Kvadrat bərabərsizliklər və intervallar üsulu

Bu dərsdə öyrənəcəksən

Kvadrat bərabərsizlikləri diskriminantın hər üç halında parabolanın eskizi ilə həll etmək
Hasil və qismət üçün intervallar üsulunu, o cümlədən cüt dərəcəli vuruqlarla tətbiq etmək
Kəsr-rasional bərabərsizlikləri məxrəcə vurmadan düzgün həll etmək
Xətti və kvadrat bərabərsizliklər sistemini həll etmək, kök və kəsr olan ifadələrin təyin oblastını tapmaq

Topu 20 m/s sürətlə şaquli yuxarı atırlar. t saniyədən sonra onun hündürlüyü təqribən h = 20t − 5t² metrdir. Top nə vaxt 15 m-dən yüksəkdə olur? 20t − 5t² > 15 bərabərsizliyini həll etməliyik. −5-ə bölürük (işarə çevrilir): t² − 4t + 3 < 0, yəni (t − 1)(t − 3) < 0. Top t = 1 ilə t = 3 saniyə arasında, yəni 2 saniyə ərzində 15 m-dən yüksəkdədir. Bu dərsdə belə bərabərsizlikləri bir neçə sətirdə həll etməyi öyrənəcəksən.

Əvvəlki dərslərdən üç şey lazım olacaq: xətti bərabərsizlikləri həll etmək və aralıqları yazmaq («Xətti bərabərsizliklər və onların sistemləri»), diskriminantla kökləri tapmaq və ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂) şəklində vuruqlara ayırmaq («Kvadrat tənliklər»), bir də parabolanın forması («Kvadrat funksiya və onun qrafiki»).

Kvadrat bərabərsizlik və parabola

Tərif

Kvadrat bərabərsizlik

a ≠ 0 olmaqla ax² + bx + c > 0 (və ya < 0, ≥ 0, ≤ 0) şəklində bərabərsizlik. Onu həll etmək ax² + bx + c kvadrat üçhədlisinin tələb olunan işarəni aldığı bütün x-ləri tapmaq deməkdir.

ax² + bx + c ifadəsinin qiyməti y = ax² + bx + c parabolasının x nöqtəsindəki hündürlüyüdür. Deməli, üçhədli parabolanın x oxundan yuxarıda olduğu yerdə müsbət, aşağıda olduğu yerdə mənfidir. Bunun üçün dəqiq qrafik lazım deyil, iki fakt kifayətdir: qolların istiqaməti (a-nın işarəsi) və parabolanın oxla görüşdüyü nöqtələr (D = b² − 4ac diskriminantı ilə tapılan köklər).

a > 0 olduqda	ax² + bx + c > 0	ax² + bx + c < 0
D > 0: iki kök x₁ < x₂, parabola oxu kəsir	x < x₁ və ya x > x₂	x₁ < x < x₂
D = 0: bir kök x₀, parabola oxa toxunur	x ≠ x₀ olan bütün x-lər	həlli yoxdur
D < 0: kök yoxdur, parabola bütövlükdə oxdan yuxarıdadır	istənilən x	həlli yoxdur

a < 0 olarsa, bərabərsizliyi −1-ə vur (işarəni çevir) və bu cədvəldən istifadə et. ≥ və ≤ olduqda kökləri də əlavə et: məsələn, D = 0 olduqda ax² + bx + c ≥ 0 bütün x-lər üçün, ax² + bx + c ≤ 0 isə yalnız x = x₀ üçün doğrudur.

a > 0, x₁ < x₂: a(x − x₁)(x − x₂) > 0 ⇔ x < x₁ və ya x > x₂; a(x − x₁)(x − x₂) < 0 ⇔ x₁ < x < x₂

burada:

x₁, x₂kvadrat üçhədlinin kökləri
aböyük əmsal (x²-nin əmsalı)

Niyə belədir: x > x₂ olduqda hər iki mötərizə müsbətdir; köklər arasında x − x₁ > 0, amma x − x₂ < 0; x < x₁ olduqda hər ikisi mənfidir və hasil yenə müsbətdir. Yadda saxla: a > 0 olduqda «köklər arasında mənfi, kənarda müsbət».

