Kvadrat funksiya və onun qrafiki — Riyaziyyat

Bu dərsdə öyrənəcəksən

y = ax² və y = a(x − m)² + n funksiyalarının qrafiklərini qurmaq və parabolanın sürüşdürülməsini izah etmək
y = ax² + bx + c parabolasının təpəsini, simmetriya oxunu və oxlarla kəsişmə nöqtələrini tapıb qrafiki addım-addım qurmaq
Qrafikdən köklərin sayını, funksiyanın işarəsini və a, b, c əmsallarının işarələrini oxumaq
Kvadrat funksiyanın ən böyük və ya ən kiçik qiymətini tapmaq və parabolanın düsturunu verilmiş nöqtələrə görə yazmaq

Səbətə uçan basketbol topu, fəvvarədən qalxıb yenidən enən su şırnağı — havanın müqavimətini nəzərə almasaq, bu yolların hamısı paraboladır. «Kvadrat tənliklər» dərsində ax² + bx + c = 0 tənliyini həll etməyi öyrəndik. İndi isə ax² + bx + c ifadəsinə x dəyişdikcə qiyməti dəyişən funksiya kimi baxacağıq. Onun qrafikindən topun ən yüksək nöqtəsini, hasarla əhatə olunan ən böyük sahəni və tənliyin köklərini birbaşa oxumaq olur.

«Xətti funksiya və onun qrafiki» dərsində y = kx + b funksiyasının qrafikinin düz xətt olduğunu gördük. Kvadrat funksiyanın qrafiki əyridir, amma o da bir neçə xarakterik nöqtə ilə tam müəyyən olunur. Bu dərsdə həmin nöqtələri tapmağı öyrənəcəyik; sonra, «Kvadrat bərabərsizliklər və intervallar üsulu» dərsində eyni eskiz bərabərsizlikləri həll etməyə kömək edəcək.

y = ax² funksiyası

Tərif

Kvadrat funksiya

y = ax² + bx + c düsturu ilə verilən funksiya; burada a, b, c ədədlər və a ≠ 0. Onun təyin oblastı bütün həqiqi ədədlərdir, qrafiki isə parabola adlanan əyridir.

Ən sadə hal y = x²-dır. Cədvələ bax: x və −x eyni y verir, çünki (−x)² = x². Deməli, qrafik ordinat oxuna nəzərən simmetrikdir. Ən aşağı nöqtə (0; 0)-dır — bu, parabolanın təpəsidir. Təpədən uzaqlaşdıqca y getdikcə daha sürətlə artır: x 1-dən 2-yə keçəndə y 3 vahid, 2-dən 3-ə keçəndə isə 5 vahid artır. Buna görə parabola təpədə yastı, qollarında isə dikdir.

x	−3	−2	−1	1	2	3
y = x²	9	4	1	1	4	9
y = 2x²	18	8	2	2	8	18
y = ½x²	4,5	2	0,5	0,5	2	4,5
y = −x²	−9	−4	−1	−1	−4	−9

Eyni x üçün 2x² iki dəfə böyük, ½x² iki dəfə kiçikdir, −x² isə əks işarəlidir. Hər sətir 0-a nəzərən simmetrikdir.

y = ax²

burada:

a-nın işarəsiqolların istiqaməti: a > 0 — yuxarı, a < 0 — aşağı
|a|parabolanın «enliliyi»: |a| > 1 — dar, 0 < |a| < 1 — enli

a > 0 olduqda təpə ən aşağı, a < 0 olduqda ən yuxarı nöqtədir. Təpə (0; 0), simmetriya oxu Oy-dir. y = −ax² və y = ax² qrafikləri Ox oxuna nəzərən simmetrikdir.

y = ax² ilə üç sual

1) A(−3; 18) nöqtəsi y = 2x² parabolası üzərindədirmi?
2) y = ax² parabolası B(2; −12) nöqtəsindən keçir. a-nı tap və qolların istiqamətini söylə.
3) y = ½x² funksiyasının x = 4 və x = −4 olduqda qiymətini tap.

