Ardıcıllığın və funksiyanın limiti

Bu dərsdə öyrənəcəksən

Ardıcıllığın limitini tapmaq: n-in ən yüksək qüvvətinə bölmək, qoşma ifadəyə vurmaq və (1 + k/n)ⁿ → eᵏ nəticəsindən istifadə etmək
Funksiyanın nöqtədə, birtərəfli və sonsuzluqda limitini hesablamaq, rasional funksiyanın x → ∞ olduqda limitini dərəcələri müqayisə edərək (parametrlə də) tapmaq
0/0 qeyri-müəyyənliyini vuruqlara ayırma, qoşma ifadə və görkəmli limitlər vasitəsilə açmaq, o cümlədən x → π/4 tipli triqonometrik limitləri hesablamaq
Funksiyanın nöqtədə kəsilməzliyini yoxlamaq və kəsilməzlik şərtindən parametri tapmaq

Murad qapıdan 1 metr aralıda dayanıb və hər addımda qalan məsafənin yarısını gedir. Birinci addımdan sonra o, 1/2 m, ikincidən sonra 3/4 m, üçüncüdən sonra 7/8 m, n addımdan sonra isə 1 − 1/2ⁿ metr yol getmiş olur. Bu ədədlər — 0,5; 0,75; 0,875; 0,9375; … — heç vaxt 1-ə bərabər olmur, amma 1-ə istədiyimiz qədər yaxınlaşır. Riyaziyyatda bunu qısa deyirlər: bu ardıcıllığın limiti 1-dir. Limit riyazi analizin təməlidir: növbəti dərslərdə törəməni də, inteqralı da məhz limit vasitəsilə quracağıq. DİM-in qəbul imtahanının II mərhələsində bu mövzu «Funksiyanın limiti» adı ilə gəlir; 2026-cı ildə həm I, həm də II qrupun imtahanında limitə aid kodlaşdırılan tapşırıq var idi — cavabı bir ədəd olan tapşırıq.

Ədədi ardıcıllığın limiti

«Ədədi ardıcıllıqlar və ədədi silsilə» dərsindən bilirik ki, ardıcıllıq nömrələnmiş ədədlər sırasıdır: a₁, a₂, a₃, …, aₙ, … İndi bizi ayrı-ayrı hədlər yox, n böyüdükcə hədlərin hara getdiyi maraqlandırır. Məsələn, aₙ = 1/n ardıcıllığının hədləri 1; 0,5; 0,33…; 0,25; …; 0,01 (n = 100); 0,001 (n = 1000) olur və sıfıra yaxınlaşır. aₙ = (−1)ⁿ ardıcıllığı isə −1 ilə 1 arasında «yırğalanır» və heç bir ədədə yaxınlaşmır.

Tərif

Ardıcıllığın limiti

A ədədi (aₙ) ardıcıllığının limiti adlanır, əgər istənilən kiçik müsbət ε ədədi üçün elə N nömrəsi tapılırsa ki, n > N olduqda |aₙ − A| < ε olsun. Sadə dillə: müəyyən nömrədən sonra bütün hədlər A-nın istənilən dar ətrafına düşür. Yazılış: lim (n→∞) aₙ = A. Limiti olan ardıcıllıq yığılan, limiti olmayan isə dağılan ardıcıllıq adlanır.

Tərif işdə

1) aₙ = (2n + 1)/n ardıcıllığının limitinin 2 olduğunu göstər və ε = 0,01 üçün N-i tap.
2) aₙ = (−1)ⁿ və bₙ = n² ardıcıllıqlarının limiti varmı?

Həllini göstər

1) aₙ = 2 + 1/n, ona görə |aₙ − 2| = 1/n.
1/n < 0,01 ⇔ n > 100. Deməli, N = 100: 101-ci həddən başlayaraq bütün hədlər (1,99; 2,01) intervalına düşür. ε nə qədər kiçik olsa da, N = 1/ε götürmək olar, yəni lim (n→∞) aₙ = 2.
2) (−1)ⁿ: hədlər −1, 1, −1, 1, … Onlar nə 1-in, nə də −1-in dar ətrafında qalmır — limit yoxdur, ardıcıllıq dağılandır.
n²: 1, 4, 9, 16, … hədləri hədsiz böyüyür. Sonlu limit yoxdur; bunu lim (n→∞) n² = ∞ kimi yazırlar, amma ∞ ədəd deyil və ardıcıllıq yenə də dağılandır.

