Məzmuna keç
Educora
AZ
AzərbaycancaEnglishРусскийTürkçe
Mənim səhifəmEducora StudioParametrlər
İrəli9-cu sinif22 dəq30 / 82

Ədədi ardıcıllıqlar və ədədi silsilə

Ardıcıllığın ümumi hədd və rekurrent düsturları; ədədi silsilənin fərqi, n-ci həddi, xarakterik xassəsi, iki həddə görə tapılması və ilk n həddinin cəmi (Qauss üsulu).

Özünü yoxla
Bu dərsdə öyrənəcəksən
  • Ümumi hədd və ya rekurrent düsturla verilmiş ardıcıllığın hədlərini hesablamaq
  • Ədədi silsiləni tanımaq, onun fərqini, istənilən həddini, iki həddə görə a₁ və d-ni tapmaq
  • Xarakterik xassə ilə naməlum hədləri tapmaq və ədədlərin silsilə təşkil edib-etmədiyini yoxlamaq
  • İlk n həddin cəmini, o cümlədən natural və tək ədədlərin cəmini hesablamaq

Aysel hər həftə kumbarasına əvvəlki həftədən 2 manat çox pul qoyur: birinci həftə 5 manat, sonra 7, 9, 11, … manat. O, 10-cu həftədə neçə manat qoyacaq? Hansı həftədə 45 manat qoyacaq? 10 həftədə cəmi nə qədər pul yığacaq? Həftələri bir-bir saymaq olar, amma 100 həftə üçün bu, çox uzun çəkər. Bu dərsdə belə sualların hamısını bir sətirlik düsturlarla cavablandırmağı öyrənəcəksən.

Aysel hər həftə eyni məbləği əlavə edir. «Xətti funksiya və onun qrafiki» dərsindəki y = kx + b funksiyası da belə bərabər addımlarla dəyişirdi. Ədədi silsilə həmin ideyanın nömrələnmiş ədədlər üçün variantıdır. Növbəti dərsdə, «Həndəsi silsilə»də, əlavə etmək əvəzinə hər dəfə eyni ədədə vuracağıq.

Ardıcıllıq və onun verilmə üsulları

Tərif
Ədədi ardıcıllıq

Hər n natural ədədinə bir aₙ ədədi uyğun qoyulan sıra: a₁, a₂, a₃, …, aₙ, … Bu ədədlər ardıcıllığın hədləri, n isə həddin nömrəsidir. Məsələn, cüt ədədlər ardıcıllığında a₁ = 2, a₂ = 4, a₁₀ = 20. Başqa sözlə, ardıcıllıq təyin oblastı natural ədədlər olan funksiyadır.

Ardıcıllıq əsasən iki üsulla verilir. Ümumi hədd düsturu aₙ-i birbaşa n-ə görə ifadə edir: istənilən həddi, məsələn a₁₀₀-ü, qonşularını bilmədən hesablamaq olar. Rekurrent düstur isə birinci həddi (bəzən ilk iki həddi) və növbəti həddi əvvəlkilərdən almaq qaydasını verir: bu halda hədləri yalnız ardıcıl, bir-bir tapmaq olur.

Hədləri hesablayaq

1) aₙ = n² − 1 ardıcıllığının a₁, a₂, a₃ və a₁₀ hədlərini tap.
2) a₁ = 2, aₙ₊₁ = 3aₙ − 1 rekurrent düsturu ilə verilən ardıcıllığın ilk beş həddini yaz.
3) Fibonaççi ardıcıllığı: a₁ = a₂ = 1, aₙ₊₂ = aₙ₊₁ + aₙ. İlk səkkiz həddi yaz.

Həllini göstər
1) a₁ = 1 − 1 = 0, a₂ = 4 − 1 = 3, a₃ = 9 − 1 = 8, a₁₀ = 100 − 1 = 99. a₁₀ üçün əvvəlki hədlər lazım olmadı.
2) a₂ = 3 · 2 − 1 = 5, a₃ = 3 · 5 − 1 = 14, a₄ = 3 · 14 − 1 = 41, a₅ = 3 · 41 − 1 = 122.
Ardıcıllıq: 2, 5, 14, 41, 122, …
3) Hər hədd əvvəlki iki həddin cəmidir: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …
Bu ədəd ardıcıllığın həddidirmi?

aₙ = 4n + 1 ardıcıllığında 125 və 100 ədədləri hədd kimi iştirak edirmi?

Həllini göstər
Ədəd həddirsə, onun nömrəsi natural ədəd olmalıdır.
4n + 1 = 125 ⇒ 4n = 124 ⇒ n = 31 — natural ədəddir, deməli 125 = a₃₁.
4n + 1 = 100 ⇒ 4n = 99 ⇒ n = 24,75 — natural deyil, deməli 100 bu ardıcıllığın həddi deyil.