Həllini göstər

1) 2 · (−3)² = 2 · 9 = 18 — bərabərlik ödənir, deməli, A nöqtəsi parabola üzərindədir.
2) −12 = a · 2² ⇒ 4a = −12 ⇒ a = −3. a < 0 olduğundan qollar aşağı yönəlib.
3) ½ · 4² = ½ · 16 = 8; x = −4 üçün də 8 alınır — simmetriyaya görə y(−4) = y(4).

Parabolanın sürüşdürülməsi: y = a(x − m)² + n

y = x² + 3 funksiyasının hər qiyməti y = x²-ın qiymətindən 3 vahid böyükdür, deməli, bütün qrafik 3 vahid yuxarı qalxır. y = (x − 2)² funksiyası isə y = x²-ın x = 0-da aldığı qiyməti (sıfırı) x = 2-də alır: hər qiymət 2 vahid «gec» gəlir və qrafik 2 vahid sağa sürüşür. Diqqət: mötərizədə «−» olanda sağa, «+» olanda sola sürüşür.

y = a(x − m)² + n

burada:

müfüqi sürüşmə: m > 0 — sağa, m < 0 — sola
nşaquli sürüşmə: n > 0 — yuxarı, n < 0 — aşağı
ay = ax²-dakı kimi: istiqamət və enlilik

Təpə (m; n) nöqtəsindədir, simmetriya oxu x = m düz xəttidir. Qrafik y = ax² parabolasını üfüqi istiqamətdə m, şaquli istiqamətdə n vahid köçürməklə alınır; forması dəyişmir.

Təpə formasında verilmiş parabolalar

1) y = (x + 2)² − 1 parabolasının təpəsini tap və onun y = x²-dan necə alındığını söylə.
2) y = −2(x − 1)² + 8 parabolasının təpəsini və absis oxu ilə kəsişmə nöqtələrini tap.
3) y = 3x² parabolasını 4 vahid sola və 5 vahid aşağı sürüşdürdülər. Yeni parabolanın düsturunu yaz.

Həllini göstər

1) (x + 2)² = (x − (−2))², deməli, m = −2, n = −1. Təpə (−2; −1); qrafik y = x²-ı 2 vahid sola və 1 vahid aşağı sürüşdürməklə alınır.
2) Təpə (1; 8); a = −2 < 0 — qollar aşağıdır, 8 ən böyük qiymətdir.
y = 0: −2(x − 1)² + 8 = 0 ⇒ (x − 1)² = 4 ⇒ x − 1 = ±2 ⇒ x = 3 və x = −1.
3) Sola 4 — mötərizədə x + 4, aşağı 5 — sonda −5: y = 3(x + 4)² − 5, təpə (−4; −5).

İnteraktiv

Simulyasiya yüklənir…

m və n sürgülərini hərəkət etdir: parabola formasını dəyişmədən sürüşür, təpəsi həmişə (m; n) nöqtəsində qalır. a-nı dəyiş: işarəsi qolları çevirir, modulu isə parabolanı daraldır və ya genişləndirir.

y = ax² + bx + c: təpə, simmetriya oxu, oxlarla kəsişmə

Hər kvadrat funksiyanı tam kvadratı ayırmaqla təpə formasına salmaq olar (bu üsul «Kvadrat tənliklər» dərsindədir): ax² + bx + c = a(x + b/(2a))² − (b² − 4ac)/(4a). Buradan m = −b/(2a) və n = −D/(4a) alınır. Deməli, y = ax² + bx + c qrafiki də y = ax² parabolasının sürüşdürülmüş surətidir.

x₀ = −b/(2a), y₀ = f(x₀) = −D/(4a)x₀ = −b/(2a), y₀ = f(x₀) = −D/(4a)

burada:

x₀təpənin absisi; simmetriya oxu x = x₀ düz xəttidir
y₀təpənin ordinatı — funksiyanın ən kiçik (a > 0) və ya ən böyük (a < 0) qiyməti
Ddiskriminant b² − 4ac

Praktikada y₀-ı düsturla yox, x₀-ı funksiyada yerinə qoymaqla hesablamaq daha rahatdır.

Təpəni tapırıq

Parabolanın təpəsini tap: 1) y = x² − 6x + 5; 2) y = −2x² + 8x − 3; 3) y = 3x² + 12x.