lim (n→∞) c = c lim (n→∞) 1/n = 0 lim (n→∞) 1/nᵏ = 0 (k > 0) lim (n→∞) qⁿ = 0 (|q| < 1)lim (n→∞) c = c lim (n→∞) 1/n = 0 lim (n→∞) 1/nᵏ = 0 (k > 0) lim (n→∞) qⁿ = 0 (|q| < 1)

burada:

csabit ədəd
kmüsbət üst
q|q| < 1 olan ədəd (sonsuz azalan həndəsi silsilənin vuruğu kimi)

Əsas limitlər: mürəkkəb ifadələrin limitini həmişə bu sadə limitlərə gətiririk.

lim (aₙ ± bₙ) = A ± B lim (aₙ · bₙ) = A · B lim (aₙ/bₙ) = A / B (B ≠ 0)lim (aₙ ± bₙ) = A ± B lim (aₙ · bₙ) = A · B lim (aₙ/bₙ) = A / B (B ≠ 0)

burada:

A, Blim aₙ = A və lim bₙ = B — sonlu limitlər

Limitlər üzərində əməllər yalnız hər iki limit sonlu olduqda (bölmədə həm də B ≠ 0 olduqda) tətbiq olunur.

Kəsr şəklində verilmiş ardıcıllıqda surət də, məxrəc də sonsuzluğa gedir — bu, ∞/∞ şəklidir və qaydaları birbaşa tətbiq etmək olmur. Əsas üsul: surəti və məxrəci məxrəcdəki n-in ən yüksək qüvvətinə bölmək. Onda 1/n, 5/n² kimi hədlər sıfıra gedir və yalnız baş hədlərin əmsalları qalır.

Kəsr şəklində ardıcıllıqlar

Limiti tap:
1) aₙ = (3n² − n)/(2n² + 5);
2) aₙ = (4n + 7)/(n² + 1);
3) aₙ = (5 · 3ⁿ + 2ⁿ)/(3ⁿ⁺¹ − 4);
4) aₙ = √(n² + 6n) − n.

Həllini göstər

1) Surəti və məxrəci n² ifadəsinə bölürük: aₙ = (3 − 1/n)/(2 + 5/n²). n → ∞ olduqda 1/n → 0 və 5/n² → 0, ona görə limit 3/2 = 1,5.
2) Yenə n² ifadəsinə bölürük: (4/n + 7/n²)/(1 + 1/n²) → 0/1 = 0. Surətin dərəcəsi məxrəcin dərəcəsindən kiçikdir — limit 0-dır.
3) Burada «ən güclü» hədd 3ⁿ-dir. Surəti və məxrəci 3ⁿ ifadəsinə bölürük: (5 + (2/3)ⁿ)/(3 − 4/3ⁿ). (2/3)ⁿ → 0 (|q| < 1) və 4/3ⁿ → 0, deməli, limit 5/3.
4) Bu, ∞ − ∞ şəklidir. Qoşma ifadəyə vurub bölürük: (n² + 6n − n²)/(√(n² + 6n) + n) = 6n/(√(n² + 6n) + n). Surəti və məxrəci n-ə bölək: 6/(√(1 + 6/n) + 1) → 6/(1 + 1) = 3.

Monoton ardıcıllıqlar və e ədədi

Tərif

Monoton və məhdud ardıcıllıq

(aₙ) ardıcıllığı artandır, əgər hər n üçün aₙ₊₁ > aₙ, azalandır, əgər aₙ₊₁ < aₙ; artan və azalan ardıcıllıqlar monoton ardıcıllıqlardır. Ardıcıllıq məhduddur, əgər elə M ədədi var ki, bütün n üçün |aₙ| ≤ M; yalnız aₙ ≤ M ödənirsə, ardıcıllıq yuxarıdan məhduddur.

Veyerştrass teoremi: monoton və məhdud ardıcıllığın limiti var. Səbəbi əyanidir: artan ardıcıllıq hər addımda yuxarı qalxır, amma M «tavanını» keçə bilmir, ona görə hədlər M-dən böyük olmayan hansısa ədədin yanında «sıxlaşır». Hər iki şərt vacibdir: (−1)ⁿ məhduddur, amma monoton deyil; n² monotondur, amma məhdud deyil — heç birinin limiti yoxdur.

