Məzmuna keç
Educora
AZ
AzərbaycancaEnglishРусскийTürkçe
Mənim səhifəmEducora StudioParametrlər
Başlanğıc6-cı sinif25 dəq10 / 82

Rasional ədədlər üzərində əməllər

Eyni və müxtəlif işarəli ədədlərin toplanması (koordinat düz xəttində modellə), çıxmanın əks ədədin toplanması ilə əvəz olunması, vurma və bölmədə işarə qaydaları, mənfi ədədin qüvvəti — (−a)ⁿ və −aⁿ, əməllərin qanunları və ardıcıllığı, mənfi kəsrlər və onluq kəsrlərlə çoxaddımlı ifadələr və mətnli məsələlər.

Özünü yoxla
Bu dərsdə öyrənəcəksən
  • Eyni və müxtəlif işarəli rasional ədədləri toplamaq, çıxmanı əks ədədin toplanması ilə əvəz etmək
  • Hasilin və qismətin işarəsini tapmaq, mənfi ədədin qüvvətini hesablamaq və (−a)ⁿ ilə −aⁿ-i fərqləndirmək
  • Əməllərin qanunları ilə hesablamanı sadələşdirmək və çoxaddımlı ifadələri düzgün ardıcıllıqla hesablamaq
  • Temperatur, dərinlik və pulla bağlı mətnli məsələləri həll etmək

Qəbələdə səhər saat 7-də hava −5 °C idi. Günortaya qədər temperatur 9 dərəcə qalxdı, axşam isə 6 dərəcə düşdü. Elvinin telefon hesabında 3 manat borc var idi (−3 manat); o, hesabı 10 manat artırdı, sonra danışıqlara 8,5 manat xərclədi. Axşam temperatur neçə dərəcə oldu, Elvinin balansı isə indi nə qədərdir? Belə suallara cavab vermək üçün müsbət və mənfi ədədlərlə dörd əməli, qüvvəti və əməllərin ardıcıllığını bilmək lazımdır.

Əvvəlki dərsdə — «Müsbət və mənfi ədədlər. Koordinat düz xətti və modul» dərsində — koordinat düz xəttini, əks ədədi və modulu öyrəndin. Bu dərsdə onlar hər qaydanın əsasıdır: toplamada modullar toplanır və ya çıxılır, çıxmada əks ədəd köməyə gəlir. Kəsrlərlə əməlləri isə «Adi kəsrlər üzərində əməllər» və «Onluq kəsrlər» dərslərindən bilirsən — burada onlara yalnız işarə əlavə olunur.

Toplama: eyni və müxtəlif işarəli ədədlər

Toplamanı koordinat düz xəttində hərəkət kimi təsəvvür et. Birinci toplanandan başlayırsan. Müsbət ədəd əlavə etmək sağa, mənfi ədəd əlavə etmək isə sola getmək deməkdir; neçə vahid gedəcəyini toplananın modulu göstərir. Məsələn, 3 + (−5): 3 nöqtəsindən 5 vahid sola gedirik və −2-yə çatırıq.

−6−5−4−3−2−10123456+3−53 + (−5) = −2
Müsbət toplanan — sağa, mənfi toplanan — sola. Oxun uzunluğu toplananın moduludur.
(−a) + (−b) = −(a + b)
burada:
  • a, bmüsbət ədədlər — toplananların modulları

Eyni işarəli ədədləri toplamaq üçün modullarını toplayıb ümumi işarəni yazırıq. Düz xətdə iki dəfə eyni istiqamətdə gedirik; iki borc birləşəndə böyük borc alınır: (−3) + (−5) = −8.

Eyni işarəli toplananlar

Hesabla: 1) (−3) + (−5); 2) (−2,4) + (−1,6); 3) (−1/3) + (−1/6); 4) −12 + (−7,5).

Həllini göstər
1) Modullar: 3 + 5 = 8, işarə «−»: −8.
2) 2,4 + 1,6 = 4, deməli, −4.
3) 1/3 + 1/6 = 2/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2, deməli, −1/2.
4) 12 + 7,5 = 19,5, deməli, −19,5.

