Məzmuna keç
Educora
AZ
AzərbaycancaEnglishРусскийTürkçe
Mənim səhifəmEducora StudioParametrlər
İrəli9–11-ci sinif25 dəq57 / 82

Çoxüzlülər: prizma və piramida

Çoxüzlünün elementləri və Eyler teoremi, düzbucaqlı paralelepiped və kub (9-cu sinif imtahanı), prizma və piramidanın yan və tam səthi, həcmi, hündürlüyün oturacağının yeri, kəsiklər, kəsik piramida və oxşar cisimlər — DİM tapşırıqları ilə.

Özünü yoxla
Bu dərsdə öyrənəcəksən
  • Çoxüzlünün təpələrini, tillərini və üzlərini saymaq, Eyler teoremi ilə yoxlamaq
  • Düzbucaqlı paralelepipedin və kubun səthini, həcmini və diaqonalını tapmaq, ölçülərin nisbətinə aid məsələləri həll etmək
  • Prizma və piramidanın yan və tam səthini, həcmini hesablamaq; hündürlüyün oturacağının yerini (xaricə və ya daxilə çəkilmiş çevrənin mərkəzi) müəyyən etmək
  • Kəsiklər, kəsik piramida və oxşar cisimlər (k², k³) üzrə DİM tapşırıqlarını tam həll ilə yerinə yetirmək

Kibrit qutusu, kərpic, akvarium, Misir ehramları, duz kristalları — hamısı çoxüzlüdür. Belə qutunu örtmək üçün nə qədər kağız lazımdır, içinə neçə litr su sığır? Bu dərsdə prizmanı və piramidanı öyrənirik: elementlərini, yan və tam səthini, həcmini, kəsiklərini və kəsik piramidanı. Əvvəlki «Fəzada düz xətlər və müstəvilər» dərsinin alətləri — perpendikulyar, mail, proyeksiya, ikiüzlü bucaq — burada hər addımda işləyəcək. «Çoxüzlülər, onların səthi və həcmi» mövzusundan tapşırıq 2026-cı ildə həm qəbul imtahanının II mərhələsində (I və II qruplar), həm də 11-ci sinif buraxılış imtahanında olub. 9-cu sinif buraxılış imtahanının proqramında isə yeganə fəza fiquru düzbucaqlı paralelepiped və kubdur — dərsin ikinci bölməsi məhz onlara həsr olunub.

Çoxüzlü və onun elementləri. Eyler teoremi

Tərif
Çoxüzlü

Səthi sonlu sayda çoxbucaqlıdan ibarət olan cisim çoxüzlü adlanır. Bu çoxbucaqlılar onun üzləri, üzlərin tərəfləri tilləri, üzlərin təpələri isə çoxüzlünün təpələridir. Eyni üzdə olmayan iki təpəni birləşdirən parça diaqonaldır. Çoxüzlü hər üzünün müstəvisinin bir tərəfində yerləşirsə, qabarıqdır; məktəb məsələlərində bütün çoxüzlülər qabarıqdır.

təpələr − tillər + üzlər = 2
burada:
  • təpələrtəpələrin sayı
  • tillərtillərin sayı
  • üzlərüzlərin sayı

Eyler teoremi istənilən qabarıq çoxüzlü üçün doğrudur — saymanı yoxlamaq üçün əla vasitədir.

ÇoxüzlüTəpələrTillərÜzlər
n-bucaqlı prizma2n3nn + 2
n-bucaqlı piramidan + 12nn + 1
kub8126
üçbucaqlı prizma695
altıbucaqlı piramida7127
Prizmada hər oturacağın n tili və n yan tili var (3n), piramidada oturacağın n tili və n yan tili (2n).
Təpələr, tillər, üzlər

1) Prizmanın 30 tili var. Onun neçə üzü və neçə təpəsi var?
2) Piramidanın 14 tili var. Onun neçə təpəsi var?
3) Qabarıq çoxüzlünün 12 təpəsi və 30 tili var. Onun neçə üzü var?