Monotonluq və məhdudluq

1) aₙ = n/(n + 1) ardıcıllığının artan və məhdud olduğunu göstər, limitini tap.
2) bₙ = 2 + 5/n ardıcıllığı haqqında eyni sualları cavablandır.

Həllini göstər

1) Fərqə baxaq: aₙ₊₁ − aₙ = (n + 1)/(n + 2) − n/(n + 1) = ((n + 1)² − n(n + 2))/((n + 1)(n + 2)) = 1/((n + 1)(n + 2)) > 0 — ardıcıllıq artandır.
n < n + 1 olduğundan 0 < aₙ < 1 — ardıcıllıq məhduddur. Teoremə görə limit var: n-ə bölsək, aₙ = 1/(1 + 1/n) → 1.
2) 5/(n + 1) < 5/n, ona görə bₙ₊₁ < bₙ — ardıcıllıq azalandır; 2 < bₙ ≤ 7 — məhduddur. Limit: 2 + 0 = 2. Hədlər 7; 4,5; 3,67; … yuxarıdan 2-yə enir.

İndi ən məşhur ardıcıllığa baxaq: aₙ = (1 + 1/n)ⁿ. Burada mötərizə 1-ə, üst isə sonsuzluğa gedir. «1-in istənilən qüvvəti 1-dir» fikri burada yanlışdır: əsas 1-ə bərabər deyil, ondan bir az böyükdür, üst isə böyüyür. Hesablayaq:

n	1	2	5	10	100	1000	10⁶
(1 + 1/n)ⁿ	2	2,25	2,48832	2,59374	2,70481	2,71692	2,71828

Hədlər artır, amma 3-ü keçmir (bunu isbat etmək olar).

lim (n→∞) (1 + 1/n)ⁿ = e ≈ 2,71828lim (n→∞) (1 + 1/n)ⁿ = e ≈ 2,71828

burada:

eirrasional ədəd, natural loqarifmin (ln x = logₑ x) və eˣ funksiyasının əsası

İkinci görkəmli limit: (1 + 1/n)ⁿ ardıcıllığı artan və məhdud olduğundan limiti var; bu limit e ədədidir.

lim (n→∞) (1 + k/n)ⁿ = eᵏlim (n→∞) (1 + k/n)ⁿ = eᵏ

burada:

ksabit ədəd (mənfi də ola bilər)

Nəticə: n = k · m əvəz etsək, (1 + 1/m)^(km) = ((1 + 1/m)ᵐ)ᵏ → eᵏ alınır.

e ədədi ilə limitlər

Limiti tap:
1) lim (n→∞) (1 + 1/n)³ⁿ;
2) lim (n→∞) (1 + 2/n)ⁿ;
3) lim (n→∞) ((n − 1)/n)ⁿ;
4) lim (n→∞) (1 + 1/(2n))ⁿ.

Həllini göstər

1) (1 + 1/n)³ⁿ = ((1 + 1/n)ⁿ)³ → e³ ≈ 20,09.
2) k = 2: (1 + 2/n)ⁿ → e² ≈ 7,39.
3) (n − 1)/n = 1 − 1/n, yəni k = −1: (1 − 1/n)ⁿ → e⁻¹ = 1/e ≈ 0,368.
4) 1/(2n) = (1/2)/n, yəni k = 1/2: limit e^(1/2) = √e ≈ 1,65.

Funksiyanın limiti: nöqtədə və sonsuzluqda

İndi arqument nömrə yox, kəsilməz dəyişən x-dir. f(x) = (x² − 1)/(x − 1) funksiyası x = 1 nöqtəsində təyin olunmayıb (məxrəc sıfırdır). Amma 1-ə yaxın nöqtələrdə onun qiymətlərinə baxaq:

x	0,9	0,99	1,01	1,1
f(x)	1,9	1,99	2,01	2,1

x = 1 olduqda f təyin olunmayıb, amma qiymətlər 2-yə yaxınlaşır: x ≠ 1 üçün f(x) = x + 1.