Həllini göstər

1) x₀ = 6/2 = 3, y₀ = 9 − 18 + 5 = −4. Təpə (3; −4); təpə forması: y = (x − 3)² − 4.
2) x₀ = −8/(2 · (−2)) = 2, y₀ = −8 + 16 − 3 = 5. Təpə (2; 5). Düsturla yoxlama: D = 64 − 24 = 40, −D/(4a) = −40/(−8) = 5.
3) x₀ = −12/6 = −2, y₀ = 12 − 24 = −12. Təpə (−2; −12); c = 0 olduğundan parabola koordinat başlanğıcından keçir.

Ordinat oxu ilə kəsişmə: x = 0 yazırıq və y = c alırıq — nöqtə (0; c). Bu, hesablamasız tapılan yeganə nöqtədir. Absis oxu ilə kəsişmə: y = 0, yəni ax² + bx + c = 0 tənliyi. D > 0 olarsa, parabola Ox-u iki nöqtədə kəsir; D = 0 olarsa, Ox-a təpəsi ilə toxunur; D < 0 olarsa, Ox ilə ortaq nöqtəsi yoxdur. Bu nöqtələrin absisləri funksiyanın sıfırları adlanır.

Qrafikin addım-addım qurulması və oxunması

1
Qolların istiqaməti
a-nın işarəsinə bax: a > 0 — yuxarı, a < 0 — aşağı.
2
Təpə və simmetriya oxu
x₀ = −b/(2a), y₀ = f(x₀) hesabla; təpəni qeyd et və x = x₀ oxunu qırıq xətlə çək.
3
Oy ilə kəsişmə
(0; c) nöqtəsini və onun simmetrik cütünü (2x₀; c) qeyd et.
4
Sıfırlar
D ≥ 0 olarsa, ax² + bx + c = 0 tənliyini həll et və kökləri Ox üzərində qeyd et.
5
Əlavə nöqtələr
Lazım olsa, təpədən uzaqda bir-iki nöqtə hesabla və onları da simmetrik köçür.
6
Hamar əyri çək
Nöqtələri təpədə sivri bucaq yaratmadan, dairəvi dönən hamar əyri ilə birləşdir və qrafiki imzala.

y = x² − 2x − 3 funksiyasının qrafiki və onun oxunması

y = x² − 2x − 3 funksiyasının qrafikini qur. Qrafikə görə qiymətlər oblastını, artma və azalma aralıqlarını, funksiyanın müsbət və mənfi olduğu x-ləri tap.

Həllini göstər

1) a = 1 > 0 — qollar yuxarı.
2) x₀ = 2/2 = 1, y₀ = 1 − 2 − 3 = −4. Təpə (1; −4), ox x = 1.
3) Oy ilə: (0; −3), simmetrik nöqtə (2; −3).
4) x² − 2x − 3 = 0 ⇒ x = 3, x = −1 (a − b + c = 0).
5) x = 4: y = 5; simmetrik nöqtə x = −2: y = 5.
Oxuyuruq: qiymətlər oblastı y ≥ −4 (ən kiçik qiymət −4); funksiya (−∞; 1] aralığında azalır, [1; +∞) aralığında artır; −1 < x < 3 olduqda y < 0 (qrafik Ox-dan aşağıdadır), x < −1 və ya x > 3 olduqda y > 0.

İnteraktiv

Simulyasiya yüklənir…

Başlanğıcda y = x² − 2x − 3 qrafikidir. c-ni dəyiş — parabola yuxarı-aşağı sürüşür. b-ni dəyiş — (0; c) nöqtəsi yerində qalır, təpə isə həm üfüqi, həm şaquli yer dəyişir (o, y = c − ax² parabolası üzrə hərəkət edir). a-nın işarəsini dəyiş — qollar çevrilir.

Qrafikə baxıb əmsalların işarələrini də tapmaq olar. a qolların istiqamətini göstərir. c qrafikin Oy-u kəsdiyi nöqtənin ordinatıdır. b isə a ilə birlikdə təpənin yerini təyin edir: x₀ = −b/(2a) olduğundan a və b eyni işarəli olanda təpə Oy-dan solda, müxtəlif işarəli olanda sağda, b = 0 olanda Oy üzərindədir. Ox ilə ortaq nöqtələrin sayı isə D-nin işarəsini verir.