Həllini göstər
1) 3n = 30 ⇒ n = 10, oturacaq onbucaqlıdır. Üzlər: n + 2 = 12, təpələr: 2n = 20. Yoxlama: 20 − 30 + 12 = 2. ✓
2) 2n = 14 ⇒ n = 7, təpələr: n + 1 = 8.
3) Eyler teoremi: 12 − 30 + üzlər = 2 ⇒ üzlər = 20. Bu, düzgün ikosaedrdir.

Düzbucaqlı paralelepiped və kub (9-cu sinif imtahanı da)

Oturacağı paraleloqram olan prizma paralelepiped adlanır. Onun qarşı üzləri paralel və bərabərdir, dörd diaqonalı bir nöqtədə kəsişir və bu nöqtədə yarıya bölünür. Bütün üzləri düzbucaqlı olan paralelepiped düzbucaqlı paralelepipeddir; bir təpədən çıxan üç tilinin uzunluqları a, b, c onun ölçüləridir (uzunluq, en, hündürlük). Bütün tilləri bərabər olan düzbucaqlı paralelepiped kubdur.

S = 2(ab + bc + ca), V = a · b · c
burada:
  • a, b, cdüzbucaqlı paralelepipedin ölçüləri
  • Stam səthin sahəsi (altı üzün cəmi)
  • Vhəcm

Altı üz üç bərabər cütdür: ab, bc və ca. Həcm oturacağın sahəsinin hündürlüyə hasilidir.

d² = a² + b² + c²
burada:
  • dparalelepipedin diaqonalı

«Fəza Pifaqor teoremi»: əvvəlcə oturacağın diaqonalı AC² = a² + b², sonra ACC₁ düzbucaqlı üçbucağında AC₁² = AC² + c².

ABCDA₁B₁C₁D₁abcd
d² = AC² + c² = a² + b² + c².
S = 6a², V = a³, d = a√3
burada:
  • akubun tili

Kub üçün a = b = c. Üzün diaqonalı a√2, kubun diaqonalı a√3-dür.

Səth, həcm və diaqonal

1) Düzbucaqlı paralelepipedin ölçüləri 3 sm, 4 sm və 12 sm-dir. Onun tam səthini, həcmini və diaqonalını tapın.
2) Kubun diaqonalı 6√3 sm-dir. Onun səthinin sahəsini və həcmini tapın.

Həllini göstər
1) S = 2(3 · 4 + 4 · 12 + 12 · 3) = 2(12 + 48 + 36) = 192 sm²; V = 3 · 4 · 12 = 144 sm³; d = √(9 + 16 + 144) = √169 = 13 sm.
2) a√3 = 6√3 ⇒ a = 6 sm; S = 6 · 36 = 216 sm², V = 6³ = 216 sm³.
DİM üslubunda: kodlaşdırılan tapşırıq

Düzbucaqlı paralelepipedin ölçüləri 2 : 3 : 6 nisbətindədir, həcmi isə 288 sm³-dir. Paralelepipedin diaqonalını (sm-lə) tapın.

Həllini göstər
Ölçülər 2k, 3k, 6k olsun. V = 2k · 3k · 6k = 36k³ = 288 ⇒ k³ = 8 ⇒ k = 2.
Ölçülər: 4 sm, 6 sm, 12 sm.
d = √(16 + 36 + 144) = √196 = 14.
Cavab: 14. Maraqlıdır: bu paralelepipedin səthi də 2(24 + 72 + 48) = 288 sm²-dir.
Üzlərin sahələrinə görə həcm və litrlər

1) Düzbucaqlı paralelepipedin üç üzünün sahələri 6 sm², 10 sm² və 15 sm²-dir. Onun həcmini və ölçülərini tapın.
2) Ölçüləri 50 sm, 30 sm və 40 sm olan akvarium neçə litr su tutur?
3) Kubun tili 2 dəfə artırıldı. Onun səthi və həcmi neçə dəfə artar?

Həllini göstər
1) ab = 6, bc = 15, ca = 10. Üçünü vuraq: (abc)² = 6 · 15 · 10 = 900 ⇒ V = abc = 30 sm³. Sonra a = 30 : 15 = 2, b = 30 : 10 = 3, c = 30 : 6 = 5 (sm).
2) V = 50 · 30 · 40 = 60 000 sm³ = 60 dm³ = 60 l (1 l = 1 dm³ = 1000 sm³).
3) Səth a²-a mütənasibdir: 2² = 4 dəfə; həcm a³-a: 2³ = 8 dəfə.

