Məzmuna keç
Educora
AZ
AzərbaycancaEnglishРусскийTürkçe
Mənim səhifəmEducora StudioParametrlər
İrəli9–11-ci sinif25 dəq41 / 82

Parametrli məsələlər: kvadrat üçhədlinin araşdırılması

Parametrin mənası və a = 0 xüsusi halı, köklərin sayı, bütün x-lər üçün işarəsini saxlayan kvadrat üçhədli, Viyet teoremi ilə köklərin işarələri, qarşılıqlı tərs köklər, x₁² + x₂²-nin ən kiçik qiyməti, hər iki kökün verilmiş ədəddən böyük olması, parabolanın təpəsinin yeri və parametrli xətti tənliklər sistemi — cavablar aralıq şəklində, DİM-in qapalı və kodlaşdırılan tapşırıqları ilə.

Özünü yoxla
Bu dərsdə öyrənəcəksən
  • Parametrli kvadrat tənlikdə a = 0 halını ayırmaq və köklərin sayını diskriminantla araşdırmaq
  • Kvadrat üçhədlinin bütün x-lər üçün işarəsini saxlaması şərtini (a və D) tətbiq etmək
  • Köklər haqqında şərtləri (işarələr, tərs köklər, x₁² + x₂², k-dan böyük köklər) Viyet teoremi və D ilə bərabərsizliklərə çevirmək
  • Təpənin yerinə və parametrli xətti sistemin həllərinin sayına aid tapşırıqları həll etmək

«a-nın hansı qiymətlərində…» — DİM-in qəbul imtahanında belə başlayan tapşırıqlar hər il var: 2026-cı ildə I və II qrupların 60 tapşırığından 6-sı parametrli idi (bütün x-lər üçün mənfi olan kvadrat üçhədli, qarşılıqlı tərs köklər, IV rübdə yerləşən təpə, verilmiş həlli olan sistem). Parametr — qiyməti məlum olmayan, amma sabit ədəddir; tapşırıq onun bütün mümkün qiymətlərini araşdırmağı tələb edir. Bu dərs «Kvadrat tənliklər», «Kvadrat funksiya və onun qrafiki» və «Kvadrat bərabərsizliklər və intervallar üsulu» dərslərinə əsaslanır.

a = 0 halı və köklərin sayı

  1. 1
    1. Baş əmsal

    x²-nin əmsalı parametrdən asılıdırsa, onun 0 olduğu halı ayrıca yoxla: tənlik xətti olur.

  2. 2
    2. Diskriminant

    a ≠ 0 olduqda D-ni parametr ilə yaz.

  3. 3
    3. Şərti tərcümə et

    Sözlə verilən şərti D, x₁ + x₂, x₁x₂, təpə və ya f(k) üçün bərabərsizliklərə çevir.

  4. 4
    4. Sistem

    Parametrə görə sistemi həll et və a = 0 halının cavabını əlavə et.

  5. 5
    5. Cavab

    Cavabı aralıq və ya çoxluq kimi yaz, sərhəd qiymətləri ayrıca yoxla.

a ≠ 0: D = b² − 4ac; D > 0 — iki müxtəlif kök; D = 0 — bir kök; D < 0 — həqiqi kök yoxdur
burada:
  • a, b, cax² + bx + c = 0 tənliyinin əmsalları (parametrdən asılı ola bilər)

a = 0 olduqda tənlik bx + c = 0 olur: b ≠ 0 olduqda bir kök, b = 0 olduqda ya kök yoxdur, ya da istənilən x kökdür.

Köklərin sayı

1) m-in hansı qiymətlərində (m − 2)x² + 4x + 1 = 0 tənliyinin yeganə kökü var?
2) k-nın hansı qiymətlərində x² − 6x + k = 0 tənliyinin iki müxtəlif kökü var?
3) k-nın hansı qiymətlərində kx² + 2x + 1 = 0 tənliyinin kökü yoxdur?

