Məzmuna keç
Educora
AZ
AzərbaycancaEnglishРусскийTürkçe
Mənim səhifəmEducora StudioParametrlər
İrəli8-ci sinif25 dəq28 / 82

Kvadrat tənliklər

Kvadrat tənlik və onun əmsalları, natamam tənliklər, tam kvadratın ayrılması, diskriminant və köklər düsturu, cüt ikinci əmsal üçün D/4 düsturu, Viyet teoremi və onun tərsi, kvadrat üçhədlinin vuruqlara ayrılması, bikvadrat tənliklər və məsələlər — addım-addım həll olunmuş nümunələrlə.

Özünü yoxla
Bu dərsdə öyrənəcəksən
  • Kvadrat tənliyi standart şəklə gətirmək, a, b, c əmsallarını tapmaq və natamam tənlikləri düstursuz həll etmək
  • Tam kvadratı ayırmaqla köklər düsturunu əsaslandırmaq və istənilən kvadrat tənliyi diskriminantla (cüt b üçün D/4 ilə) həll etmək
  • Viyet teoremini və onun tərsini tətbiq etmək, kvadrat üçhədlini vuruqlara ayırmaq
  • Bikvadrat tənlikləri, əvəzləmə ilə həll olunan tənlikləri və kvadrat tənliyə gətirilən məsələləri həll etmək

Aysel həyətdə düzbucaqlı gül ləki salmaq istəyir. Ləkin sahəsi 24 m² olmalıdır, uzunluğu isə enindən 2 m çox. Eni x metr götürsək, sahə x(x + 2) olar və x(x + 2) = 24, yəni x² + 2x − 24 = 0 tənliyi alınır. «Xətti tənliklər» dərsindəki üsul burada kömək etmir: məchul kvadrata yüksəldilib və onu bir tərəfə keçirmək kifayət etmir. Bu dərsdə istənilən belə tənliyi həll etməyi öyrənəcəyik, sonda isə Ayselin ləkinin ölçülərini tapacağıq.

Kvadrat tənliklər hər yerdə qarşımıza çıxır: sahə və hərəkət məsələlərində, fizikada, iqtisadiyyatda. Onları həll etmək üçün «Qısa vurma düsturları» dərsindəki (a ± b)² düsturları lazım olacaq. Burada tapmağı öyrənəcəyin köklər isə növbəti dərslərdən birində — «Kvadrat funksiya və onun qrafiki» — parabolanın absis oxu ilə kəsişmə nöqtələri kimi görünəcək.

Kvadrat tənlik və onun əmsalları

Tərif
Kvadrat tənlik

ax² + bx + c = 0 şəklində olan tənlik; burada x məchul, a, b, c verilmiş ədədlərdir və a ≠ 0. a — birinci (böyük) əmsal, b — ikinci əmsal, c — sərbəst hədd adlanır. a = 0 olsaydı, x² itərdi və tənlik xətti olardı — buna görə a ≠ 0 şərti vacibdir.

Tənlik həmişə hazır şəkildə verilmir. Əmsalları düzgün oxumaq üçün əvvəlcə mötərizələri aç, bütün hədləri sol tərəfə keçir, oxşar hədləri islah et və hədləri x-in dərəcəsi azalan qaydada düz: bu, standart şəkildir. Əmsal öz işarəsi ilə götürülür: 2x² − 3x + 1 = 0 tənliyində b = −3-dür, 3 yox.