Prizma: yan səth, tam səth, həcm və kəsiklər

Tərif
Prizma

İki üzü (oturacaqları) paralel müstəvilərdə yerləşən bərabər n-bucaqlılar, qalan n üzü (yan üzləri) isə paraleloqramlar olan çoxüzlü prizmadır. Yan tilləri oturacağa perpendikulyar olan prizma düz, perpendikulyar olmayan mail prizmadır. Oturacağı düzgün çoxbucaqlı olan düz prizma düzgün prizmadır. Prizmanın hündürlüyü oturacaqlar arasındakı məsafədir: düz prizmada o, yan tilə bərabərdir, mail prizmada isə h = l · sin φ (l — yan til, φ — yan tilin oturacaqla əmələ gətirdiyi bucaq).

Syan = Pot · h, Stam = Syan + 2S_ot, V = Sot · h
burada:
  • Pototuracağın perimetri
  • Sototuracağın sahəsi
  • hhündürlük

Syan = Pot · h düsturu düz prizma üçündür: onun yan üzləri hündürlüyü h olan düzbucaqlılardır. V = Sot · h isə istənilən prizma üçün doğrudur.

Düzgün prizmalar

1) Düzgün üçbucaqlı prizmanın oturacağının tərəfi 6 sm, hündürlüyü 10 sm-dir. Onun yan səthini, tam səthini və həcmini tapın.
2) Düzgün altıbucaqlı prizmanın oturacağının tərəfi 2 sm, hündürlüyü 5 sm-dir. Onun yan səthini və həcmini tapın.

Həllini göstər
1) Sot = (√3/4) · 6² = 9√3 sm²; Syan = Pot · h = 18 · 10 = 180 sm²; Stam = 180 + 2 · 9√3 = 180 + 18√3 sm²; V = 9√3 · 10 = 90√3 sm³.
2) Düzgün altıbucaqlı tərəfi 2 olan 6 bərabərtərəfli üçbucağa bölünür: Sot = 6 · (√3/4) · 4 = 6√3 sm². Syan = 12 · 5 = 60 sm², V = 6√3 · 5 = 30√3 sm³.
DİM üslubunda: qapalı tapşırıq

Düz prizmanın oturacağı diaqonalları 10 sm və 24 sm olan rombdur. Prizmanın yan səthinin sahəsi 520 sm²-dir. Prizmanın hündürlüyünü tapın.
A) 8 sm B) 10 sm C) 12 sm D) 13 sm E) 5 sm

Həllini göstər
Rombun diaqonalları perpendikulyardır və yarıya bölünür: tərəf a = √(5² + 12²) = 13 sm, Pot = 4 · 13 = 52 sm.
Syan = Pot · h ⇒ 520 = 52 · h ⇒ h = 10 sm.
Cavab: B. D variantı rombun tərəfidir, yarımdiaqonalları unudub tərəfi √(10² + 24²) = 26 kimi götürsək, h = 5 alınar (E). Bonus: V = ½ · 10 · 24 · 10 = 1200 sm³.

Prizmanın müstəvi kəsikləri. Oturacağa paralel kəsik oturacağa bərabər çoxbucaqlıdır. Düz prizmanın qonşu olmayan iki yan tilindən keçən kəsik (diaqonal kəsik) düzbucaqlıdır: tərəfləri oturacağın diaqonalı və hündürlükdür. Kəsiyin formasını tapmaq üçün kəsən müstəvinin hər üzü hansı parça boyunca kəsdiyini tap — paralel üzləri o, paralel parçalar boyunca kəsir.

Mail prizma və kubun kəsikləri

1) Mail prizmanın yan tili 10 sm-dir və oturacaq müstəvisi ilə 30° bucaq əmələ gətirir; oturacağın sahəsi 12 sm²-dir. Prizmanın həcmini tapın.
2) ABCDA₁B₁C₁D₁ kubunun tili 4 sm-dir. a) AA₁C₁C diaqonal kəsiyinin; b) A, B₁ və D₁ nöqtələrindən keçən kəsiyin sahəsini tapın.

