən 32 dəfə artır.

pH, desibel və maqnituda

1) Məhlulda [H⁺] = 10⁻³ mol/l. pH nədir? Mühit turşdur, yoxsa qələvi?
2) [H⁺] = 2 · 10⁻⁵ mol/l olduqda pH-ı tap (lg 2 ≈ 0,301).
3) pH = 4 olan məhlulda [H⁺] pH = 6 olan məhluldakından neçə dəfə çoxdur?
4) Səsin intensivliyi eşitmə həddindən 10⁶ dəfə böyükdür. Səs səviyyəsi nədir? İntensivlik daha 100 dəfə artsa, səviyyə nə qədər olar?
5) 7 maqnitudalı zəlzələnin amplitudu 5 maqnitudalı zəlzələninkindən neçə dəfə böyükdür?

Həllini göstər

1) pH = −lg 10⁻³ = 3 < 7 — turş mühit.
2) pH = −lg(2 · 10⁻⁵) = −(lg 2 − 5) = 5 − 0,301 ≈ 4,7.
3) [H⁺] = 10⁻⁴ və 10⁻⁶: 10⁻⁴ : 10⁻⁶ = 100 dəfə.
4) L = 10 · lg 10⁶ = 60 dB; intensivlik daha 100 dəfə artanda 10 · lg 10⁸ = 80 dB (+20 dB).
5) Fərq 2 vahiddir ⇒ 10² = 100 dəfə.

Ayselin sualına qayıdaq: 1,1ⁿ = 2. Hər iki tərəfin onluq loqarifmini alsaq, qüvvət xassəsinə görə n · lg 1,1 = lg 2 alınır: naməlum üstdən «enir» və adi xətti tənlik qalır. Hər iki tərəfi loqarifmləmək növbəti dərsdə tənlikləri həll etməyin əsas alətlərindən biri olacaq.

(1 + p/100)ⁿ = 2 ⇒ n = lg 2 / lg(1 + p/100) ≈ 72 / p(1 + p/100)ⁿ = 2 ⇒ n = lg 2 / lg(1 + p/100) ≈ 72 / p

burada:

pbir dövrdəki artım faizi
nikiqat artma üçün lazım olan dövrlərin sayı

İkiqat artma müddəti. Təxmini 72 qaydası (n ≈ 72/p) kiçik faizlərdə yaxşı işləyir və başda hesablamağa imkan verir.

İkiqat artma müddəti

1) Ayselin əmanəti illik 10% faizlə neçə ildə ikiqat artar?
2) Faiz illik 8% olsa, neçə ildə? 72 qaydası ilə yoxla.
3) Bakteriyaların sayı hər saat 50% artır. Say neçə saatda 10 dəfə artar?

Həllini göstər

1) n = lg 2 / lg 1,1 ≈ 0,30103 / 0,04139 ≈ 7,27: 8-ci ilin sonunda məbləğ ikiqatdan çox olur. 72 qaydası: 72 / 10 = 7,2.
2) n = lg 2 / lg 1,08 ≈ 9,0 il; 72 / 8 = 9 — üst-üstə düşür.
3) 1,5ᵗ = 10 ⇒ t = lg 10 / lg 1,5 = 1 / lg 1,5 ≈ 1 / 0,176 ≈ 5,7 saat.

Əsas fikirlər

logₐb = c ⇔ aᶜ = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0); a^(logₐb) = b, logₐ1 = 0, logₐa = 1.
lg b = log₁₀b — onluq, ln b = logₑb — natural loqarifm.
logₐ(xy) = logₐx + logₐy, logₐ(x/y) = logₐx − logₐy, logₐ(xᵖ) = p · logₐx; cəmin loqarifmi üçün düstur yoxdur.
Yeni əsasa keçid: logₐx = logₖx / logₖa = lg x / lg a; logₐx = 1 / logₓa.
y = logₐx funksiyası y = aˣ-in tərsidir: təyin oblastı (0; +∞), qrafik (1; 0) nöqtəsindən keçir, a > 1 olduqda artan, 0 < a < 1 olduqda azalandır.
Loqarifmik şkalalar: pH = −lg[H⁺], L = 10 · lg(I/I₀); ikiqat artma müddəti n = lg 2 / lg(1 + p/100) ≈ 72/p.

Özünü yoxla

12 sual. Hər düzgün cavab XP qazandırır.

1 / 12

Bu ifadələrdən hansının mənası var?