Tərif

Funksiyanın nöqtədə limiti

x arqumenti a-ya yaxınlaşdıqda (x ≠ a) f(x) qiymətləri A ədədinə istənilən qədər yaxınlaşırsa, A ədədi f funksiyasının a nöqtəsində limiti adlanır: lim (x→a) f(x) = A. Limit funksiyanın a-nın ətrafındakı qiymətlərindən asılıdır, a nöqtəsindəki qiymətindən yox. x a-ya yalnız soldan (x < a) yaxınlaşanda sol limit, yalnız sağdan (x > a) yaxınlaşanda sağ limit alınır.

lim (x→a) f(x) = A ⇔ lim (x→a−0) f(x) = lim (x→a+0) f(x) = A

burada:

lim (x→a−0)sol limit (x < a)
lim (x→a+0)sağ limit (x > a)

Limit yalnız hər iki birtərəfli limit mövcud və bərabər olduqda var.

Birtərəfli limitlər

1) f(x) = x + 1, əgər x < 2; f(x) = 5 − x, əgər x ≥ 2. lim (x→2) f(x) varmı?
2) g(x) = |x|/x funksiyasının x = 0 nöqtəsində limiti varmı?

Həllini göstər

1) Sol limit (x < 2, birinci düstur): x + 1 → 2 + 1 = 3. Sağ limit (x > 2, ikinci düstur): 5 − x → 5 − 2 = 3. Birtərəfli limitlər bərabərdir, deməli, lim (x→2) f(x) = 3.
2) x > 0 olduqda |x| = x və g(x) = 1; x < 0 olduqda |x| = −x və g(x) = −1. Sağ limit 1, sol limit −1-dir. Onlar fərqlidir — limit yoxdur (qrafikdə «sıçrayış» var).

Çoxhədlilər, köklər, eˣ, ln x, sin x, cos x və onlardan qurulan kəsrlər təyin oblastlarının hər nöqtəsində kəsilməzdir (bunu sonuncu bölmədə dəqiqləşdirəcəyik). Belə nöqtədə limit funksiyanın qiymətinə bərabərdir: sadəcə x = a yerinə yazılır. İmtahan limitləri ona görə «çətindir» ki, yerinə yazanda 0/0 və ya ∞/∞ alınır.

Yerinə yazmaqla

1) lim (x→2) (x³ − 3x + 1);
2) lim (x→π/3) (2cos x + tg²x);
3) lim (x→1) (x + 3)/(x² + 1).

Həllini göstər

1) 2³ − 3 · 2 + 1 = 8 − 6 + 1 = 3.
2) cos(π/3) = 1/2, tg(π/3) = √3: 2 · 1/2 + (√3)² = 1 + 3 = 4.
3) (1 + 3)/(1 + 1) = 4/2 = 2. Məxrəc sıfır deyil, ona görə yerinə yazmaq kifayətdir.

Sonsuzluqda limit. lim (x→∞) f(x) = A yazılışı o deməkdir ki, |x| hədsiz böyüdükcə f(x) A-ya yaxınlaşır. Əsas fakt ardıcıllıqlarda olduğu kimidir: lim (x→∞) c/xᵏ = 0 (k > 0). Rasional funksiyada surəti və məxrəci x-in məxrəcdəki ən yüksək qüvvətinə bölürük; nəticədə yalnız baş hədlər «yaşayır».

lim (x→∞) (aₘxᵐ + … + a₀)/(bₖxᵏ + … + b₀) = aₘ/bₖ, əgər m = klim (x→∞) (aₘxᵐ + … + a₀)/(bₖxᵏ + … + b₀) = aₘ/bₖ, əgər m = k

burada:

m, ksurətin və məxrəcin dərəcələri
aₘ, bₖbaş əmsallar (ən yüksək dərəcəli hədlərin əmsalları, ≠ 0)

x → ∞ olduqda rasional funksiyanın limiti: m < k olduqda 0, m = k olduqda aₘ/bₖ, m > k olduqda sonlu limit yoxdur (∞).

Dərəcələri müqayisə edirik

x → ∞ olduqda limiti tap:
1) (6x³ − 2x + 1)/(3x³ + x²);
2) (5x² + 4)/(x³ − 2);
3) (x³ + 1)/(4x² − x);
4) (2x − 1)²/(x² + 5);
5) √(x² + 8x) − x.

Həllini göstər

1) m = k = 3: limit 6/3 = 2.
2) m = 2 < k = 3: limit 0.
3) m = 3 > k = 2: sonlu limit yoxdur, ifadə sonsuzluğa gedir.
4) Diqqət: (2x − 1)² = 4x² − 4x + 1, baş əmsal 4-dür, 2 yox. m = k = 2: limit 4/1 = 4.
5) ∞ − ∞ (x > 0). Qoşma ifadə ilə: (x² + 8x − x²)/(√(x² + 8x) + x) = 8x/(√(x² + 8x) + x). x-ə bölək: 8/(√(1 + 8/x) + 1) → 8/2 = 4.