Həllini göstər
1) Hündürlük yan til deyil: h = 10 · sin 30° = 5 sm. V = Sot · h = 12 · 5 = 60 sm³.
2a) AA₁C₁C düzbucaqlıdır: AC = 4√2, AA₁ = 4 ⇒ S = 16√2 sm².
2b) AB₁, B₁D₁ və AD₁ — kubun üzlərinin diaqonallarıdır, hər biri 4√2. Kəsik bərabərtərəfli üçbucaqdır: S = (√3/4) · (4√2)² = (√3/4) · 32 = 8√3 sm².

Piramida: hündürlüyün oturacağı, apofem, səth və həcm

Tərif
Piramida

Bir üzü (oturacağı) n-bucaqlı, qalan n üzü (yan üzləri) ortaq S təpəsi olan üçbucaqlar olan çoxüzlü piramidadır. Təpədən oturacaq müstəvisinə endirilmiş SO perpendikulyarı hündürlükdür. Oturacağı düzgün çoxbucaqlı olan və hündürlüyünün oturacağı bu çoxbucaqlının mərkəzinə düşən piramida düzgün piramidadır: onun yan tilləri bərabərdir, yan üzləri bərabər bərabəryanlı üçbucaqlardır. Düzgün piramidanın yan üzünün təpədən çəkilmiş hündürlüyü apofem (m) adlanır.

SABCDOMhmrφ
SOM düzbucaqlı üçbucağı: m² = h² + r², h = r · tg φ. φ — yan üzün oturacaqla əmələ gətirdiyi ikiüzlü bucağın xətti bucağıdır.
Syan = ½ · Pot · m, V = ⅓ · Sot · h
burada:
  • mapofem
  • hpiramidanın hündürlüyü
  • Sototuracağın sahəsi

Yan səth düsturu düzgün piramida üçündür (bütün yan üzlərin hündürlüyü m-dir). Həcm düsturu istənilən piramida üçün doğrudur: piramidanın həcmi eyni oturacaqlı və eyni hündürlüklü prizmanın həcminin üçdə biridir. Məsələn, kub bir təpədən çıxan üç bərabər dördbucaqlı piramidaya bölünür, hər birinin həcmi a³/3-dür.

m² = h² + r², l² = h² + R²
burada:
  • r, Roturacağın daxilinə və xaricinə çəkilmiş çevrələrin radiusları (OM və OA)
  • lyan til

Düzgün piramidada iki düzbucaqlı üçbucaq: SOM (apofem ilə) və SOA (yan til ilə). Kvadrat üçün r = a/2, R = a√2/2; bərabərtərəfli üçbucaq üçün r = a√3/6, R = a√3/3.

Düzgün piramidalar

1) Düzgün dördbucaqlı piramidanın oturacağının tərəfi 6 sm, hündürlüyü 4 sm-dir. Onun apofemini, yan tilini, yan və tam səthini, həcmini tapın.
2) Düzgün üçbucaqlı piramidanın oturacağının tərəfi 6√3 sm, yan tili 10 sm-dir. Onun həcmini tapın.

Həllini göstər
1) r = 6/2 = 3, m = √(4² + 3²) = 5 sm; R = 3√2, l = √(16 + 18) = √34 sm. Syan = ½ · 24 · 5 = 60 sm², Stam = 60 + 36 = 96 sm², V = ⅓ · 36 · 4 = 48 sm³.
2) R = a√3/3 = 6√3 · √3/3 = 6 sm, h = √(10² − 6²) = 8 sm. Sot = (√3/4) · (6√3)² = 27√3 sm². V = ⅓ · 27√3 · 8 = 72√3 sm³.