İşarələr müxtəlif olduqda iki hərəkət bir-birinə mane olur: sağa getdiyimiz yolun bir hissəsini sola gedərək «geri qaytarırıq». Nəticə hansı hərəkətin uzun olduğundan asılıdır — yəni modulu böyük olan toplanan «qalib gəlir».

a + (−b) = a − b, əgər a ≥ b; a + (−b) = −(b − a), əgər a < b (a, b > 0)
burada:
  • amüsbət toplanan
  • −bmənfi toplanan; b onun moduludur

Müxtəlif işarəli ədədləri toplamaq üçün böyük moduldan kiçik modulu çıxırıq və cavaba modulu böyük olan toplananın işarəsini yazırıq. Əks ədədlərin cəmi sıfırdır: a + (−a) = 0.

  1. 1
    İşarələri müqayisə et

    İşarələr eynidirsə, 2-ci addıma, müxtəlifdirsə, 3-cü addıma keç.

  2. 2
    Eyni işarələr

    Modulları topla və ümumi işarəni yaz: (−4) + (−9) = −13.

  3. 3
    Müxtəlif işarələr

    Böyük moduldan kiçik modulu çıx: (−9) + 4 üçün 9 − 4 = 5.

  4. 4
    İşarəni qoy

    Modulu böyük olan toplananın işarəsini götür: −9-un modulu böyükdür, cavab −5-dir.

Müxtəlif işarəli toplananlar

Hesabla: 1) (−9) + 4; 2) 7,5 + (−10); 3) −3/4 + 5/6; 4) 2,8 + (−2,8).

Həllini göstər
1) 9 − 4 = 5, modulu böyük olan −9-dur: −5.
2) 10 − 7,5 = 2,5, modulu böyük olan −10-dur: −2,5.
3) Ortaq məxrəc 12: −9/12 + 10/12. 10 − 9 = 1, modulu böyük olan 10/12 müsbətdir: 1/12.
4) Əks ədədlərin cəmi: 0.

Çıxma — əks ədədin toplanması

Tərif
Fərq

a və b ədədlərinin fərqi elə a − b ədədidir ki, onu b ilə topladıqda a alınır: (a − b) + b = a. Deməli, çıxma toplamanın tərs əməlidir.

5-dən 2-ni çıxmaq 5-ə −2 əlavə etməklə eynidir: 5 − 2 = 5 + (−2) = 3, çünki hər iki halda düz xətdə 5-dən 2 vahid sola gedirik. Bu fikir mənfi ədədi çıxanda da işləyir: 2 − (−6) = 2 + 6 = 8. Yoxlama tərifə görə: 8 + (−6) = 2. Pul dili ilə: kimsə sənin 6 manat borcunu silirsə, sən 6 manat qazanmış olursan.

a − b = a + (−b)
burada:
  • aazalan
  • bçıxılan
  • −bçıxılanın əksi

Çıxmanı həmişə toplamaya çevirmək olar: azalan dəyişmir, «−» işarəsi «+» olur, çıxılan isə əksi ilə əvəz olunur. Xüsusən: a − (−b) = a + b.

Çıxma

Hesabla: 1) 2 − (−6); 2) −5 − 3; 3) −4 − (−9); 4) −1,2 − 0,8; 5) 1/3 − 5/6.

Həllini göstər
1) 2 + 6 = 8.
2) −5 + (−3) = −8 (eyni işarələr).
3) −4 + 9 = 5 (9 − 4 = 5, modulu böyük olan 9 müsbətdir).
4) −1,2 + (−0,8) = −2.
5) 2/6 − 5/6 = 2/6 + (−5/6) = −3/6 = −1/2.

Çıxmanın vacib tətbiqi — iki kəmiyyət arasındakı fərq: temperatur fərqi, hündürlük fərqi, koordinat düz xəttində iki nöqtə arasındakı məsafə. Əvvəlki dərsdə belə suallara vahidləri sayaraq cavab verirdik, indi isə bir düsturla hesablaya bilərik.

AB = |a − b|
burada:
  • A(a), B(b)koordinat düz xəttində iki nöqtə
  • ABonların arasındakı məsafə

İki nöqtə arasındakı məsafə koordinatlar fərqinin moduludur. Böyük koordinatdan kiçiyini çıxsan, modul lazım olmur: nəticə onsuz da müsbət alınır.

Fərq və məsafə

1) Bakıda +6 °C, Şahdağda −8 °C-dir. Temperatur fərqi neçə dərəcədir?
2) A(−7) və B(−2) nöqtələri arasındakı məsafəni tap.
3) Dalğıc −18 m dərinlikdən qalxıb su səviyyəsindən 2 m hündürlükdə olan qayığın göyərtəsinə çıxdı. O, neçə metr qalxdı?