Həllini göstər
1) m = 2: 4x + 1 = 0 ⇒ x = −1/4 — bir kök, uyğundur.
m ≠ 2: D = 16 − 4(m − 2) = 24 − 4m = 0 ⇒ m = 6 (tənlik 4x² + 4x + 1 = (2x + 1)² = 0).
Cavab: m ∈ {2; 6}. a = 0 halını unutsaq, 2 itər.
2) D = 36 − 4k > 0 ⇒ k < 9. Cavab: (−∞; 9).
3) k = 0: 2x + 1 = 0 — kök var, uyğun deyil.
k ≠ 0: D = 4 − 4k < 0 ⇒ k > 1. Cavab: (1; +∞).

Bütün x-lər üçün işarəsini saxlayan üçhədli

ax² + bx + c > 0 (bütün x) ⇔ a > 0 və D < 0; ax² + bx + c < 0 (bütün x) ⇔ a < 0 və D < 0
burada:
  • aqolların istiqaməti: a > 0 — yuxarı, a < 0 — aşağı
  • D < 0parabola Ox oxunu kəsmir

Qeyri-ciddi bərabərsizlikdə (≥ 0, ≤ 0) D ≤ 0 götürülür. a parametrdən asılıdırsa, a = 0 halını ayrıca yoxla: bx + c bütün x-lər üçün işarəsini yalnız b = 0 olduqda saxlayır.

İnteraktiv
Simulyasiya yüklənir…
y = −x² + 4x + m parabolası. m sürgüsünü hərəkət etdir: m < −4 olduqda bütün parabola Ox-dan aşağıdadır, m = −4 olduqda Ox-a toxunur.
İşarəni saxlayan üçhədlilər

1) m-in hansı qiymətlərində −x² + 4x + m < 0 bərabərsizliyi bütün x-lər üçün doğrudur?
2) a-nın hansı qiymətlərində (a − 1)x² − 2(a − 1)x + 3 > 0 bərabərsizliyi bütün x-lər üçün doğrudur?
3) k-nın hansı qiymətlərində y = √(x² + 2x + k) funksiyasının təyin oblastı bütün ədəd oxudur?

Həllini göstər
1) a = −1 < 0 ✓. D = 16 + 4m < 0 ⇒ m < −4. Cavab: (−∞; −4).
2) a = 1: 3 > 0 — bütün x üçün doğrudur, a = 1 uyğundur.
a ≠ 1: a − 1 > 0 və D/4 = (a − 1)² − 3(a − 1) = (a − 1)(a − 4) < 0 ⇒ 1 < a < 4.
Cavab: [1; 4) — 1 daxildir, 4 isə yox (a = 4 olduqda D = 0 və x = 1 nöqtəsində ifadə 0-dır).
3) x² + 2x + k ≥ 0 bütün x üçün: a = 1 > 0, D = 4 − 4k ≤ 0 ⇒ k ≥ 1. Cavab: [1; +∞).
DİM üslubunda: qapalı tapşırıq

k-nın hansı qiymətlərində kx² − 4x + k − 3 < 0 bərabərsizliyi bütün x-lər üçün doğrudur?
A) (−∞; −1) B) (−1; 4) C) (4; +∞) D) (−∞; 0) E) (−∞; −1) ∪ (4; +∞)

Həllini göstər
k = 0: −4x − 3 < 0 yalnız x > −3/4 üçün doğrudur — uyğun deyil.
k ≠ 0: { k < 0; D/4 = 4 − k(k − 3) < 0 } ⇒ { k < 0; k² − 3k − 4 > 0 } ⇒ { k < 0; k < −1 və ya k > 4 } ⇒ k < −1.
Cavab: A.
E variantı D < 0 şərtinin cavabıdır, amma k < 0 şərtini nəzərə almır: k > 4 olduqda qollar yuxarıdır və ifadə müsbətdir.

Köklər haqqında şərtlər: Viyet teoremi

x₁ + x₂ = −b/a; x₁ · x₂ = c/a; x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂x₁ + x₂ = −b/a; x₁ · x₂ = c/a; x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂
burada:
  • x₁, x₂ax² + bx + c = 0 tənliyinin kökləri

Viyet düsturları yalnız köklər varsa işləyir: hər dəfə D ≥ 0 (müxtəlif köklər üçün D > 0) şərtini də yaz.