DİM üslubunda: kodlaşdırılan tapşırıq (parametr)

a-nın hansı qiymətində lim (x→∞) ((a² − 4)x³ + (a + 1)x² − 5)/(x² + 3) = 3 bərabərliyi doğrudur?

Həllini göstər

1) Məxrəcin dərəcəsi 2-dir. Surətdə x³ həddi qalsa, surətin dərəcəsi 3 > 2 olar və sonlu limit olmaz. Deməli, a² − 4 = 0, yəni a = 2 və ya a = −2.
2) Onda surətin dərəcəsi 2-dir və limit baş əmsalların nisbətidir: (a + 1)/1 = a + 1.
3) a + 1 = 3 ⇒ a = 2. Yoxlama: a = −2 olduqda limit −2 + 1 = −1 ≠ 3, bu qiymət uyğun deyil.
Cavab: 2.

İnteraktiv

Simulyasiya yüklənir…

Birinci qrafik ((a² − 4)x³ + (a + 1)x² − 5)/(x² + 3) funksiyası, ikincisi y = 3 düz xəttidir. a = 2 olduqda qrafik hər iki tərəfdə y = 3 xəttinə sıxılır. a = −2 olduqda o, y = −1 xəttinə yaxınlaşır, a-nın digər qiymətlərində isə qrafik yuxarı və ya aşağı «qaçır» — sonlu limit yoxdur.

DİM üslubunda: qapalı tapşırıq

lim (x→∞) (ax² − 3x + 1)/(4x² + x) = −2 olarsa, a-nı tapın.
A) −2 B) −8 C) 8 D) −1/2 E) 2

Həllini göstər

Surətin və məxrəcin dərəcələri bərabərdir (2), ona görə limit baş əmsalların nisbətidir: a/4 = −2 ⇒ a = −8.
Cavab: B. (−1/2 variantı −2-ni 4-ə bölənlər, 8 isə işarəni itirənlər üçündür.)

0/0 qeyri-müəyyənliyi və görkəmli limitlər

x = a yerinə yazanda 0/0 alınırsa, bu, cavab deyil, qeyri-müəyyənlikdir: x → 0 olduqda x/x → 1, x²/x → 0, 5x/x → 5 — hamısı «0/0» şəklindədir, amma limitlər müxtəlifdir. Deməli, ifadəni çevirmək lazımdır. Açar fikir: limitdə x ≠ a, ona görə surətdə və məxrəcdə olan ortaq (x − a) vuruğuna ixtisar etmək olar.

1
1. Yerinə yaz
x = a yaz. Ədəd alınırsa — cavab budur. c/0 (c ≠ 0) alınırsa — sonlu limit yoxdur. 0/0 alınırsa — 2-ci addıma keç.
2
2. (x − a) vuruğunu üzə çıxar
Çoxhədliləri vuruqlara ayır (a — onların köküdür). Kök varsa, surəti və məxrəci qoşma ifadəyə vur. Triqonometriyada eyniliklərdən istifadə et.
3
3. İxtisar et və yenidən yerinə yaz
(x − a)-ya ixtisar et (x ≠ a olduğu üçün icazəlidir) və sadələşmiş ifadədə x = a yaz.

Vuruqlara ayırma

1) lim (x→−2) (x² + 5x + 6)/(x² − 4);
2) lim (x→1) (x³ − 1)/(x² − 1);
3) lim (x→3) (2x² − 5x − 3)/(x² − 9).

Həllini göstər

1) x = −2: (4 − 10 + 6)/(4 − 4) = 0/0.
(x + 2)(x + 3)/((x + 2)(x − 2)) = (x + 3)/(x − 2) → 1/(−4) = −0,25.
2) 0/0. Kublar fərqi: x³ − 1 = (x − 1)(x² + x + 1); x² − 1 = (x − 1)(x + 1).
(x² + x + 1)/(x + 1) → 3/2 = 1,5.
3) 0/0. 2x² − 5x − 3 kvadrat üçhədlisinin kökləri 3 və −1/2-dir, ona görə 2x² − 5x − 3 = (x − 3)(2x + 1).
(2x + 1)/(x + 3) → 7/6.