Həllini göstər
1) 6 − (−8) = 6 + 8 = 14 °C — əvvəlki dərsdə vahidləri sayaraq aldığımız cavabın eynisi.
2) AB = |−2 − (−7)| = |−2 + 7| = |5| = 5.
3) Son hündürlükdən ilkini çıxırıq: 2 − (−18) = 2 + 18 = 20 m.

Vurma və bölmə: işarə qaydaları

Müsbət ədədə vurma təkrar toplamadır: 3 · (−2) = (−2) + (−2) + (−2) = −6 — üç dəfə 2 manat borc 6 manat borcdur. Bəs (−1) · (−2) nəyə bərabərdir? Ardıcıllığa bax: 3 · (−2) = −6, 2 · (−2) = −4, 1 · (−2) = −2, 0 · (−2) = 0. Birinci vuruq hər dəfə 1 azaldıqca hasil 2 artır. Qanunauyğunluq pozulmasın deyə növbəti addım (−1) · (−2) = 2 olmalıdır. Deməli, iki mənfi ədədin hasili müsbətdir.

(−a) · (−b) = a · b; (−a) · b = a · (−b) = −(a · b)
burada:
  • a, bvuruqların modulları (a, b ≥ 0)

Eyni işarəli iki ədədin hasili müsbət, müxtəlif işarəli iki ədədin hasili mənfidir. Hasilin modulu vuruqların modullarının hasilinə bərabərdir. Vuruqlardan biri 0-dırsa, hasil 0-dır.

·+−
++−
−−+
İşarələr cədvəli: sətir birinci vuruğun, sütun ikinci vuruğun işarəsidir. Bölmə üçün də eynidir.
Vurma

Hesabla: 1) (−4) · (−3); 2) (−2,5) · 4; 3) (−3/4) · (−8/9); 4) (−1) · (−1) · (−1) · 5; 5) (−2) · 5 · (−0,5) · (−1).

Həllini göstər
1) Eyni işarələr: 4 · 3 = 12.
2) Müxtəlif işarələr: 2,5 · 4 = 10, deməli, −10.
3) Eyni işarələr, əvvəlcə ixtisar edirik: 3/4 · 8/9 = (1 · 2)/(1 · 3) = 2/3.
4) Soldan sağa: (−1) · (−1) = 1, 1 · (−1) = −1, (−1) · 5 = −5.
5) (−2) · 5 = −10, (−10) · (−0,5) = 5, 5 · (−1) = −5. Üç mənfi vuruq var — cavab mənfidir.

Bölmə vurmanın tərs əməlidir: (−12) : 3 = −4, çünki (−4) · 3 = −12. Buna görə bölmədə də işarə eyni qayda ilə tapılır. Sıfıra bölmək isə olmaz: heç bir ədədi 0-a vurub −12 almaq mümkün deyil.

(−a) : (−b) = a : b; (−a) : b = a : (−b) = −(a : b), b ≠ 0
burada:
  • abölünənin modulu
  • bbölənin modulu (sıfır ola bilməz)

Eyni işarəli ədədlərin qisməti müsbət, müxtəlif işarəli ədədlərin qisməti mənfidir. 0-ı sıfırdan fərqli istənilən ədədə bölsək, 0 alınır.

Bölmə

Hesabla: 1) (−20) : 5; 2) (−36) : (−4); 3) 1,8 : (−0,6); 4) (−3/5) : (−9/10); 5) 0 : (−7).

Həllini göstər
1) Müxtəlif işarələr: 20 : 5 = 4, −4.
2) Eyni işarələr: 36 : 4 = 9.
3) 1,8 : 0,6 = 18 : 6 = 3; işarələr müxtəlifdir: −3.
4) Eyni işarələr: 3/5 · 10/9 = 30/45 = 2/3.
5) 0.

Mənfi ədədin qüvvəti: (−a)ⁿ və −aⁿ

Qüvvət eyni vuruqların hasilidir: (−2)³ = (−2) · (−2) · (−2). Burada üç mənfi vuruq var, deməli, nəticə mənfidir: −8. (−2)⁴ ifadəsində isə dörd mənfi vuruq var və nəticə müsbətdir: 16. Mötərizə çox vacibdir: (−2)⁴ yazılışında qüvvətə −2 ədədi yüksəldilir, −2⁴ yazılışında isə yalnız 2 yüksəldilir, sonra əksi götürülür: −2⁴ = −(2 · 2 · 2 · 2) = −16.