1
a > 0 et
Hər şeyi sol tərəfə keçir ki, sağda 0 qalsın. a < 0 olarsa, −1-ə vur və işarəni çevir.
2
Kökləri tap
ax² + bx + c = 0 tənliyini həll et (diskriminant, Viyet teoremi və ya vuruqlara ayırma ilə).
3
Eskiz çək
x oxunu çək, kökləri qeyd et və onlardan keçən, qolları yuxarı yönəlmiş parabola çək. Koordinatlar və təpə lazım deyil.
4
Cavabı oxu
> 0 üçün oxdan yuxarıdakı hissələri, < 0 üçün aşağıdakı hissəni götür. ≥ və ≤ olduqda kökləri də daxil et (dolu nöqtələr).

İki kök: D > 0

Həll et: 1) x² − 2x − 3 > 0; 2) −x² + 5x − 6 ≥ 0; 3) 2x² − x − 1 ≤ 0; 4) x² > 5x.

Həllini göstər

1) D = 4 + 12 = 16, x = (2 ± 4)/2, yəni x₁ = −1, x₂ = 3. a = 1 > 0 və «> 0» lazımdır — köklərdən kənar: (−∞; −1) ∪ (3; +∞).
2) −1-ə vururuq və işarəni çeviririk: x² − 5x + 6 ≤ 0. Köklər 2 və 3-dür (2 + 3 = 5, 2 · 3 = 6). Köklər arası, köklərlə birlikdə: [2; 3].
3) D = 1 + 8 = 9, x = (1 ± 3)/4, yəni x₁ = −1/2, x₂ = 1. Köklər arası, köklərlə birlikdə: [−1/2; 1].
4) x-ə bölmək olmaz! x² − 5x > 0 ⇒ x(x − 5) > 0, köklər 0 və 5, kənar hissələr: (−∞; 0) ∪ (5; +∞).

Bir kök və ya kök yoxdur: D = 0, D < 0

Həll et: 1) x² − 6x + 9 > 0; 2) x² − 6x + 9 ≤ 0; 3) x² + 2x + 5 > 0; 4) x² + 2x + 5 < 0; 5) −x² + 4x − 4 ≥ 0.

Həllini göstər

1) x² − 6x + 9 = (x − 3)², D = 0. Kvadrat x = 3-dən başqa hər yerdə müsbətdir: (−∞; 3) ∪ (3; +∞).
2) (x − 3)² ≤ 0 yalnız (x − 3)² = 0 olduqda mümkündür: x = 3.
3) D = 4 − 20 = −16 < 0 və a = 1 > 0: parabola bütövlükdə oxdan yuxarıdadır, bərabərsizlik istənilən x üçün doğrudur.
4) Eyni üçhədli, amma «< 0»: həlli yoxdur.
5) −1-ə vururuq: x² − 4x + 4 ≤ 0, yəni (x − 2)² ≤ 0: x = 2.

İnteraktiv

Simulyasiya yüklənir…

Başlanğıcda y = x² − 2x − 3 = (x + 1)(x − 3): qrafik x < −1 və x > 3 olduqda oxdan yuxarıdadır — bu, x² − 2x − 3 > 0 bərabərsizliyinin həllidir. c = 1 et: y = (x − 1)², parabola oxa toxunur (D = 0). c-ni daha da artır: parabola oxdan ayrılır (D < 0) və üçhədli hər yerdə müsbət olur. a-nı mənfi et və bax, işarələr necə tərsinə dönür.

İntervallar üsulu

Parabolanın eskizi kvadrat üçhədli üçün rahatdır. (x + 3)(x − 1)(x − 4) kimi bir neçə vuruğun hasili üçün isə intervallar üsulundan istifadə edirik. x − a vuruğu a-dan solda mənfi, sağda müsbətdir. Deməli, bütün hasilin işarəsi yalnız vuruqların sıfırlarında dəyişə bilər, qonşu sıfırlar arasında isə sabit qalır. Hər intervalda işarəni bir dəfə tapmaq kifayətdir.

f(x) = (x − x₁)(x − x₂)…(x − xₙ), x₁ < x₂ < … < xₙ: (xₙ; +∞) aralığında f(x) > 0, hər sıfırdan keçəndə işarə dəyişir

burada:

x₁, …, xₙvuruqların müxtəlif sıfırları, artan sıra ilə
f(x)xətti vuruqların hasili

Ən böyük sıfırdan sağda bütün mötərizələr müsbətdir, ona görə hasil də müsbətdir; bir sıfırdan keçəndə yalnız bir mötərizənin işarəsi dəyişir. Bu, bütün vuruqlar (x − a) şəklində olanda — x-in əmsalı müsbət olanda — doğrudur.