TənlikStandart şəkilabc
2x² − 3x + 1 = 02x² − 3x + 1 = 02−31
x² = 16x² − 16 = 010−16
5x − x² = 0−x² + 5x = 0−150
3x² = 12 − x3x² + x − 12 = 031−12
(x + 2)² = 3x + 10x² + x − 6 = 011−6
Son sətirdə (x + 2)² = x² + 4x + 4, sonra 3x + 10 sola keçirilir: x² + 4x + 4 − 3x − 10 = x² + x − 6. Əmsalı 0 olan hədd yazılmır — onda b = 0 və ya c = 0 olur.
Tərif
Natamam kvadrat tənlik

b və c əmsallarından ən azı biri sıfır olan kvadrat tənlik: ax² + bx = 0 (c = 0), ax² + c = 0 (b = 0) və ya ax² = 0. Belə tənlikləri diskriminantsız — vuruqlara ayırmaqla və ya kvadrat kök almaqla — həll etmək daha tezdir.

ax² + bx = 0 ⇒ x(ax + b) = 0 ⇒ x₁ = 0, x₂ = −b/aax² + bx = 0 ⇒ x(ax + b) = 0 ⇒ x₁ = 0, x₂ = −b/a
burada:
  • x(ax + b)ortaq vuruq x mötərizə xaricinə çıxarılıb
  • x₁ = 0c = 0 olduqda həmişə köklərdən biridir

Hasil yalnız vuruqlardan biri sıfır olduqda sıfıra bərabərdir. Buna görə c = 0 olan tənliyin həmişə iki kökü var və onlardan biri 0-dır.

c = 0 olan tənliklər

Həll et: 1) 5x² + 7x = 0; 2) 4x² = 9x.

Həllini göstər
1) Ortaq vuruğu çıxarırıq: x(5x + 7) = 0. Ya x = 0, ya da 5x + 7 = 0 ⇒ x = −7/5 = −1,4.
Cavab: 0 və −1,4.
2) Hər şeyi sola keçiririk: 4x² − 9x = 0 ⇒ x(4x − 9) = 0 ⇒ x = 0 və ya x = 9/4 = 2,25.
Cavab: 0 və 2,25. Tənliyi x-ə bölsəydik, 4x = 9 alınardı və x = 0 kökü itərdi.
ax² + c = 0 ⇒ x² = −c/a; −c/a > 0 olduqda x₁,₂ = ±√(−c/a)ax² + c = 0 ⇒ x² = −c/a; −c/a > 0 olduqda x₁,₂ = ±√(−c/a)
burada:
  • −c/a−c/ax²-nin bərabər olduğu ədəd; onun işarəsi köklərin sayını həll edir
  • ±kvadratı eyni olan iki əks ədəd: √9 = 3, amma x² = 9 tənliyinin kökləri 3 və −3-dür

−c/a > 0 — iki əks kök; −c/a < 0 — kök yoxdur, çünki heç bir ədədin kvadratı mənfi deyil; c də sıfırdırsa (ax² = 0), yeganə kök x = 0-dır.

b = 0 olan tənliklər və tam kvadrat

Həll et: 1) 2x² − 18 = 0; 2) 4x² + 25 = 0; 3) (x − 3)² = 16.

Həllini göstər
1) 2x² = 18 ⇒ x² = 9 ⇒ x = ±3. Cavab: −3 və 3.
2) 4x² = −25 ⇒ x² = −25/4 < 0. Kvadrat mənfi ola bilməz, deməli, kök yoxdur.
3) Burada kvadratın içində x − 3 durur: x − 3 = 4 və ya x − 3 = −4 ⇒ x = 7 və ya x = −1.
Mötərizəni açmağa ehtiyac olmadı — növbəti bölmədə bu fikir istənilən kvadrat tənliyin açarı olacaq.

Tam kvadratın ayrılması və köklər düsturu

(x − 3)² = 16 tənliyini bir addımda həll etdik, çünki sol tərəf tam kvadrat idi. İstənilən kvadrat tənliyi belə şəklə salmaq olar: x² + 2px ifadəsinə p² əlavə etsək, (a + b)² = a² + 2ab + b² düsturuna görə tam kvadrat alınır: x² + 2px + p² = (x + p)². Bu üsula tam kvadratın ayrılması deyilir.

  1. 1
    a-ya böl

    a ≠ 1 olarsa, tənliyin hər iki tərəfini a-ya böl ki, x²-nin əmsalı 1 olsun.