Piramida düzgün olmayanda əsas sual hündürlüyün oturacağının harada olmasıdır. DİM tapşırıqlarında iki hal təkrarlanır:

  • Bütün yan tillər bərabərdirsə və ya hamısı oturacaqla bərabər bucaq əmələ gətirirsə, hündürlüyün oturacağı oturacağın xaricinə çəkilmiş çevrənin mərkəzidir (bərabər maillərin proyeksiyaları bərabərdir: OA = OB = OC = R). Düzbucaqlı üçbucaqda bu, hipotenuzun ortası, düzbucaqlıda diaqonalların kəsişmə nöqtəsidir.
  • Bütün yan üzlər oturacaqla bərabər ikiüzlü bucaq əmələ gətirirsə (və ya yan üzlərin təpədən çəkilmiş hündürlükləri bərabərdirsə), hündürlüyün oturacağı oturacağın daxilinə çəkilmiş çevrənin mərkəzidir. Onda h = r · tg φ və yan səth Syan = Sot / cos φ.
  • Yan tillərdən biri oturacağa perpendikulyardırsa, hündürlük elə həmin tildir; üçbucaqlı piramidanın istənilən üzünü oturacaq kimi götürmək olar.
h = r · tg φ, Syan = Sot / cos φh = r · tg φ, Syan = Sot / cos φ
burada:
  • φyan üzlərin oturacaqla əmələ gətirdiyi ikiüzlü bucaq (hamısı bərabər)
  • roturacağın daxilinə çəkilmiş çevrənin radiusu

İkinci düstur «Fəzada düz xətlər və müstəvilər» dərsindəki S′ = S · cos φ düsturudur: oturacaq yan səthin proyeksiyasıdır.

DİM üslubunda: qapalı tapşırıq

Piramidanın oturacağı tərəfləri 6 sm və 8 sm olan düzbucaqlıdır, bütün yan tilləri oturacaq müstəvisi ilə 45° bucaq əmələ gətirir. Piramidanın həcmini tapın.
A) 240 sm³ B) 80 sm³ C) 160 sm³ D) 80√2 sm³ E) 48 sm³

Həllini göstər
Yan tillər oturacaqla bərabər bucaq əmələ gətirir ⇒ hündürlüyün oturacağı düzbucaqlının xaricinə çəkilmiş çevrənin mərkəzidir, yəni diaqonalların kəsişmə nöqtəsi O.
Diaqonal √(36 + 64) = 10 sm, R = OA = 5 sm.
SOA üçbucağında ∠A = 45° ⇒ h = SO = OA · tg 45° = 5 sm.
V = ⅓ · 6 · 8 · 5 = 80 sm³.
Cavab: B. A — ⅓ unudulub; C — hündürlük kimi diaqonal (10) götürülüb; D — hündürlük kimi yan til (5√2) götürülüb.
Hündürlüyün oturacağı: xaricə və daxilə çəkilmiş çevrə

Piramidanın oturacağı katetləri 6 sm və 8 sm olan düzbucaqlı üçbucaqdır.
1) Bütün yan tillər 13 sm-dir. Piramidanın həcmini tapın.
2) Bütün yan üzlər oturacaqla 45°-lik ikiüzlü bucaq əmələ gətirir. Piramidanın həcmini və yan səthini tapın.
3) Başqa piramidada təpədəki üç yan til qarşılıqlı perpendikulyardır və uzunluqları 3 sm, 4 sm, 5 sm-dir. Həcmi tapın.

Həllini göstər
Sot = ½ · 6 · 8 = 24 sm², hipotenuz 10 sm.
1) Yan tillər bərabərdir ⇒ O — hipotenuzun ortası, R = 5. h = √(13² − 5²) = 12 sm. V = ⅓ · 24 · 12 = 96 sm³.
2) İkiüzlü bucaqlar bərabərdir ⇒ O — daxilə çəkilmiş çevrənin mərkəzi. Düzbucaqlı üçbucaqda r = (a + b − c)/2 = (6 + 8 − 10)/2 = 2 sm. h = r · tg 45° = 2 sm, V = ⅓ · 24 · 2 = 16 sm³. Syan = Sot / cos 45° = 24 : (√2/2) = 24√2 sm².
3) İki perpendikulyar tili (3 və 4) oturacağın katetləri kimi götürək: üçüncü til (5) onların müstəvisinə perpendikulyardır və hündürlükdür. V = ⅓ · (½ · 3 · 4) · 5 = 10 sm³.

