Matrislər və onlar üzərində əməllər

Kompüter oyununda qəhrəman geri dönəndə kompüter minlərlə nöqtəni bir anda döndərir: onların hər birini dörd ədəddən ibarət eyni kiçik cədvələ vurur. Mağazanın məhsullar və günlər üzrə həftəlik satışı, fotoşəklin pikselləri, tənliklər sisteminin əmsalları — hamısı belə cədvəllərdir. «Xətti tənliklər sistemi» dərsində ikiməchullu iki tənliyi həll etmişdik; matrislər isə üç, yüz və ya bir milyon məchulu vahid, sistemli üsulla həll etməyə imkan verir.

Matrisin yazılışı və növləri

Matrislər böyük hərflərlə işarə olunur. Mətndə matrisi sətirləri nöqtəli vergüllə ayıraraq sətir-sətir yazacağıq: A = [2 −1 0; 4 3 5] birinci sətri 2, −1, 0 olan 2 × 3 ölçülü matrisdir. Birinci indeks həmişə sətrin, ikincisi sütunun nömrəsidir: burada a₁₂ = −1, a₂₃ = 5.

• Kvadrat matris: m = n; onun baş diaqonalı a₁₁, a₂₂, …, aₙₙ elementləridir.
• Sətir vektor (1 × n) və sütun vektor (m × 1); məsələn, [3; 1] sütundur.
• Sıfır matris O: bütün elementləri 0-dır.
• Vahid matris I: baş diaqonalda 1, qalan yerlərdə 0; I₂ = [1 0; 0 1].
• Simmetrik matris: aᵢⱼ = aⱼᵢ, yəni Aᵀ = A (transponə olunmuş matris aşağıda izah olunur).

Matrislər üzərində əməllər

Yalnız eyni ölçülü matrisləri toplamaq olar: eyni yerdə duran elementlər toplanır. Matrisi k ədədinə vurmaq üçün onun hər bir elementi k-ya vurulur. Bu əməllər adi hesab kimi davranır: A + B = B + A, k(A + B) = kA + kB.

Matrislərin hasili AB yalnız A-nın sütunlarının sayı B-nin sətirlərinin sayına bərabər olduqda təyin olunur. AB-nin i-ci sətir və j-ci sütundakı elementini tapmaq üçün A-nın i-ci sətri və B-nin j-ci sütunu boyunca hərəkət edib uyğun elementləri vururuq, sonra hasilləri toplayırıq.

Digər qaydalar isə ödənilir: (AB)C = A(BC) (assosiativlik), A(B + C) = AB + AC (paylama qanunu) və AI = IA = A — vahid matris 1 ədədinin rolunu oynayır. Transponə olunmuş Aᵀ matrisində sətirlər sütunlara çevrilir: [2 −1 0; 4 3 5] matrisinin transponəsi 3 × 2 ölçülü [2 4; −1 3; 0 5] matrisidir.

Matris müstəvinin çevirməsi kimi

2 × 2 ölçülü matrisi [x; y] sütun vektoruna vurduqda yeni vektor alınır, yəni matris müstəvini çevirir. Belə çevirmə xəttidir: koordinat başlanğıcı yerində qalır, düz xətlər düz xətlərə keçir. Əsas müşahidə: matrisin birinci sütunu [1; 0] vektorunun, ikinci sütunu isə [0; 1] vektorunun obrazıdır. İki bazis vektorunun hara getdiyini bilirsənsə, bütün çevirməni bilirsən.

Əvvəl B, sonra A çevirməsini yerinə yetirmək bir AB matrisinə vurmaqla eynidir — hasil sağdan sola oxunur. Matrislərin hasilinin məhz «sətir sütuna» qaydası ilə təyin olunmasının səbəbi budur. Kommutativliyin olmaması da həndəsi olaraq aydınlaşır: S = [2 0; 0 1] üçün SR = [0 −2; 1 0], RS isə [0 −1; 2 0]-dır. Əvvəl döndərib sonra dartmaq əvvəl dartıb sonra döndərməklə eyni deyil.

Ax = b şəklində sistemlər: Qauss üsulu və ranq

Bu sistemə baxaq:
2x + y − z = 8
−3x − y + 2z = −11
−2x + y + 2z = −3
Onu yığcam şəkildə Ax = b kimi yazırıq: burada A = [2 1 −1; −3 −1 2; −2 1 2] əmsallar matrisi, x = [x; y; z] məchullar sütunu, b = [8; −11; −3] isə sərbəst hədlər sütunudur. b-ni əlavə sütun kimi yazsaq, genişləndirilmiş matris [A | b] alınır.

Qauss üsulu üç elementar sətir çevirməsindən istifadə edir; onların heç biri sistemin həllər çoxluğunu dəyişmir:

1. İki sətrin yerini dəyişmək.
2. Sətri sıfırdan fərqli ədədə vurmaq.
3. Bir sətrin hər hansı ədədə hasilini başqa sətrə əlavə etmək.

Məqsəd pilləli şəkil almaqdır: hər sətir əvvəlkindən daha çox sıfırla başlayır, sətrin ilk sıfırdan fərqli elementinə isə aparıcı element deyilir. Sonra məchullar aşağıdan yuxarıya doğru tapılır (əks gediş). Aşağıda Sᵢ i-ci sətri bildirir.

import numpy as np

A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
B = np.array([[0, 1], [5, -2]])
print(A @ B)
print(B @ A)

M = np.array([[2, 1, -1], [-3, -1, 2], [-2, 1, 2]])
b = np.array([8, -11, -3])
print(np.linalg.solve(M, b))
print(np.linalg.matrix_rank(M))

[[10 -3]
 [20 -5]]
[[ 3  4]
 [-1  2]]
[ 2.  3. -1.]
3