  2. 2
    Sərbəst həddi sağa keçir

    Solda yalnız x² və x-li hədd qalsın.

  3. 3
    Yarımın kvadratını əlavə et

    x-in əmsalının yarısını kvadrata yüksəlt və hər iki tərəfə əlavə et.

  4. 4
    Kvadrat şəklində yaz

    Sol tərəfi (x + p)² kimi yaz, sağ tərəfi hesabla.

  5. 5
    Kvadrat kök al

    Sağ tərəf mənfi deyilsə, x + p = ±√(sağ tərəf); mənfidirsə, kök yoxdur.

Tam kvadratı ayıraraq həll

Tam kvadratı ayıraraq həll et: 1) x² + 6x − 7 = 0; 2) x² − 4x + 1 = 0.

Həllini göstər
1) x² + 6x = 7. 6-nın yarısı 3, onun kvadratı 9: x² + 6x + 9 = 7 + 9 ⇒ (x + 3)² = 16.
x + 3 = 4 və ya x + 3 = −4 ⇒ x = 1 və ya x = −7.
2) x² − 4x = −1. −4-ün yarısı −2, kvadratı 4: x² − 4x + 4 = −1 + 4 ⇒ (x − 2)² = 3.
x − 2 = ±√3 ⇒ x = 2 ± √3 (≈ 3,73 və ≈ 0,27). Köklər irrasional ola bilər — bu, səhv etdiyin demək deyil.

İndi eyni addımları hərflərlə, ax² + bx + c = 0 tənliyi üçün ataq. a-ya bölürük: x² + (b/a)x = −c/a. Hər iki tərəfə (b/(2a))² əlavə edirik: (x + b/(2a))² = (b² − 4ac)/(4a²). Məxrəc 4a² həmişə müsbətdir, deməli, sağ tərəfin işarəsini yalnız surət — b² − 4ac — müəyyən edir. Kvadrat kök alıb x-i tapanda məşhur köklər düsturu alınır.

Tərif
Diskriminant

D = b² − 4ac ədədi. Latınca discriminare «ayırd etmək» deməkdir: diskriminant tənliyi həll etmədən köklərin sayını ayırd etməyə imkan verir.

D = b² − 4ac; x₁,₂ = (−b ± √D) / (2a)D = b² − 4ac; x₁,₂ = (−b ± √D) / (2a)
burada:
  • Ddiskriminant; işarəsi köklərin sayını göstərir
  • a, b, cstandart şəkildəki əmsallar, işarələri ilə
  • ±biri «+» ilə, digəri «−» ilə hesablanan iki kök
  • 2aməxrəc bütün surətə aiddir: −b ± √D ifadəsinin hamısı 2a-ya bölünür

D > 0 — iki müxtəlif kök; D = 0 — bir kök (iki bərabər kök) x = −b/(2a); D < 0 — həqiqi kök yoxdur.

Diskriminantın üç halı

Həll et: 1) 2x² + 3x − 2 = 0; 2) 9x² − 6x + 1 = 0; 3) x² + 2x + 5 = 0.

Həllini göstər
1) a = 2, b = 3, c = −2. D = 3² − 4 · 2 · (−2) = 9 + 16 = 25 > 0, √D = 5.
x₁ = (−3 + 5)/4 = 1/2, x₂ = (−3 − 5)/4 = −2.
2) D = (−6)² − 4 · 9 · 1 = 36 − 36 = 0 — bir kök: x = 6/18 = 1/3. Həqiqətən, 9x² − 6x + 1 = (3x − 1)².
3) D = 2² − 4 · 1 · 5 = 4 − 20 = −16 < 0 — həqiqi kök yoxdur.
İnteraktiv
Simulyasiya yüklənir…
y = x² + bx + c qrafiki. Tənliyin kökləri əyrinin x oxunu kəsdiyi nöqtələrdir: başlanğıcda x² − 5x + 6 = 0 üçün 2 və 3. c-ni artır: D = b² − 4c əvvəl sıfıra enir (əyri oxa toxunur), sonra mənfi olur (əyri oxdan ayrılır, kök yoxdur). Qrafiki «Kvadrat funksiya və onun qrafiki» dərsində ətraflı öyrənəcəyik.
Mənfi a və irrasional köklər

Həll et: 1) −x² + 4x + 5 = 0; 2) 3x² − 2x − 2 = 0.