Qoşma ifadə

1) lim (x→4) (√x − 2)/(x − 4);
2) lim (x→0) (√(9 + x) − 3)/x;
3) lim (x→5) (x − 5)/(√(x + 4) − 3);
4) Kodlaşdırılan tapşırıq: lim (x→1) (√(x + 3) − 2)/(x² − 1) limitini hesablayın.

Həllini göstər

1) x − 4 = (√x − 2)(√x + 2) (kvadratlar fərqi), ona görə ifadə 1/(√x + 2) olur → 1/(2 + 2) = 1/4.
2) Surəti və məxrəci √(9 + x) + 3-ə vururuq: (9 + x − 9)/(x(√(9 + x) + 3)) = 1/(√(9 + x) + 3) → 1/6.
3) Qoşma məxrəcdədir: (x − 5)(√(x + 4) + 3)/(x + 4 − 9) = √(x + 4) + 3 → 3 + 3 = 6.
4) 0/0. Surəti √(x + 3) + 2-yə vurub bölürük: (x + 3 − 4)/((x² − 1)(√(x + 3) + 2)) = (x − 1)/((x − 1)(x + 1)(√(x + 3) + 2)) = 1/((x + 1)(√(x + 3) + 2)) → 1/(2 · 4) = 1/8.
Cavab: 0,125.

İndi triqonometrik 0/0-a keçək. Bucaq radianla ölçüləndə kiçik x üçün sin x demək olar ki, x-ə bərabərdir: vahid çevrədə kiçik qövs onu dartan vətərdən çox az fərqlənir. Ədədlərlə: sin 0,5 / 0,5 ≈ 0,9589; sin 0,1 / 0,1 ≈ 0,99833; sin 0,01 / 0,01 ≈ 0,99998. Nisbət 1-ə yaxınlaşır.

lim (x→0) sin x / x = 1lim (x→0) sin x / x = 1

burada:

xradianla ölçülən bucaq

Birinci görkəmli limit.

lim (x→0) sin kx / x = k lim (x→0) tg x / x = 1 lim (x→0) (1 − cos x)/x² = 1/2lim (x→0) sin kx / x = k lim (x→0) tg x / x = 1 lim (x→0) (1 − cos x)/x² = 1/2

burada:

ksabit ədəd, k ≠ 0

Nəticələr: sin kx / x = k · sin kx / (kx); tg x / x = (sin x / x) · (1 / cos x); 1 − cos x = 2sin²(x/2) ≈ 2 · (x/2)² = x²/2.

x → 0 olduqda triqonometrik limitlər

1) lim (x→0) sin 7x / (2x);
2) lim (x→0) tg 3x / sin 5x;
3) lim (x→0) (1 − cos 6x)/x²;
4) lim (x→0) (1 − cos 2x)/(x · sin 3x).

Həllini göstər

1) sin 7x / (2x) = (7/2) · sin 7x / (7x) → 7/2 = 3,5.
2) tg 3x / sin 5x = (tg 3x / (3x)) · (5x / sin 5x) · (3x/(5x)) → 1 · 1 · 3/5 = 0,6.
3) 1 − cos 6x = 2sin²3x, deməli, (1 − cos 6x)/x² = 2 · (sin 3x / x)² → 2 · 3² = 18.
4) 1 − cos 2x = 2sin²x. İfadə: 2sin²x / (x · sin 3x) = 2 · (sin x / x) · (sin x / sin 3x). sin x / sin 3x → 1/3, ona görə limit 2 · 1 · 1/3 = 2/3.

İnteraktiv

Simulyasiya yüklənir…

y = sin kx / x funksiyası x = 0 nöqtəsində təyin olunmayıb, amma x → 0 olduqda qrafik y = k düz xəttinə yaxınlaşır — sin kx / x → k. k-nı dəyişib yoxla. x böyüdükcə isə qrafik sıfıra sönür: x → ∞ olduqda sin kx / x → 0.

x → a ≠ 0 olduqda. Məsələn, x → π/4 olduqda sin x / x düsturu birbaşa işləmir. Yerinə yazanda 0/0 alınırsa, iki yol var: 1) eyniliklərlə sıfıra çevrilən vuruğu üzə çıxarıb ixtisar etmək: cos 2x = (cos x − sin x)(cos x + sin x), 4sin²x − 1 = (2sin x − 1)(2sin x + 1), sin 2α = 2sin α cos α; 2) t = x − a əvəzləməsi aparmaq (t → 0) və çevirmə düsturlarından istifadə etmək.