Qrafikdə görünən	Nəticə
Qollar yuxarı / aşağı	a > 0 / a < 0
Parabola dar / enli	\|a\| böyük / kiçik
Oy-u Ox-dan yuxarıda / aşağıda kəsir	c > 0 / c < 0
Koordinat başlanğıcından keçir	c = 0
Təpə Oy-dan solda	x₀ < 0: a və b eyni işarəli
Təpə Oy-dan sağda	x₀ > 0: a və b müxtəlif işarəli
Təpə Oy üzərində	b = 0
Ox ilə 2 / 1 / 0 ortaq nöqtə	D > 0 / D = 0 / D < 0

İşarələri qrafikdən oxuyuruq

y = ax² + bx + c parabolasının qolları aşağı yönəlib, o, Oy-u Ox-dan aşağıda kəsir, təpəsi Oy-dan sağdadır və Ox-u iki nöqtədə kəsir. a, b, c və D-nin işarələrini tap və belə funksiyaya nümunə göstər.

Həllini göstər

Qollar aşağı ⇒ a < 0. Oy ilə kəsişmə aşağıdadır ⇒ c < 0.
Təpə sağda: x₀ = −b/(2a) > 0 ⇒ a və b müxtəlif işarəlidir ⇒ b > 0.
İki kəsişmə nöqtəsi ⇒ D > 0.
Nümunə: y = −x² + 4x − 3: a = −1, b = 4, c = −3, D = 16 − 12 = 4 > 0; təpə (2; 1), sıfırlar 1 və 3.

Ən böyük və ən kiçik qiymət. Düsturu nöqtələrə görə tapmaq

a > 0: min y = y₀; a < 0: max y = y₀; y₀ = f(−b/(2a))a > 0: min y = y₀; a < 0: max y = y₀; y₀ = f(−b/(2a))

burada:

min yfunksiyanın ən kiçik qiyməti
max yfunksiyanın ən böyük qiyməti
−b/(2a)−b/(2a)bu qiymətin alındığı nöqtə — təpənin absisi

Qolları yuxarı olan parabolanın ən aşağı nöqtəsi təpədir, yuxarıdan isə sərhədi yoxdur; qolları aşağı olanda əksinə. Qiymətlər oblastı: a > 0 olduqda y ≥ y₀, a < 0 olduqda y ≤ y₀.

Atılmış top

Murad topu 1,8 m hündürlükdən yuxarı atır. Topun hündürlüyü t saniyədən sonra h = 1,8 + 12t − 5t² metrdir. Top ən çox hansı hündürlüyə qalxır və nə vaxt yenidən 1,8 m hündürlükdə olur?

Həllini göstər

a = −5 < 0 — qollar aşağıdır, təpə ən yüksək nöqtədir.
t₀ = −12/(2 · (−5)) = 1,2 saniyə; h(1,2) = 1,8 + 14,4 − 7,2 = 9 m.
1,8 m hündürlük: 12t − 5t² = 0 ⇒ t(12 − 5t) = 0 ⇒ t = 0 (atış anı) və ya t = 2,4 saniyə.
Simmetriyaya diqqət et: 2,4 = 2 · 1,2 — top 1,2 saniyə qalxır və 1,2 saniyə enir.

Ən böyük sahə və ən böyük hasil

1) Leylanın 24 m hasarı var. Hansı ölçülü düzbucaqlı sahəni hasara alsa, sahə ən böyük olar?
2) Sahənin bir tərəfi divardırsa və 20 m hasar yalnız qalan üç tərəfə çəkilirsə?
3) Cəmi 10 olan iki ədədin hasili ən çox neçə ola bilər?