(−a)ⁿ = aⁿ, əgər n cütdürsə; (−a)ⁿ = −aⁿ, əgər n təkdirsə; −aⁿ = −(aⁿ)
burada:
  • aqüvvətin əsasının modulu
  • nqüvvət üstü — natural ədəd

Mənfi ədədin cüt qüvvəti müsbət, tək qüvvəti mənfidir. −aⁿ yazılışında isə əvvəlcə qüvvət hesablanır, sonra əks ədəd götürülür: qüvvət qarşısındakı «−» işarəsindən əvvəl yerinə yetirilir.

Qüvvətlər

Hesabla: 1) (−2)⁴ və −2⁴; 2) (−3)³; 3) (−1)¹⁰⁰ və (−1)¹⁰¹; 4) (−0,5)²; 5) (−2/3)³.

Həllini göstər
1) (−2)⁴ = 16 (dörd mənfi vuruq); −2⁴ = −(2⁴) = −16.
2) (−3)³ = (−3) · (−3) · (−3) = −27.
3) 100 cütdür: (−1)¹⁰⁰ = 1; 101 təkdir: (−1)¹⁰¹ = −1.
4) (−0,5) · (−0,5) = 0,25.
5) Tək qüvvət, işarə «−»: 2³/3³ = 8/27, deməli, −8/27.

Əməllərin qanunları və ardıcıllığı

Natural ədədlər üçün tanıdığın qanunlar bütün rasional ədədlər üçün də doğrudur. Onlar hesablamanı xeyli asanlaşdırır: müsbət ədədləri ayrıca, mənfiləri ayrıca qruplaşdırmaq, cəmi 10, 100 və ya 0 verən ədədləri yan-yana yazmaq, ortaq vuruğu mötərizə xaricinə çıxarmaq olar.

a + b = b + a; (a + b) + c = a + (b + c); a · b = b · a; (a · b) · c = a · (b · c); a · (b + c) = a · b + a · c
burada:
  • a, b, cistənilən rasional ədədlər

Yerdəyişmə, qruplaşdırma və paylama qanunları mənfi ədədlər, kəsrlər və onluq kəsrlər üçün də ödənir. Çıxma və bölmə üçün yerdəyişmə qanunu yoxdur.

Qanunlarla sərfəli hesablama

Sərfəli üsulla hesabla: 1) −17 + 45 + (−23) + 5; 2) (−25) · 7 · (−4); 3) −3,7 · 6 + (−3,7) · 4; 4) (−8) · (1/2 − 3/4).

Həllini göstər
1) Mənfiləri və müsbətləri qruplaşdırırıq: (−17 + (−23)) + (45 + 5) = −40 + 50 = 10.
2) Yerdəyişmə: (−25) · (−4) · 7 = 100 · 7 = 700.
3) Paylama qanunu: −3,7 · (6 + 4) = −3,7 · 10 = −37.
4) Mötərizəni açırıq: (−8) · 1/2 − (−8) · 3/4 = −4 − (−6) = −4 + 6 = 2. Yoxlama: 1/2 − 3/4 = −1/4 və (−8) · (−1/4) = 2.

Əməllərin ardıcıllığı natural ədədlərdəki kimidir (bax: «Natural ədədlər və əməllərin ardıcıllığı» dərsi), sadəcə hər addımda işarəyə diqqət etmək lazımdır. Mənfi ədədi əməl işarəsindən sonra yazanda onu mötərizəyə alırıq: 5 · (−2), «5 · −2» yox.

  1. 1
    Mötərizələr

    Əvvəlcə mötərizələrin içindəki əməlləri yerinə yetir; ən daxili mötərizədən başla.

  2. 2
    Qüvvətlər

    Qüvvətləri hesabla; (−a)ⁿ ilə −aⁿ-i qarışdırma.

  3. 3
    Vurma və bölmə

    Soldan sağa; hər dəfə əvvəlcə işarəni, sonra modulu tap.

  4. 4
    Toplama və çıxma

    Çıxmaları əks ədədin toplanması ilə əvəz et, sonra soldan sağa topla və ya müsbətləri və mənfiləri ayrıca qruplaşdır.

Çoxaddımlı ifadələr

Hesabla: 1) (−3) · 4 − (−10) : 2 + (−2)²; 2) (−1/2 + 1/3) · (−6) − (−2)³ : 4; 3) −0,5 · (−2,4 + 1,4)² − 3.