ŞərtParametr üçün sistem
Köklər müxtəlif işarəlidirc/a < 0 (onda D > 0 avtomatik)
Hər iki kök müsbətdirD ≥ 0, x₁ + x₂ > 0, x₁x₂ > 0
Hər iki kök mənfidirD ≥ 0, x₁ + x₂ < 0, x₁x₂ > 0
Köklər qarşılıqlı tərsdir (x₁x₂ = 1)c/a = 1 və D ≥ 0
Köklər əks ədədlərdir (x₁ = −x₂)b = 0 və c/a < 0
Hər iki kök k-dan böyükdürD ≥ 0, a · f(k) > 0, x₀ = −b/(2a) > k
f(x) = ax² + bx + c. Son sətir: k nöqtəsi köklərin solundadır — orada f-in işarəsi a-nın işarəsi ilə eynidir, təpə isə k-dan sağdadır.

Son sətirdəki üç şərtin hər biri lazımdır. D ≥ 0 köklərin varlığını təmin edir. a · f(k) > 0 deyir ki, k nöqtəsi köklərin arasında deyil: köklər arasında f-in işarəsi a-nın işarəsinin əksidir. Amma k köklərin həm solunda, həm də sağında ola bilər — bunu x₀ > k ayırır. Məsələn, x² − 2mx + m² − 1 = 0 tənliyində m = 0 olduqda D > 0 və f(2) = 3 > 0, amma köklər −1 və 1-dir, ikisi də 2-dən kiçikdir: x₀ > 2 şərti pozulur (x₀ = 0).

Viyet teoremi ilə şərtlər

1) k-nın hansı qiymətlərində x² − 2x + k − 5 = 0 tənliyinin kökləri müxtəlif işarəlidir?
2) a-nın hansı qiymətində x² + (a − 1)x + a² − 3 = 0 tənliyinin kökləri qarşılıqlı tərs ədədlərdir?
3) a-nın hansı qiymətində x² + (a − 2)x − a = 0 tənliyinin köklərinin kvadratları cəmi ən kiçikdir? Bu ən kiçik qiymət nədir?
4) m-in hansı qiymətlərində x² − 2mx + m² − 1 = 0 tənliyinin hər iki kökü 2-dən böyükdür?

Həllini göstər
1) x₁x₂ = k − 5 < 0 ⇒ k < 5. Cavab: (−∞; 5).
2) x₁x₂ = a² − 3 = 1 ⇒ a = ±2.
a = 2: x² + x + 1 = 0, D = 1 − 4 = −3 < 0 — kök yoxdur, a = 2 atılır.
a = −2: x² − 3x + 1 = 0, D = 9 − 4 = 5 > 0 ✓.
Cavab: −2.
3) x₁ + x₂ = 2 − a, x₁x₂ = −a; D = (a − 2)² + 4a = a² + 4 > 0 — köklər həmişə var.
x₁² + x₂² = (2 − a)² + 2a = a² − 2a + 4 = (a − 1)² + 3. Ən kiçik qiymət 3, a = 1 olduqda.
4) D/4 = m² − (m² − 1) = 1 > 0 ✓; f(2) = 4 − 4m + m² − 1 = m² − 4m + 3 > 0 ⇒ m < 1 və ya m > 3; x₀ = m > 2.
Sistem: m > 3. Yoxlama: köklər m − 1 və m + 1-dir, m − 1 > 2 ⇔ m > 3. Cavab: (3; +∞).
DİM üslubunda: kodlaşdırılan tapşırıq

m-in hansı qiymətində (m − 1)x² + 10x + 3m − 7 = 0 tənliyinin kökləri qarşılıqlı tərs ədədlərdir?