1
Sağda 0, solda vuruqlar
Hər şeyi bir tərəfə keçir və vuruqlara ayır. Hər vuruğu (x − a) şəklində yaz: (a − x)-i −(x − a) ilə əvəz et və işarəni çevir.
2
Sıfırları tap
Surətin və məxrəcin sıfırlarını tap. Məxrəcin sıfırları heç vaxt cavaba daxil deyil.
3
Ədəd oxunda qeyd et
Sıfırları artan sıra ilə qeyd et: ≤ və ≥ olduqda surətin sıfırları dolu, qalanları boş nöqtədir.
4
İşarələri qoy
Ən sağdakı intervala «+» yaz, sonra sağdan sola işarələri növbələşdir; cüt dərəcəli vuruğun sıfırında işarəni saxla.
5
Cavabı yaz
Lazım olan işarəli intervalları ∪ ilə birləşdir.

Hasillər

Həll et: 1) (x + 3)(x − 1)(x − 4) < 0; 2) x³ − 4x ≥ 0; 3) (2 − x)(x + 5) > 0.

Həllini göstər

1) Sıfırlar: −3, 1, 4. Sağdan sola işarələr: (4; +∞) «+», (1; 4) «−», (−3; 1) «+», (−∞; −3) «−». «−» lazımdır: (−∞; −3) ∪ (1; 4).
2) x³ − 4x = x(x² − 4) = x(x − 2)(x + 2). Sıfırlar −2, 0, 2; sağdan işarələr: +, −, +, −. «+» və sıfırlar lazımdır: [−2; 0] ∪ [2; +∞).
3) 2 − x = −(x − 2), ona görə −(x − 2)(x + 5) > 0 ⇒ (x − 2)(x + 5) < 0 (−1-ə vurduq, işarə çevrildi). Sıfırlar −5 və 2, «−» lazımdır: (−5; 2). Yoxlama: x = 0 üçün (2 − 0)(0 + 5) = 10 > 0 — doğrudur.

Təkrarlanan vuruqlar: cüt və tək dərəcələr

(x − 3)²(x + 1) ifadəsində (x − 3) vuruğu iki dəfə təkrarlanır. Kvadrat heç vaxt mənfi olmur, ona görə (x − 3)² vuruğu x = 3 nöqtəsində işarəsini dəyişmir — orada sadəcə sıfır olur. Qayda: cüt dərəcəli (2, 4, …) vuruğun sıfırından keçəndə işarə eyni qalır, tək dərəcəli (1, 3, …) vuruğun sıfırından keçəndə dəyişir.

(x − a)ⁿ: n cüt ⇒ a nöqtəsində işarə dəyişmir; n tək ⇒ a nöqtəsində işarə dəyişir

burada:

nvuruğun dərəcəsi (neçə dəfə təkrarlandığı)
avuruğun sıfırı

Bu qayda məxrəcin sıfırlarına da aiddir: məxrəcdəki (x − 2)² vuruğu 2 nöqtəsində işarəni dəyişmir, amma 2 yenə də cavaba daxil deyil.

Cüt dərəcəli vuruqlar

Həll et: 1) (x − 3)²(x + 1) > 0; 2) (x − 3)²(x + 1) ≥ 0; 3) (x − 3)²(x + 1) < 0; 4) (x + 2)³(x − 5)⁴ ≤ 0.