Ədədi silsilə: fərq və n-ci hədd

Tərif
Ədədi silsilə

İkincidən başlayaraq hər həddi özündən əvvəlki həddə eyni d ədədini əlavə etməklə alınan ardıcıllıq: aₙ₊₁ = aₙ + d. d ədədi silsilənin fərqidir: d = aₙ₊₁ − aₙ (istənilən həddən əvvəlkini çıxırıq).

Fərqin işarəsi silsilənin «istiqamətini» göstərir: d > 0 olduqda silsilə artandır (3, 7, 11, 15, …; d = 4), d < 0 olduqda azalandır (20, 17, 14, 11, …; d = −3), d = 0 olduqda isə bütün hədlər bərabərdir (5, 5, 5, …). Ayselin silsiləsində a₁ = 5, d = 2.

n-ci həddi addımları bir-bir atmadan necə tapaq? Addımları sayaq: a₂ = a₁ + d, a₃ = a₁ + 2d, a₄ = a₁ + 3d. Hər dəfə d-nin əmsalı həddin nömrəsindən 1 azdır, çünki birinci həddən n-ci həddə çatmaq üçün n − 1 addım atırıq və hər addımda d əlavə olunur.

aₙ = a₁ + (n − 1) · d
burada:
  • aₙn-ci hədd
  • a₁birinci hədd
  • dsilsilənin fərqi
  • nhəddin nömrəsi (natural ədəd)

n-ci hədd = birinci hədd + (n − 1) addım.

Ayselin kumbarası

a₁ = 5, d = 2.
1) 10-cu həftədə Aysel neçə manat qoyacaq?
2) Hansı həftədə 45 manat qoyacaq?

Həllini göstər
1) a₁₀ = a₁ + 9d = 5 + 9 · 2 = 23 manat.
2) 5 + (n − 1) · 2 = 45 ⇒ (n − 1) · 2 = 40 ⇒ n − 1 = 20 ⇒ n = 21, yəni 21-ci həftədə.
Daha üç hal

1) a₁ = 12, d = −4 olan silsilənin 15-ci həddini tap.
2) 7, 11, 15, …, 207 silsiləsində neçə hədd var?
3) 50, 46, 42, … silsiləsinin ilk mənfi həddi hansıdır?

Həllini göstər
1) a₁₅ = 12 + 14 · (−4) = 12 − 56 = −44.
2) d = 4. 7 + (n − 1) · 4 = 207 ⇒ (n − 1) · 4 = 200 ⇒ n − 1 = 50 ⇒ n = 51 hədd.
3) d = −4, aₙ = 50 − 4(n − 1) = 54 − 4n.
54 − 4n < 0 ⇒ n > 13,5 ⇒ n = 14.
a₁₄ = 54 − 56 = −2 (a₁₃ = 2 hələ müsbətdir).

Çox vaxt a₁ və d verilmir, əvəzində silsilənin iki həddi məlum olur. aₘ-dən aₙ-ə qədər n − m addım var, ona görə istənilən məlum həddən saymaq olar:

aₙ = aₘ + (n − m) · d ⇒ d = (aₙ − aₘ) / (n − m)aₙ = aₘ + (n − m) · d ⇒ d = (aₙ − aₘ) / (n − m)
burada:
  • aₘ, aₙiki məlum hədd (m < n)
  • n − monların arasındakı addımların sayı

Fərq = hədlərin fərqi : nömrələrin fərqi. Sonra a₁ = aₘ − (m − 1) · d.

İki həddə görə silsiləni tapaq

1) a₃ = 10, a₇ = 22. a₁ və d-ni tap.
2) a₅ = 17, a₁₂ = −4. a₁ və d-ni tap.

Həllini göstər
1) a₃-dən a₇-yə 4 addım var: d = (22 − 10) : 4 = 3.
a₁ = a₃ − 2d = 10 − 6 = 4. Silsilə: 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, …
2) d = (−4 − 17) : (12 − 5) = −21 : 7 = −3.
a₁ = a₅ − 4d = 17 + 12 = 29.
Yoxlama: a₁₂ = 29 + 11 · (−3) = −4 ✓

Xarakterik xassə: hər hədd qonşularının ortasıdır

Silsilənin üç ardıcıl həddini götürək: aₙ₋₁, aₙ, aₙ₊₁. Ortadakı hədd soldakından d qədər böyük, sağdakından isə d qədər kiçikdir: aₙ − aₙ₋₁ = aₙ₊₁ − aₙ. Buradan 2aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₊₁ alınır, yəni birincidən başqa hər hədd qonşularının ədədi ortasıdır. Tərsi də doğrudur: əgər ardıcıllığın hər həddi (ikincidən başlayaraq) qonşularının ədədi ortasıdırsa, bu ardıcıllıq ədədi silsilədir. Silsilənin adı da bu xassə ilə bağlıdır.

aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁) / 2 aₙ = (aₙ₋ₖ + aₙ₊ₖ) / 2aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁) / 2 aₙ = (aₙ₋ₖ + aₙ₊ₖ) / 2
burada:
  • aₙ₋₁, aₙ₊₁aₙ-in qonşu hədləri
  • aₙ₋ₖ, aₙ₊ₖaₙ-dən eyni uzaqlıqda (k addım solda və sağda) duran hədlər, k < n

Ortadakı hədd kənardakıların ədədi ortasıdır — həm qonşular, həm də ondan eyni məsafədə duran hədlər üçün.

Xassənin tətbiqi

1) Ədədi silsilədə a₄ = 11, a₆ = 19. a₅-i tap.
2) x − 1, 2x + 1, 4x − 3 ədədləri (bu sırada) ədədi silsilə təşkil edir. x-i və bu ədədləri tap.
3) 2, 9, 16 və 3, 8, 14 üçlüklərindən hansı ədədi silsilədir?

Həllini göstər
1) a₅ = (11 + 19) : 2 = 15.
2) 2(2x + 1) = (x − 1) + (4x − 3) ⇒ 4x + 2 = 5x − 4 ⇒ x = 6.
Ədədlər: 5, 13, 21 (d = 8).
3) (2 + 16) : 2 = 9 — 2, 9, 16 ədədi silsilədir.
(3 + 14) : 2 = 8,5 ≠ 8 — 3, 8, 14 ədədi silsilə deyil.

İlk n həddin cəmi: Qauss üsulu

Məşhur rəvayətə görə, sonralar böyük riyaziyyatçı olan Karl Fridrix Qauss hələ məktəbli ikən 1-dən 100-ə qədər ədədlərin cəmini çox tez tapıb. O, ədədləri cüt-cüt qruplaşdırıb: 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98, … — hər cüt 101 verir, cütlər isə 50 dənədir: 50 · 101 = 5050. Bu fikir istənilən ədədi silsiləyə yarayır.

Cəmi iki dəfə yazaq — düz və tərs sırada: Sₙ = a₁ + a₂ + … + aₙ və Sₙ = aₙ + aₙ₋₁ + … + a₁. Bir-birinin altında duran hədləri toplayaq: a₁ + aₙ, a₂ + aₙ₋₁, … Sağa getdikcə yuxarı sətirdəki hədd d qədər artır, aşağıdakı isə d qədər azalır, ona görə hər cütün cəmi eynidir və a₁ + aₙ-ə bərabərdir. Cütlər n dənədir: 2Sₙ = (a₁ + aₙ) · n.

İnteraktiv
Simulyasiya yüklənir…
Hər sütunun hündürlüyü 11-dir: 1 + 10 = 2 + 9 = … = 10 + 1. Bütün sütunlar birlikdə 10 · 11 = 110 edir — bu, cəmin iki mislidir, deməli 1 + 2 + … + 10 = 55.
Sₙ = (a₁ + aₙ) / 2 · nSₙ = (a₁ + aₙ) / 2 · n
burada:
  • Sₙilk n həddin cəmi
  • a₁, aₙbirinci və sonuncu (n-ci) hədd
  • ntoplanan hədlərin sayı

Cəm = birinci və sonuncu həddin ədədi ortası × hədlərin sayı.

Sₙ = (2a₁ + (n − 1) · d) / 2 · nSₙ = (2a₁ + (n − 1) · d) / 2 · n
burada:
  • a₁, dbirinci hədd və fərq
  • nhədlərin sayı

Sonuncu hədd məlum olmayanda: birinci düsturda aₙ əvəzinə a₁ + (n − 1)d yazırıq.

Qauss və Aysel

1) 1 + 2 + 3 + … + 100 cəmini düsturla tap.
2) Aysel 10 həftədə cəmi nə qədər pul yığacaq (a₁ = 5, d = 2)?

Həllini göstər
1) a₁ = 1, a₁₀₀ = 100, n = 100:
S₁₀₀ = (1 + 100) : 2 · 100 = 50,5 · 100 = 5050.
2) Yuxarıda a₁₀ = 23 tapmışdıq:
S₁₀ = (5 + 23) : 2 · 10 = 14 · 10 = 140 manat.
Cəmə aid üç məsələ

1) 7, 4, 1, … silsiləsinin ilk 20 həddinin cəmini tap.
2) 7-yə bölünən bütün ikirəqəmli ədədlərin cəmini tap.
3) Amfiteatrın birinci sırasında 20 yer var, hər növbəti sırada əvvəlkindən 2 yer çoxdur. 15 sırada cəmi neçə yer var?