Həllini göstər
m ≠ 1 (yoxsa tənlik xətti olar). x₁x₂ = (3m − 7)/(m − 1) = 1 ⇒ 3m − 7 = m − 1 ⇒ m = 3.
Yoxlama: m = 3 ⇒ 2x² + 10x + 2 = 0, D = 100 − 16 = 84 > 0 — köklər var və hasilləri 2/2 = 1.
Cavab: 3.
İki üsul: Viyet və qrafik

a-nın hansı qiymətlərində x² − 6x + 5 = a tənliyinin iki müxtəlif müsbət kökü var?

Həllini göstər
Viyet ilə: x² − 6x + 5 − a = 0. D = 36 − 4(5 − a) = 16 + 4a > 0 ⇒ a > −4; x₁x₂ = 5 − a > 0 ⇒ a < 5; x₁ + x₂ = 6 > 0 ✓. Cavab: (−4; 5).
Qrafiklə: y = x² − 6x + 5 parabolasının təpəsi (3; −4), Oy-u (0; 5) nöqtəsində kəsir. y = a düz xətti x > 0 olan hissəni iki nöqtədə yalnız −4 < a < 5 olduqda kəsir. a = 5 olduqda köklər 0 və 6-dır — 0 müsbət deyil; a = −4 olduqda kök birdir. Hər iki üsul eyni cavabı verir.
Yazılı tapşırıq: tam araşdırma

a-nın hansı qiymətlərində ax² − (a + 1)x + 1 = 0 tənliyinin iki müxtəlif müsbət kökü var? Həllin bütün mərhələlərini yazın.

Həllini göstər
Həll. 1) a = 0: −x + 1 = 0 ⇒ x = 1 — kök birdir, a = 0 uyğun deyil.
2) a ≠ 0: D = (a + 1)² − 4a = (a − 1)². İki müxtəlif kök üçün D > 0 ⇒ a ≠ 1.
3) Köklər: x = ((a + 1) ± |a − 1|)/(2a), yəni x₁ = 1 və x₂ = 1/a (yoxlama: ax² − (a + 1)x + 1 = (ax − 1)(x − 1)).
4) x₁ = 1 > 0; x₂ = 1/a > 0 ⇒ a > 0.
5) Şərtləri birləşdiririk: a > 0 və a ≠ 1.
Cavab: (0; 1) ∪ (1; +∞).
Meyarlar: a = 0 halı araşdırılıb — ⅓; köklər (və ya D və Viyet şərtləri) düzgün tapılıb — ⅔; a ≠ 1 nəzərə alınıb, cavab düzgün yazılıb — 1.

Parabolanın təpəsi və parametr

x₀ = −b/(2a); y₀ = f(x₀) = −D/(4a)x₀ = −b/(2a); y₀ = f(x₀) = −D/(4a)
burada:
  • (x₀; y₀)y = ax² + bx + c parabolasının təpəsi

Təpə rübdədir: I — x₀ > 0, y₀ > 0; II — x₀ < 0, y₀ > 0; III — x₀ < 0, y₀ < 0; IV — x₀ > 0, y₀ < 0. Təpə Ox üzərindədir ⇔ D = 0; Oy üzərindədir ⇔ b = 0.

İnteraktiv
Simulyasiya yüklənir…
y = x² − 2mx + 2m + 3 parabolasının təpəsi (m; −m² + 2m + 3) nöqtəsidir. m sürgüsü ilə yoxla: təpə yalnız m > 3 olduqda IV rübdədir.
Təpənin yeri

1) m-in hansı qiymətlərində y = x² − 2mx + 2m + 3 parabolasının təpəsi IV rübdədir?
2) c-nin hansı qiymətində y = x² + 4x + c parabolası Ox oxuna toxunur?
3) m-in hansı qiymətində y = x² + 2(m − 3)x + 5 parabolasının təpəsi Oy oxu üzərindədir?