Həllini göstər
1) Əvvəlcə tənliyi −1-ə vururuq ki, a müsbət olsun: x² − 4x − 5 = 0. D = 16 + 20 = 36, √D = 6.
x = (4 ± 6)/2 ⇒ x₁ = 5, x₂ = −1.
2) D = (−2)² − 4 · 3 · (−2) = 4 + 24 = 28, √28 = 2√7.
x = (2 ± 2√7)/6 = (1 ± √7)/3, yəni x₁ ≈ 1,22, x₂ ≈ −0,55.
Surətin hər iki həddini və məxrəci 2-yə ixtisar etdik.

Cüt ikinci əmsal və gətirilmiş tənlik

b cüt olanda (b = 2k) düsturdakı bütün ədədlər 2-yə, D isə 4-ə bölünür. Bu ixtisarı əvvəlcədən etsək, kiçik ədədlərlə işləyirik və hesablama səhvləri azalır.

b = 2k: D/4 = k² − ac; x₁,₂ = (−k ± √(D/4)) / ab = 2k: D/4 = k² − ac; x₁,₂ = (−k ± √(D/4)) / a
burada:
  • kikinci əmsalın yarısı, k = b/2 (işarəsi ilə)
  • D/4D/4dördə bölünmüş diskriminant; işarəsi D-nin işarəsi ilə eynidir
  • aməxrəcdə artıq 2a yox, a qalır

Düstur adi düsturdan surəti və məxrəci 2-yə bölməklə alınır: (−2k ± √(4(k² − ac)))/(2a) = (−k ± √(k² − ac))/a.

D/4 ilə üç tənlik

Həll et: 1) x² − 14x + 40 = 0; 2) 3x² + 8x − 3 = 0; 3) 5x² − 12x + 7 = 0.

Həllini göstər
1) k = −7: D/4 = 49 − 40 = 9, x = 7 ± 3 ⇒ 10 və 4.
2) k = 4: D/4 = 16 − 3 · (−3) = 16 + 9 = 25, x = (−4 ± 5)/3 ⇒ 1/3 və −3.
3) k = −6: D/4 = 36 − 35 = 1, x = (6 ± 1)/5 ⇒ 7/5 və 1.
Müqayisə et: 1) tənlikdə adi düsturla D = 196 − 160 = 36 alınardı — ədədlər xeyli böyük olardı.
Tərif
Gətirilmiş kvadrat tənlik

Birinci əmsalı 1 olan kvadrat tənlik: x² + px + q = 0. İstənilən kvadrat tənliyi a-ya bölməklə gətirilmiş şəklə salmaq olar: 2x² − 6x + 4 = 0 ⇒ x² − 3x + 2 = 0.

x² + px + q = 0: x₁,₂ = −p/2 ± √((p/2)² − q)x² + px + q = 0: x₁,₂ = −p/2 ± √((p/2)² − q)
burada:
  • px-in əmsalı
  • qsərbəst hədd

Sözlə: kök x-in əmsalının əks işarəli yarısı ilə «həmin yarının kvadratı çıxılsın sərbəst hədd» ifadəsinin kvadrat kökünün cəmi və ya fərqidir. p cüt olanda xüsusilə rahatdır.

Gətirilmiş tənliklər

Həll et: 1) x² − 6x − 16 = 0; 2) x² + 10x + 21 = 0.

Həllini göstər
1) p/2 = −3: x = 3 ± √(9 + 16) = 3 ± 5 ⇒ 8 və −2.
2) p/2 = 5: x = −5 ± √(25 − 21) = −5 ± 2 ⇒ −3 və −7.
Hər iki cavabı növbəti bölmədəki Viyet teoremi ilə yoxlamaq olar: 8 + (−2) = 6, 8 · (−2) = −16.