Paralel kəsiklər, kəsik piramida və oxşar cisimlər

Piramidanı oturacağa paralel müstəvi ilə təpədən h₁ məsafədə kəsək. Kəsik oturacağa oxşar çoxbucaqlıdır, oxşarlıq əmsalı k = h₁ / h; kəsilən kiçik piramida bütün piramidaya oxşardır. Kəsikdən aşağıda qalan hissə kəsik piramidadır: onun oturacaqları (sahələri S₁ və S₂) paralel müstəvilərdə yerləşən oxşar çoxbucaqlılardır, yan üzləri trapesiyalardır, hündürlüyü isə oturacaqlar arasındakı məsafədir. Düzgün kəsik piramidanın yan üzünün hündürlüyü onun apofemidir.

S₁ / S₂ = k², V₁ / V₂ = k³S₁ / S₂ = k², V₁ / V₂ = k³
burada:
  • koxşarlıq əmsalı (uyğun xətti ölçülərin nisbəti)
  • S₁, S₂uyğun sahələr (kəsiklər, səthlər)
  • V₁, V₂oxşar cisimlərin həcmləri

Oxşar fəza fiqurlarının səthlərinin sahələri oxşarlıq əmsalının kvadratı, həcmləri isə kubu kimi nisbətdədir — bu, istənilən oxşar cisimlər üçün (kub, prizma, piramida, silindr, kürə) doğrudur.

Paralel kəsik və oxşar cisimlər

1) Piramidanın hündürlüyü 12 sm, oturacağının sahəsi 72 sm²-dir. Təpədən 4 sm məsafədə oturacağa paralel kəsiyin sahəsini tapın.
2) Həmin piramida hündürlüyün ortasından oturacağa paralel müstəvi ilə kəsilib. Kiçik piramidanın və kəsik piramidanın həcmlərini tapın.
3) İki oxşar piramidanın həcmləri 8 sm³ və 27 sm³-dir, kiçiyinin tam səthi 20 sm²-dir. Böyüyünün tam səthini tapın.

Həllini göstər
1) k = 4/12 = ⅓ ⇒ S = 72 · (⅓)² = 8 sm².
2) Bütün piramida: V = ⅓ · 72 · 12 = 288 sm³. k = ½ ⇒ kiçik piramida 288 · (½)³ = 36 sm³, kəsik piramida 288 − 36 = 252 sm³. Kəsiyin sahəsi oturacağın dörddə biridir (18 sm²), həcm isə səkkizdə bir!
3) k³ = 27/8 ⇒ k = 3/2, k² = 9/4. Böyüyünün səthi 20 · 9/4 = 45 sm².
V = ⅓ · h · (S₁ + S₂ + √(S₁ · S₂)), Syan = ½ · (P₁ + P₂) · m
burada:
  • S₁, S₂kəsik piramidanın oturacaqlarının sahələri
  • P₁, P₂oturacaqların perimetrləri
  • h, mkəsik piramidanın hündürlüyü və (düzgün olanda) apofemi

Həcm düsturu iki piramidanın həcmlərinin fərqindən alınır; yan səth düsturu bərabər trapesiyaların sahələrinin cəmidir (düzgün kəsik piramida üçün).

Kəsik piramida

1) Kəsik piramidanın oturacaqlarının sahələri 4 sm² və 16 sm², hündürlüyü 6 sm-dir. Həcmini tapın.
2) Düzgün dördbucaqlı kəsik piramidanın oturacaqlarının tərəfləri 2 sm və 8 sm, hündürlüyü 4 sm-dir. Onun apofemini, yan və tam səthini, həcmini tapın.