Həllini göstər

1) Bir tərəf x m olsun, onda qonşu tərəf 12 − x m-dir (yarımperimetr 12). S = x(12 − x) = −x² + 12x.
a = −1 < 0, x₀ = −12/(−2) = 6 ⇒ 6 m × 6 m, S = 36 m² — kvadrat.
2) Divara perpendikulyar tərəflər x m, divara paralel tərəf 20 − 2x m-dir (0 < x < 10). S = x(20 − 2x) = −2x² + 20x.
x₀ = −20/(−4) = 5 ⇒ 5 m × 10 m, S = 50 m².
3) Ədədlər x və 10 − x: P = −x² + 10x, x₀ = 5 ⇒ ən böyük hasil 5 · 5 = 25.
İstənilən funksiya üçün ümumi üsul «Parçada ən böyük və ən kiçik qiymət. Optimallaşdırma məsələləri» dərsində törəmə ilə öyrənilir.

Parabolanın düsturunu tapmaq üçün adətən üç şərt lazımdır — axı düsturda üç əmsal var. Verilənlərə görə üç formadan birini seç: təpə məlumdursa — y = a(x − m)² + n; sıfırlar məlumdursa — y = a(x − x₁)(x − x₂); yalnız üç nöqtə məlumdursa — y = ax² + bx + c və üç tənlikdən ibarət sistem.

y = a(x − x₁)(x − x₂)

burada:

x₁, x₂funksiyanın sıfırları — parabolanın Ox-u kəsdiyi nöqtələrin absisləri
adaha bir nöqtədən tapılır

Bu, kvadrat funksiyanın vuruqlara ayrılmış formasıdır («Kvadrat tənliklər» dərsindəki ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂) düsturu); D ≥ 0 olanda mövcuddur. Təpə köklərin ortasındadır: x₀ = (x₁ + x₂)/2.

Düsturu tapırıq

Parabolanın y = ax² + bx + c düsturunu tap:
1) təpəsi (2; −3) nöqtəsidir və o, (0; 5) nöqtəsindən keçir;
2) Ox-u x = −1 və x = 3 nöqtələrində kəsir və (0; −6) nöqtəsindən keçir;
3) (0; 1), (1; 2) və (−1; 6) nöqtələrindən keçir.

Həllini göstər

1) y = a(x − 2)² − 3; x = 0: 5 = 4a − 3 ⇒ a = 2.
y = 2(x − 2)² − 3 = 2x² − 8x + 5.
2) y = a(x + 1)(x − 3); x = 0: −6 = a · 1 · (−3) ⇒ a = 2.
y = 2(x + 1)(x − 3) = 2x² − 4x − 6.
3) x = 0 ⇒ c = 1. x = 1: a + b + 1 = 2; x = −1: a − b + 1 = 6.
a + b = 1 və a − b = 5 ⇒ a = 3, b = −2. y = 3x² − 2x + 1.
Yoxlama: y(−1) = 3 + 2 + 1 = 6 — düzdür.

Özünü yoxla

1.y = 2x² − 12x + 1 parabolasının təpəsinin absisi: x₀ =
2.y = x² + 4x + 1 funksiyasının ən kiçik qiyməti:
3.y = −x² + 6x − 5 funksiyasının ən böyük qiyməti:
4.y = 3x² − x − 7 parabolası Oy-u y = nöqtəsində kəsir.
5.y = (x − 1)(x − 9) parabolasının simmetriya oxu: x =

Əsas fikirlər

y = ax² + bx + c (a ≠ 0) qrafiki parabola: a > 0 — qollar yuxarı, a < 0 — aşağı; |a| böyüdükcə parabola daralır.
y = a(x − m)² + n — y = ax² parabolasının m vahid üfüqi, n vahid şaquli sürüşdürülməsidir; təpə (m; n).
Təpə: x₀ = −b/(2a), y₀ = f(x₀) = −D/(4a); simmetriya oxu x = x₀; köklər varsa, x₀ onların ortasıdır.
Oy ilə kəsişmə (0; c); Ox ilə — ax² + bx + c = 0 tənliyinin kökləri: D > 0 — iki nöqtə, D = 0 — toxunma, D < 0 — ortaq nöqtə yoxdur.
a > 0 olanda ən kiçik, a < 0 olanda ən böyük qiymət y₀-dır və təpədə alınır.
Düstur üç şərtlə tapılır: təpə formasından, sıfırlar formasından və ya üç nöqtədən.

Özünü yoxla

12 sual. Hər düzgün cavab XP qazandırır.

1 / 12

y = −3x² + x + 7 parabolasının qolları hara yönəlib?