Həllini göstər

İlk üçünün sıfırları: −1 (tək dərəcə) və 3 (cüt dərəcə). Sağdan işarələr: (3; +∞) «+»; 3-də işarə qalır, (−1; 3) «+»; −1-də dəyişir, (−∞; −1) «−».
1) Sıfırlarsız «+»: (−1; 3) ∪ (3; +∞) — 3 nöqtəsi çıxarılır, çünki orada hasil 0-a bərabərdir.
2) «+» və sıfırlar: [−1; 3] ∪ [3; +∞) = [−1; +∞).
3) «−»: (−∞; −1).
4) Sıfırlar −2 (dərəcə 3, tək) və 5 (dərəcə 4, cüt). İşarələr: (5; +∞) «+», (−2; 5) «+», (−∞; −2) «−». «−» və ya 0 lazımdır: (−∞; −2] ∪ {5} — ayrıca 5 nöqtəsini itirmək çox asandır!

Kəsr-rasional bərabərsizliklər

f/g qisməti f · g hasili ilə eyni işarəlidir, çünki bölmə və vurma eyni işarə qaydalarına tabedir. Ona görə kəsr bərabərsizlik də intervallar üsulu ilə həll olunur — bir əlavə şərtlə: məxrəc sıfır ola bilməz. Heç vaxt etməməli olduğun şey hər iki tərəfi x olan məxrəcə vurmaqdır: onun müsbət, yoxsa mənfi olduğunu bilmirsən, deməli, işarəni çevirib-çevirməmək lazım olduğunu da bilmirsən.

f(x)/g(x) > 0 ⇔ f(x) · g(x) > 0; f(x)/g(x) ≥ 0 ⇔ f(x) · g(x) ≥ 0 və g(x) ≠ 0f(x)/g(x) > 0 ⇔ f(x) · g(x) > 0; f(x)/g(x) ≥ 0 ⇔ f(x) · g(x) ≥ 0 və g(x) ≠ 0

burada:

f(x)surət
g(x)məxrəc, g(x) ≠ 0

Əvvəlcə bərabərsizliyi «kəsr ∨ 0» şəklinə gətir: hər şeyi sola keçir və bir kəsrdə birləşdir. Sonra surətin və məxrəcin sıfırları ilə intervallar üsulunu tətbiq et.

Kəsr bərabərsizliklər

Həll et: 1) (x + 2)(x − 1)/(x − 4) ≤ 0; 2) 1/x < 2; 3) (x + 3)/(x − 2) ≥ 1; 4) (x − 1)²/(x + 3) ≤ 0.

Həllini göstər

1) Sıfırlar: −2 və 1 (surət, ≤ olduğu üçün daxildir), 4 (məxrəc, həmişə çıxarılır). Sağdan işarələr: +, −, +, −. Yoxlama: x = 0 üçün (2 · (−1))/(−4) = 1/2 > 0, (−2; 1) doğrudan da «+»-dır. Cavab: (−∞; −2] ∪ [1; 4).
2) 1/x − 2 < 0 ⇒ (1 − 2x)/x < 0. −1-ə vururuq: (2x − 1)/x > 0. Sıfırlar 0 və 1/2, «+» lazımdır: (−∞; 0) ∪ (1/2; +∞).
3) (x + 3)/(x − 2) − 1 ≥ 0 ⇒ (x + 3 − x + 2)/(x − 2) ≥ 0 ⇒ 5/(x − 2) ≥ 0. Surət 5 müsbətdir, deməli, x − 2 > 0: (2; +∞).
4) Surət (x − 1)² mənfi olmur, məxrəc −3-də sıfırdır. İşarələr: (1; +∞) «+», (−3; 1) «+» (1-də cüt dərəcə), (−∞; −3) «−». «−» və ya 0 lazımdır: (−∞; −3) ∪ {1}.

Sistemlər və təyin oblastı

Xətti və kvadrat bərabərsizliklərdən ibarət sistemdə hər bərabərsizliyi ayrıca həll et, bütün cavabları bir ədəd oxunun üstündə göstər və hamısının üst-üstə düşdüyü hissəni götür — xətti sistemlərdə olduğu kimi.

Qarışıq sistemlər

Həll et: 1) {x² − 5x + 4 ≤ 0; 2x − 5 > 0}; 2) {x² − x − 6 < 0; x² ≥ 1} və tam həllərin sayını tap.