Həllini göstər
1) x₀ = m, y₀ = m² − 2m² + 2m + 3 = −m² + 2m + 3.
{ m > 0; −m² + 2m + 3 < 0 } ⇒ { m > 0; m² − 2m − 3 > 0 } ⇒ { m > 0; m < −1 və ya m > 3 } ⇒ m > 3.
Cavab: (3; +∞).
2) Toxunma — təpə Ox üzərindədir: D = 16 − 4c = 0 ⇒ c = 4 (y = (x + 2)²).
3) x₀ = −(m − 3) = 0 ⇒ m = 3.

Parametrli xətti tənliklər sistemi

a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ — yeganə həll; a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ — həll yoxdur; a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ — sonsuz sayda həlla₁/a₂ ≠ b₁/b₂ — yeganə həll; a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ — həll yoxdur; a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ — sonsuz sayda həll
burada:
  • a₁x + b₁y = c₁, a₂x + b₂y = c₂sistemin tənlikləri

Həndəsi mənası: düz xətlər kəsişir, paraleldir və ya üst-üstə düşür. Məxrəcdə 0 olanda nisbətlərin əvəzinə a₁b₂ − a₂b₁ = 0 şərtini yoxla. Ətraflı: «Xətti tənliklər sistemi».

Sistemlər parametrlə

1) m-in hansı qiymətlərində { mx + 4y = 8; x + my = 4 } sisteminin yeganə həlli var, həlli yoxdur, sonsuz sayda həlli var?
2) a və b-nin hansı qiymətlərində (2; −3) cütü { ax + 2y = 4; 3x − by = 15 } sisteminin həllidir?
3) k-nın hansı qiymətində { 2x + ky = 5; x + 3y = 2 } sisteminin həlli yoxdur?

Həllini göstər
1) m/1 = 4/m ⇔ m² = 4 ⇔ m = ±2.
m ≠ ±2 — yeganə həll.
m = 2: 2/1 = 4/2 = 8/4 = 2 — sonsuz sayda həll (tənliklər eynidir).
m = −2: −2/1 = 4/(−2) = −2, amma 8/4 = 2 ≠ −2 — həll yoxdur.
2) x = 2, y = −3 yerinə qoyaq: 2a − 6 = 4 ⇒ a = 5; 6 + 3b = 15 ⇒ b = 3.
3) 2/1 = k/3 ⇒ k = 6; 5/2 ≠ 2 ✓ — k = 6 olduqda düz xətlər paraleldir, həll yoxdur.
Kodlaşdırılan tapşırıqlar: cavabı ədədlə yaz
  1. 1.x² − 6x + k = 0 tənliyinin yeganə kökü olduqda k =
  2. 2.x² − 6x + k = 0 tənliyinin iki müxtəlif kökü olan ən böyük tam k:
  3. 3.x² + px + 12 = 0 tənliyinin bir kökü 3-dür ⇒ p =
  4. 4.x² − 4x + m = 0 tənliyində x₁² + x₂² = 10 ⇒ m =
  5. 5.y = x² − 2mx + m² + 3 parabolasının təpəsinin ordinatı:
  6. 6.{ 3x + ay = 6; x + 2y = 2 } sisteminin sonsuz sayda həlli var ⇒ a =

Əsas fikirlər

  • Baş əmsal parametrdən asılıdırsa, əvvəlcə a = 0 halını ayrıca araşdır.
  • Bütün x üçün ax² + bx + c > 0 ⇔ a > 0, D < 0; < 0 ⇔ a < 0, D < 0.
  • Köklər haqqında şərtlər Viyet düsturları ilə yazılır, amma həmişə D ≥ 0 (və ya D > 0) şərti ilə birlikdə.
  • Təpə (−b/(2a); −D/(4a)) nöqtəsidir: rüb onun koordinatlarının işarələri ilə müəyyən olunur.
  • Xətti sistem: nisbətlər a₁/a₂, b₁/b₂, c₁/c₂ — bir həll, həll yoxdur, sonsuz sayda həll.

Özünü yoxla

12 sual. Hər düzgün cavab XP qazandırır.

1 / 12
ax² + bx + c > 0 bərabərsizliyi bütün x-lər üçün nə vaxt doğrudur (a ≠ 0)?