Viyet teoremi və vuruqlara ayırma

Düsturdakı iki kökü toplayaq və vuraq. Cəmdə ±√D hədləri bir-birini yox edir: x₁ + x₂ = (−b + √D)/(2a) + (−b − √D)/(2a) = −2b/(2a) = −b/a. Hasildə (m + n)(m − n) = m² − n² düsturu işləyir: x₁ · x₂ = (b² − D)/(4a²) = 4ac/(4a²) = c/a. Bu əlaqələr XVI əsr fransız riyaziyyatçısı Fransua Viyetin (François Viète) adını daşıyır.

x₁ + x₂ = −b/a; x₁ · x₂ = c/ax₁ + x₂ = −b/a; x₁ · x₂ = c/a
burada:
  • x₁, x₂tənliyin kökləri (D ≥ 0 olmalıdır)
  • −b/a−b/aköklərin cəmi
  • c/ac/aköklərin hasili

Gətirilmiş tənlik x² + px + q = 0 üçün: x₁ + x₂ = −p, x₁ · x₂ = q. Teorem yalnız köklər varsa mənalıdır: x² + x + 5 = 0 tənliyinin kökü yoxdur, deməli, cəmi −1 olan kökləri də yoxdur.

Tərif
Viyet teoreminin tərsi

Əgər m və n ədədləri üçün m + n = −p və m · n = q olarsa, onlar x² + px + q = 0 tənliyinin kökləridir. Bu, kökləri şifahi tapmağa və verilmiş köklərə görə tənlik qurmağa imkan verir.

Kökləri şifahi tapırıq

1) x² − 11x + 30 = 0; 2) x² + 2x − 15 = 0; 3) x² + 9x + 20 = 0 tənliklərinin köklərini Viyet teoremi ilə tap. 4) Kökləri −2 və 5 olan gətirilmiş kvadrat tənlik qur.

Həllini göstər
1) Cəm 11, hasil 30: 5 və 6 (5 + 6 = 11, 5 · 6 = 30).
2) Cəm −2, hasil −15. Hasil mənfidir, deməli, köklərin işarələri müxtəlifdir: 3 və −5.
3) Cəm −9, hasil 20. Hasil müsbət, cəm mənfidir — hər iki kök mənfidir: −4 və −5.
4) p = −(−2 + 5) = −3, q = (−2) · 5 = −10 ⇒ x² − 3x − 10 = 0.
Kökləri tapmadan hesablamalar

1) x₁ və x₂ — x² − 5x + 3 = 0 tənliyinin kökləridir. x₁² + x₂² və 1/x₁ + 1/x₂ ifadələrinin qiymətini tap.
2) x² + px − 12 = 0 tənliyinin köklərindən biri 3-dür. İkinci kökü və p-ni tap.

Həllini göstər
1) D = 25 − 12 = 13 > 0 — köklər var, amma irrasionaldır. Viyetə görə x₁ + x₂ = 5, x₁x₂ = 3.
x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂ = 25 − 6 = 19.
1/x₁ + 1/x₂ = (x₁ + x₂)/(x₁x₂) = 5/3.
2) x₁ · x₂ = −12 və x₁ = 3 ⇒ x₂ = −4. x₁ + x₂ = −p ⇒ −1 = −p ⇒ p = 1.

Kvadrat üçhədli — ax² + bx + c ifadəsidir; onun kökləri ax² + bx + c = 0 tənliyinin kökləridir. Viyet teoremindən b = −a(x₁ + x₂) və c = a · x₁x₂ yazıb yerinə qoysaq: ax² + bx + c = a(x² − (x₁ + x₂)x + x₁x₂) = a(x − x₁)(x − x₂).

ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂)
burada:
  • abirinci əmsal — mötərizələrin qarşısında qalmalıdır
  • x₁, x₂üçhədlinin kökləri

D = 0 olanda ax² + bx + c = a(x − x₁)²; D < 0 olanda üçhədli xətti vuruqlara ayrılmır. Digər üsullar — ortaq vuruq, qruplaşdırma — «Çoxhədlinin vuruqlara ayrılması» dərsindədir.

Vuruqlara ayırırıq

Vuruqlara ayır: 1) 2x² − 5x − 3; 2) −x² + x + 6. 3) (x² − 4x + 3)/(x² − 1) kəsrini ixtisar et.

Həllini göstər
1) D = 25 + 24 = 49, x = (5 ± 7)/4 ⇒ x₁ = 3, x₂ = −1/2.
2x² − 5x − 3 = 2(x − 3)(x + 1/2) = (x − 3)(2x + 1).
2) Köklər: −x² + x + 6 = 0 ⇒ x² − x − 6 = 0 ⇒ 3 və −2. a = −1 olduğundan
−x² + x + 6 = −(x − 3)(x + 2); a = −1 vuruğunu unutmaq olmaz.
3) x² − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3) (a + b + c = 0: köklər 1 və 3), x² − 1 = (x − 1)(x + 1).
Kəsr = (x − 3)/(x + 1), burada x ≠ ±1.
  1. 1
    Standart şəklə gətir

    Mötərizələri aç və bütün hədləri sola keçir: ax² + bx + c = 0.

  2. 2
    Sadələşdir

    Bütün əmsallar ortaq vuruğa bölünürsə, böl; a < 0 olarsa, tənliyi −1-ə vur.

  3. 3
    Qısa yolu yoxla

    Natamam tənlik, a + b + c = 0, a − b + c = 0 və ya Viyetlə asan tapılan köklər varmı?

  4. 4
    Diskriminantı hesabla

    D = b² − 4ac (b cütdürsə, D/4 = k² − ac). D < 0 olarsa, həqiqi kök yoxdur.

  5. 5
    Kökləri tap və yoxla

    Düsturu tətbiq et, sonra cavabı Viyet teoremi ilə və ya tənlikdə yerinə qoymaqla yoxla.

Kvadrat tənliyə gətirilən tənliklər və məsələlər

Tərif
Bikvadrat tənlik

ax⁴ + bx² + c = 0 (a ≠ 0) şəklində olan tənlik. t = x² əvəzləməsi onu at² + bt + c = 0 kvadrat tənliyinə çevirir. t = x² mənfi ola bilmədiyindən yalnız t ≥ 0 olan kökləri saxlayırıq.

  1. 1
    Təkrarlanan ifadəni tap

    x², x² − 2x və ya başqa bir ifadə tənlikdə həm kvadratda, həm də birinci dərəcədə görünür.

  2. 2
    Yeni dəyişən daxil et

    t = həmin ifadə; t üçün şərti yaz (t = x² üçün t ≥ 0).

  3. 3
    t üçün tənliyi həll et

    Diskriminantla, D/4 ilə və ya Viyet teoremi ilə.

  4. 4
    Uyğun olmayanları at

    Şərtə uymayan t qiymətlərini kənar et.

  5. 5
    x-ə qayıt

    Hər t üçün x-i tap və kökləri ilkin tənlikdə yoxla.

Bikvadrat tənliklər və əvəzləmə

Həll et: 1) x⁴ − 5x² + 4 = 0; 2) x⁴ + 3x² − 4 = 0; 3) (x² − 2x)² − 2(x² − 2x) − 3 = 0.