Sıfırdan fərqli nöqtədə triqonometrik limit

1) lim (x→π/4) cos 2x / (cos x − sin x);
2) lim (x→π/6) (4sin²x − 1)/(2sin x − 1);
3) lim (x→π/3) sin 3x / sin 6x;
4) lim (x→π) sin x / (x − π).

Həllini göstər

1) cos(π/2) = 0 və cos(π/4) − sin(π/4) = 0 — 0/0.
cos 2x = (cos x − sin x)(cos x + sin x), ixtisardan sonra cos x + sin x → √2/2 + √2/2 = √2 ≈ 1,41.
2) sin(π/6) = 1/2: 0/0. Kvadratlar fərqi: (2sin x − 1)(2sin x + 1)/(2sin x − 1) = 2sin x + 1 → 2 · 1/2 + 1 = 2.
3) sin π = 0, sin 2π = 0 — 0/0. sin 6x = 2sin 3x cos 3x, ona görə ifadə 1/(2cos 3x) → 1/(2cos π) = −1/2.
4) t = x − π → 0. sin x = sin(π + t) = −sin t, deməli, ifadə −sin t / t → −1.

DİM üslubunda: kodlaşdırılan tapşırıq

lim (x→π/4) (1 − tg x)/(cos 2x) limitini hesablayın.

Həllini göstər

1) tg(π/4) = 1, cos(π/2) = 0 — 0/0.
2) 1 − tg x = (cos x − sin x)/(cos x) və cos 2x = (cos x − sin x)(cos x + sin x).
3) İxtisardan sonra: 1/(cos x · (cos x + sin x)).
4) x = π/4: 1/((√2/2) · √2) = 1/1 = 1.
Cavab: 1.

Artımlar və kəsilməzlik

Arqumentin artımı Δx = x − x₀ və funksiyanın artımı Δf = f(x₀ + Δx) − f(x₀) növbəti dərsin — «Artım və törəmənin tərifi»nin dilidir. Bu dildə kəsilməzlik belə səslənir: Δx → 0 olduqda Δf → 0 olursa, f funksiyası x₀ nöqtəsində kəsilməzdir. Yəni arqumentin kiçik dəyişməsi funksiyanın da yalnız kiçik dəyişməsinə səbəb olur və qrafikdə qırılma yoxdur.

Artımlar kiçilir

f(x) = x² − 3x, x₀ = 2. Δx = 0,1 və Δx = 0,01 üçün Δf-i hesabla, sonra Δf-i Δx ilə ifadə et.

Həllini göstər

f(2) = 4 − 6 = −2.
Δx = 0,1: f(2,1) = 4,41 − 6,3 = −1,89; Δf = −1,89 − (−2) = 0,11.
Δx = 0,01: f(2,01) = 4,0401 − 6,03 = −1,9899; Δf = 0,0101.
Ümumi halda: f(2 + Δx) = 4 + 4Δx + (Δx)² − 6 − 3Δx = −2 + Δx + (Δx)², ona görə Δf = Δx + (Δx)² → 0. Funksiya x₀ = 2 nöqtəsində kəsilməzdir.

Tərif

Nöqtədə kəsilməzlik

f funksiyası x₀ nöqtəsində kəsilməzdir, əgər üç şərt ödənir: 1) f(x₀) təyin olunub; 2) lim (x→x₀) f(x) var (sol və sağ limitlər bərabərdir); 3) bu limit f(x₀)-a bərabərdir. Şərtlərdən biri pozulursa, x₀ kəsilmə nöqtəsidir.

lim (x→x₀) f(x) = f(x₀) ⇔ lim (Δx→0) Δf = 0

burada:

x₀baxılan nöqtə
Δx, Δfarqumentin və funksiyanın artımları

Kəsilməzliyin iki eyni güclü yazılışı: limit qiymətə bərabərdir və ya kiçik artım kiçik artım verir.