Həllini göstər
1) Qüvvət: (−2)² = 4. Vurma: (−3) · 4 = −12. Bölmə: (−10) : 2 = −5.
−12 − (−5) + 4 = −12 + 5 + 4 = −3.
2) Mötərizə: −3/6 + 2/6 = −1/6. Qüvvət: (−2)³ = −8.
(−1/6) · (−6) = 1; (−8) : 4 = −2.
1 − (−2) = 1 + 2 = 3.
3) Mötərizə: −2,4 + 1,4 = −1. Qüvvət: (−1)² = 1.
−0,5 · 1 = −0,5; −0,5 − 3 = −3,5.
Mətnli məsələlər

1) Girişdəki temperatur: səhər −5 °C idi, sonra 9 dərəcə qalxdı və 6 dərəcə düşdü.
2) Elvinin hesabı: −3 manat idi, 10 manat artırdı, 8,5 manat xərclədi.
3) Sualtı qayıq −120 m dərinlikdə idi. O, əvvəlcə 45 m qalxdı, sonra 30 m endi. İndi hansı dərinlikdədir?

Həllini göstər
1) Qalxma «+», düşmə «−» deməkdir: −5 + 9 − 6 = 4 − 6 = −2 °C.
2) −3 + 10 − 8,5 = 7 − 8,5 = −1,5 manat: Elvin hələ 1,5 manat borcludur.
3) −120 + 45 − 30 = −75 − 30 = −105 m, yəni su səviyyəsindən 105 m aşağıda.
Orta temperatur

Aysel bir həftə ərzində hər səhər temperaturu yazıb: −3; −5; 0; 2; −1; −4; −3 °C. Həftənin orta səhər temperaturunu tap.

Həllini göstər
Orta qiymət = cəm : ədədlərin sayı.
Mənfiləri qruplaşdırırıq: (−3) + (−5) + (−1) + (−4) + (−3) = −16; qalanlar: 0 + 2 = 2.
Cəm: −16 + 2 = −14.
Orta temperatur: (−14) : 7 = −2 °C.
İnteraktiv
Simulyasiya yüklənir…
Hər ifadəni nəticəsinin işarəsinə görə qrupa at. İpucu: mənfi vuruqları say, çıxmanı toplamaya çevir.
Özünü yoxla
  1. 1.(−7) + 3 =
  2. 2.−6 − (−10) =
  3. 3.(−2,5) · (−4) =
  4. 4.(−48) : 6 =
  5. 5.(−1)¹⁵ =
  6. 6.−5² + (−5)² =

İndi istənilən rasional ədədlərlə — tam, kəsr və onluq, müsbət və mənfi — dörd əməli və qüvvətə yüksəltməni yerinə yetirə bilirsən. Növbəti mövzuda, «Cəbri ifadələr. Birhədlilər və çoxhədlilər» dərsində, ədədlərin yerini hərflər tutacaq: mötərizə qarşısındakı «−», mənfi əmsallar və oxşar hədlərin islahı məhz bu dərsin işarə qaydalarına əsaslanır.

Əsas fikirlər

  • Eyni işarəli ədədləri toplayanda modullar toplanır və ümumi işarə yazılır; müxtəlif işarəlilərdə böyük moduldan kiçik modul çıxılır və modulu böyük olanın işarəsi götürülür.
  • Çıxma — əks ədədin toplanmasıdır: a − b = a + (−b), xüsusən a − (−b) = a + b. İki nöqtə arasındakı məsafə |a − b|-dir.
  • Vurma və bölmədə eyni işarələr «+», müxtəlif işarələr «−» verir; çox vuruqda mənfi vuruqların sayı cütdürsə, hasil müsbətdir. Sıfıra bölmək olmaz.
  • (−a)ⁿ: n cütdürsə müsbət, təkdirsə mənfidir; −aⁿ = −(aⁿ). Ona görə (−3)² = 9, −3² = −9.
  • Yerdəyişmə, qruplaşdırma və paylama qanunları rasional ədədlər üçün də doğrudur; ardıcıllıq: mötərizələr → qüvvətlər → vurma və bölmə → toplama və çıxma.

Özünü yoxla

12 sual. Hər düzgün cavab XP qazandırır.

1 / 12
Çıxmanı toplama ilə necə əvəz etmək olar?