Həllini göstər
1) t = x² ≥ 0: t² − 5t + 4 = 0 ⇒ t = 1 və ya t = 4 (a + b + c = 0).
x² = 1 ⇒ x = ±1; x² = 4 ⇒ x = ±2. Cavab: −2, −1, 1, 2 — dörd kök.
2) t² + 3t − 4 = 0 ⇒ t = 1 və ya t = −4. t = −4 < 0 kənar edilir.
x² = 1 ⇒ x = ±1 — cəmi iki kök.
3) t = x² − 2x: t² − 2t − 3 = 0 ⇒ t = 3 və ya t = −1 (a − b + c = 0).
x² − 2x = 3 ⇒ x² − 2x − 3 = 0 ⇒ x = 3, x = −1.
x² − 2x = −1 ⇒ (x − 1)² = 0 ⇒ x = 1.
Cavab: −1, 1, 3. Burada t mənfi ola bilər, çünki x² − 2x ifadəsi kvadrat deyil.

Məsələdə tənlik qurmaq xətti tənliklərdəki kimidir: məchulu seç, şərti tənlik şəklində yaz, həll et. Yeni olan son addımdır: kvadrat tənliyin çox vaxt iki kökü olur, amma məsələnin mənasına hər ikisi uyğun gəlməyə bilər — uzunluq mənfi, adam sayı isə kəsr ola bilməz.

Üç məsələ

1) Ayselin ləki: sahəsi 24 m², uzunluğu enindən 2 m çoxdur. Ölçülərini tap.
2) İki ardıcıl natural ədədin hasili 132-dir. Bu ədədləri tap.
3) Futbol turnirində hər komanda qalan komandaların hər biri ilə bir dəfə oynadı; cəmi 28 oyun keçirildi. Neçə komanda iştirak edirdi?

Həllini göstər
1) En x m: x(x + 2) = 24 ⇒ x² + 2x − 24 = 0. k = 1: D/4 = 1 + 24 = 25, x = −1 ± 5 ⇒ 4 və −6.
En mənfi ola bilməz, deməli, eni 4 m, uzunluğu 6 m. Yoxlama: 4 · 6 = 24.
2) n(n + 1) = 132 ⇒ n² + n − 132 = 0. D = 1 + 528 = 529 = 23², n = (−1 ± 23)/2 ⇒ 11 və −12.
−12 natural ədəd deyil. Cavab: 11 və 12.
3) n komandanın hər biri n − 1 oyun keçirir, amma hər oyun iki dəfə sayılır: n(n − 1)/2 = 28 ⇒ n² − n − 56 = 0.
D = 1 + 224 = 225, n = (1 ± 15)/2 ⇒ 8 və −7. Cavab: 8 komanda.
Özünü yoxla
  1. 1.x² − 3x − 4 = 0 tənliyinin diskriminantı: D =
  2. 2.2x² − 8x + 5 = 0 tənliyinin köklərinin cəmi:
  3. 3.2x² − 8x + 5 = 0 tənliyinin köklərinin hasili:
  4. 4.x² − x − 6 = 0 tənliyinin böyük kökü:
  5. 5.x⁴ − 10x² + 9 = 0 tənliyinin köklərinin sayı:

Əsas fikirlər

  • Kvadrat tənlik: ax² + bx + c = 0, a ≠ 0; əmsallar standart şəkildən, işarələri ilə oxunur.
  • Natamam tənlik: c = 0 olarsa, x-i mötərizə xaricinə çıxar (x = 0 həmişə kökdür); b = 0 olarsa, x²-ni tap. Tənliyi x-ə bölmə.
  • D = b² − 4ac, x₁,₂ = (−b ± √D)/(2a): D > 0 — iki kök, D = 0 — bir kök, D < 0 — həqiqi kök yoxdur.
  • b = 2k olarsa: D/4 = k² − ac, x₁,₂ = (−k ± √(D/4))/a.
  • Viyet: x₁ + x₂ = −b/a, x₁ · x₂ = c/a; a + b + c = 0 olarsa, köklər 1 və c/a; ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂).
  • Bikvadrat tənlikdə t = x² ≥ 0 əvəzləməsi; məsələdə mənaya uymayan kökü at.

Özünü yoxla

12 sual. Hər düzgün cavab XP qazandırır.

1 / 12
3x² − 2x + 7 = 0 tənliyində b əmsalı neçədir?