Həllini göstər
1) V = ⅓ · 6 · (4 + 16 + √64) = 2 · 28 = 56 sm³.
2) Oturacaqların mərkəzlərindən tərəflərə qədər məsafələr 1 və 4-dür, fərqi 3. Apofem m = √(4² + 3²) = 5 sm. Syan = ½ · (8 + 32) · 5 = 100 sm², Stam = 100 + 4 + 64 = 168 sm². V = ⅓ · 4 · (4 + 64 + √256) = ⅓ · 4 · 84 = 112 sm³.
Yoxlama: kəsik piramida hündürlüyü 16/3 sm olan piramidadan hündürlüyü 4/3 sm olan piramidanın çıxılmasıdır: ⅓ · 64 · 16/3 − ⅓ · 4 · 4/3 = 1024/9 − 16/9 = 112. ✓
DİM üslubunda: yazılı tapşırıq (tam həll)

Düzgün dördbucaqlı piramidanın oturacağının tərəfi 8 sm-dir, yan üzləri oturacaq müstəvisi ilə 60° bucaq əmələ gətirir. Piramidanın hündürlüyünü, apofemini, tam səthinin sahəsini və həcmini tapın. Həllin bütün addımlarını yazın.

Həllini göstər
Həll.
1) O — ABCD kvadratının mərkəzi, M — AB-nin ortası. SO ⊥ (ABC) və OM ⊥ AB, onda üç perpendikulyar haqqında teoremə görə SM ⊥ AB. Deməli, SM apofemdir, ∠SMO isə yan üzlə oturacaq arasındakı ikiüzlü bucağın xətti bucağıdır: ∠SMO = 60°.
2) OM = 8/2 = 4 sm (kvadratın daxilinə çəkilmiş çevrənin radiusu).
3) SOM üçbucağında: h = SO = OM · tg 60° = 4√3 sm; m = SM = OM / cos 60° = 4 : ½ = 8 sm.
4) Sot = 8² = 64 sm²; Syan = ½ · Pot · m = ½ · 32 · 8 = 128 sm² (yoxlama: Sot / cos 60° = 64 : ½ = 128 ✓); Stam = 128 + 64 = 192 sm².
5) V = ⅓ · Sot · h = ⅓ · 64 · 4√3 = 256√3/3 sm³ ≈ 147,8 sm³.
Cavab: h = 4√3 sm; m = 8 sm; Stam = 192 sm²; V = 256√3/3 sm³.

Növbəti dərs — «Fırlanma cisimləri: silindr, konus və kürə». Orada eyni ideyalar dairəvi cisimlərə keçir: silindr prizmaya, konus piramidaya bənzəyir (V = Sot · h və V = ⅓ · Sot · h), çoxüzlülərin kürə ilə kombinasiyaları isə ox kəsiyində planimetriya məsələsinə çevrilir.

Özünü yoxla: boşluğu doldur
  1. 1.Ölçüləri 2, 3 və 6 olan düzbucaqlı paralelepipedin diaqonalı -dir.
  2. 2.Prizmanın 18 tili var ⇒ oturacağı -bucaqlıdır.
  3. 3.Piramida: S_ot = 27, h = 10 ⇒ V =
  4. 4.Oxşar cisimlərin həcmləri 8 : 27 ⇒ səthləri 4 :
  5. 5.Kubun tili 3 dəfə artırıldı ⇒ həcmi dəfə artdı.

Əsas fikirlər

  • Eyler teoremi: təpələr − tillər + üzlər = 2; n-bucaqlı prizmanın 3n, piramidanın 2n tili var.
  • Düzbucaqlı paralelepiped: S = 2(ab + bc + ca), V = abc, d² = a² + b² + c²; kub: S = 6a², V = a³, d = a√3.
  • Prizma: V = Sot · h (istənilən), Syan = Pot · h (düz); piramida: V = ⅓ · Sot · h, düzgün piramidada Syan = ½ · Pot · m.
  • Yan tillər bərabərdir ⇒ hündürlüyün oturacağı xaricə çəkilmiş çevrənin mərkəzidir; ikiüzlü bucaqlar bərabərdir ⇒ daxilə çəkilmiş çevrənin mərkəzi, Syan = Sot / cos φ.
  • Paralel kəsik və oxşar cisimlər: sahələr k², həcmlər k³ kimi; kəsik piramida: V = ⅓ · h · (S₁ + S₂ + √(S₁ · S₂)).

Özünü yoxla

12 sual. Hər düzgün cavab XP qazandırır.

1 / 12
Düz prizmanın yan səthinin sahəsi necə hesablanır?