1
1. Sol limit
x < x₀ üçün yazılmış düsturda x → x₀ götür.
2
2. Sağ limit
x > x₀ üçün yazılmış düsturda x → x₀ götür.
3
3. Nöqtədəki qiymət
f(x₀)-ı x = x₀ üçün verilmiş düsturla hesabla.
4
4. Bərabərləşdir və yoxla
Üç ədədi bərabərləşdir, parametri tap və tapılmış qiyməti yerinə yazıb yoxla.

Kəsilməzlik və parametr

a-nın hansı qiymətində funksiya kəsilməzdir?
1) f(x) = (x² − 4)/(x − 2), x ≠ 2; f(2) = a.
2) f(x) = x² + a, əgər x < 1; f(x) = 3x − 1, əgər x ≥ 1.
3) f(x) = sin 3x / x, x ≠ 0; f(0) = a + 1.

Həllini göstər

1) lim (x→2) (x − 2)(x + 2)/(x − 2) = lim (x→2) (x + 2) = 4. Kəsilməzlik üçün f(2) = 4, yəni a = 4.
2) Sol limit: 1 + a. Sağ limit və f(1): 3 · 1 − 1 = 2. 1 + a = 2 ⇒ a = 1.
3) lim (x→0) sin 3x / x = 3, deməli, a + 1 = 3 ⇒ a = 2.

DİM üslubunda: tam yazılı həll

f(x) = ax − 1, əgər x < 1; f(1) = 3; f(x) = x² + b, əgər x > 1. Funksiya x = 1 nöqtəsində kəsilməzdirsə, a + b cəmini tapın.

Həllini göstər

Həll. Kəsilməzliyin tərifinə görə sol limit, sağ limit və f(1) bərabər olmalıdır.
1) Sol limit: x < 1 olduqda f(x) = ax − 1, ona görə lim (x→1−0) f(x) = a − 1.
2) Sağ limit: x > 1 olduqda f(x) = x² + b, ona görə lim (x→1+0) f(x) = 1 + b.
3) Şərtə görə f(1) = 3.
4) a − 1 = 3 ⇒ a = 4; 1 + b = 3 ⇒ b = 2.
5) Yoxlama: a = 4, b = 2 olduqda hər iki birtərəfli limit 3-ə bərabərdir və f(1) = 3 — funksiya kəsilməzdir.
Cavab: a + b = 6.

Kodlaşdırılan tapşırıqlar: cavabı ədədlə yaz

1.lim (n→∞) (5n² + 1)/(2n² − n) =
2.lim (x→3) (x² − 9)/(x − 3) =
3.lim (x→0) sin 6x / (3x) =
4.lim (x→0) (1 − cos 4x)/x² =
5.lim (x→∞) (√(x² + 10x) − x) =
6.lim (n→∞) (1 + 3/n)ⁿ = eᵏ, k =

Əsas fikirlər

lim (n→∞) aₙ = A: müəyyən nömrədən sonra bütün hədlər A-nın istənilən dar ətrafındadır; kəsr şəklindəki ardıcıllıqda surəti və məxrəci n-in ən yüksək qüvvətinə bölürük.
Monoton və məhdud ardıcıllığın limiti var (Veyerştrass teoremi); (1 + 1/n)ⁿ → e ≈ 2,718 və (1 + k/n)ⁿ → eᵏ.
lim (x→a) f(x) yalnız sol və sağ limitlər bərabər olduqda var; x → ∞ olduqda rasional funksiyanın limitini dərəcələr həll edir: m < k olduqda 0, m = k olduqda baş əmsalların nisbəti, m > k olduqda sonlu limit yoxdur.
0/0 cavab deyil: vuruqlara ayır, qoşma ifadəyə vur və ya görkəmli limitləri tətbiq et — sin x / x → 1, sin kx / x → k, (1 − cos x)/x² → 1/2 (x → 0, radian).
x → a ≠ 0 olduqda triqonometrik 0/0 eyniliklərlə, məsələn, cos 2x = (cos x − sin x)(cos x + sin x), və ya t = x − a əvəzləməsi ilə açılır.
f funksiyası x₀ nöqtəsində kəsilməzdir ⇔ lim (x→x₀) f(x) = f(x₀) ⇔ Δx → 0 olduqda Δf → 0; parametrli tapşırıqda sol limit, sağ limit və f(x₀) bərabərləşdirilir.

Özünü yoxla

12 sual. Hər düzgün cavab XP qazandırır.

1 / 12

lim (n→∞) (1 + 1/n)ⁿ nəyə bərabərdir?