Həllini göstər

1) x² − 5x + 4 ≤ 0: köklər 1 və 4, köklər arası: [1; 4]. 2x − 5 > 0: x > 5/2. Kəsişmə: (5/2; 4] (tam həllər 3 və 4).
2) x² − x − 6 = (x − 3)(x + 2) < 0: (−2; 3). x² ≥ 1: x ≤ −1 və ya x ≥ 1. Ortaq hissə: (−2; −1] ∪ [1; 3). Tam həllər: −1, 1, 2 — cəmi 3.

Tərif

Təyin oblastı

İfadənin təyin oblastı x-in ifadənin mənalı olduğu (hesablana bildiyi) bütün qiymətləri çoxluğudur. Kök və kəsr olan ifadələrdə təyin oblastı bərabərsizliklər həll etməklə tapılır.

√A ⇒ A ≥ 0; B-yə bölmə ⇒ B ≠ 0; A/√C ⇒ C > 0√A ⇒ A ≥ 0; B-yə bölmə ⇒ B ≠ 0; A/√C ⇒ C > 0

burada:

Akvadrat kökün altındakı ifadə
Bməxrəc
Cməxrəcdə kökün altındakı ifadə: həm ≥ 0, həm ≠ 0, yəni > 0

Hər kök və hər məxrəc üçün bir şərt yaz və onları sistem kimi birlikdə həll et.

Təyin oblastını tapmaq

Təyin oblastını tap: 1) y = √(6 − 2x); 2) y = √(x² − 4x − 5); 3) y = 1/√(12 + x − x²); 4) y = √(x + 3)/(x² − 4); 5) y = √((x − 2)/(x + 4)).

Həllini göstər

1) 6 − 2x ≥ 0 ⇒ x ≤ 3: (−∞; 3].
2) x² − 4x − 5 = (x − 5)(x + 1) ≥ 0 ⇒ (−∞; −1] ∪ [5; +∞).
3) 12 + x − x² > 0 ⇒ x² − x − 12 < 0 ⇒ (x − 4)(x + 3) < 0 ⇒ (−3; 4).
4) x + 3 ≥ 0 və x² − 4 ≠ 0: x ≥ −3, x ≠ −2, x ≠ 2 ⇒ [−3; −2) ∪ (−2; 2) ∪ (2; +∞).
5) (x − 2)/(x + 4) ≥ 0: sıfırlar −4 (məxrəc) və 2 (surət); «+» kənar hissələrdədir: (−∞; −4) ∪ [2; +∞).

Özünü yoxla: boşluğu doldur

1.x² − 16 < 0 ⇒ < x < 4
2.(x − 1)(x − 7) ≤ 0 ⇒ 1 ≤ x ≤
3.x² − 10x + 25 ≤ 0 ⇒ x =
4.(x + 3)/(x − 6) < 0 ⇒ −3 < x <
5.y = √(8 − 2x) funksiyasının təyin oblastı: x ≤
6.x² − 4x − 5 < 0 bərabərsizliyinin tam həllərinin sayı:

Əsas fikirlər

a > 0 olduqda ax² + bx + c köklər arasında mənfi, köklərdən kənarda müsbətdir; a < 0 olarsa, əvvəlcə −1-ə vur və işarəni çevir.
D = 0: (x − x₀)² > 0 bütün x ≠ x₀ üçün, ≤ 0 isə yalnız x₀-da; D < 0 və a > 0: üçhədli hər x üçün müsbətdir.
İntervallar üsulu: sıfırlar artan sıra ilə, ən sağda «+», sonra növbələşmə; cüt dərəcəli vuruğun sıfırında işarə qalır.
x olan məxrəcə heç vaxt vurma: bərabərsizliyi «kəsr ∨ 0» şəklinə gətir; məxrəcin sıfırları həmişə çıxarılır.
Təyin oblastı: kökaltı ifadə ≥ 0, məxrəc ≠ 0, məxrəcdəki kökün altı > 0 — şərtlər sistem kimi birlikdə həll olunur.

Özünü yoxla

12 sual. Hər düzgün cavab XP qazandırır.

1 / 12

a > 0 və D > 0 olduqda ax² + bx + c üçhədlisi harada mənfidir?