Həllini göstər
1) a₁ = 7, d = −3, n = 20:
S₂₀ = (2 · 7 + 19 · (−3)) : 2 · 20 = (14 − 57) · 10 = −430.
2) Bu ədədlər 14, 21, …, 98 silsiləsidir (d = 7). Hədlərin sayı: (98 − 14) : 7 + 1 = 13.
S₁₃ = (14 + 98) : 2 · 13 = 56 · 13 = 728.
3) a₁ = 20, d = 2: a₁₅ = 20 + 14 · 2 = 48.
S₁₅ = (20 + 48) : 2 · 15 = 34 · 15 = 510 yer.
Tərs məsələ: neçə hədd?

3 + 7 + 11 + … cəmində neçə həddi toplasaq, 210 alınar?

Həllini göstər
a₁ = 3, d = 4: Sₙ = (6 + 4(n − 1)) : 2 · n = (2n + 1) · n.
(2n + 1) · n = 210 ⇒ 2n² + n − 210 = 0.
D = 1 + 8 · 210 = 1681 = 41², n = (−1 + 41) : 4 = 10. İkinci kök −10,5 natural deyil, onu atırıq («Kvadrat tənliklər» dərsinə bax).
Yoxlama: a₁₀ = 39, S₁₀ = (3 + 39) : 2 · 10 = 210 ✓

Natural və tək ədədlərin cəmi

İki cəmə çox tez-tez rast gəlinir, ona görə onları hazır düstur kimi yadda saxlamaq faydalıdır. 1, 2, …, n silsiləsində a₁ = 1, aₙ = n; 1, 3, 5, …, 2n − 1 tək ədədlər silsiləsində isə a₁ = 1, aₙ = 2n − 1. Bunları cəm düsturunda yerinə qoysaq, aşağıdakılar alınır.

1 + 2 + 3 + … + n = n(n + 1) / 2 1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = n²1 + 2 + 3 + … + n = n(n + 1) / 2 1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = n²
burada:
  • ntoplanan ədədlərin sayı
  • 2n − 1n-ci tək ədəd

Cüt ədədlər üçün də: 2 + 4 + … + 2n = 2 · n(n + 1)/2 = n(n + 1).

Hazır düsturlarla

1) 1 + 2 + … + 50 = ?
2) 1 + 3 + 5 + … + 99 = ?
3) 2 + 4 + 6 + … + 100 = ?

Həllini göstər
1) n = 50: 50 · 51 : 2 = 1275.
2) 2n − 1 = 99 ⇒ n = 50 tək ədəd: 50² = 2500.
3) 2 + 4 + … + 100 = 2 · (1 + 2 + … + 50) = 2 · 1275 = 2550.
  1. 1
    Məlumları yaz

    a₁, d, n, aₙ, Sₙ — hansı verilib, hansı axtarılır? Sözlü məsələdə birinci həddin və addımın nə olduğunu müəyyən et.

  2. 2
    Düsturu seç

    Hədd üçün aₙ = a₁ + (n − 1)d, cəm üçün Sₙ düsturlarından biri. İki hədd verilibsə, əvvəlcə d-ni tap.

  3. 3
    Tənliyi həll et

    Naməlumu tap. Naməlum n-dirsə, cavab natural ədəd olmalıdır; kəsr və ya mənfi kök alınarsa, onu at.

  4. 4
    Yoxla

    İlk bir neçə həddi yaz və ya cavabı başqa düsturla hesabla: nəticə üst-üstə düşməlidir.

Özünü yoxla: boşluğu doldur
  1. 1.2, 9, 16, 23, … silsiləsinin fərqi d =
  2. 2.a₁ = 3, d = 5 olduqda a₁₁ =
  3. 3.a₆ = 14, a₈ = 20 olduqda a₇ =
  4. 4.1 + 2 + 3 + … + 20 =
  5. 5.1 + 3 + 5 + … + 19 =
  6. 6.5, 8, 11, … silsiləsinin ilk 10 həddinin cəmi S₁₀ =

Əsas fikirlər

  • Ardıcıllıq ümumi hədd düsturu aₙ = f(n) və ya rekurrent düsturla (birinci hədd + növbəti həddi almaq qaydası) verilir.
  • Ədədi silsilə: aₙ₊₁ = aₙ + d; aₙ = a₁ + (n − 1)d — birinci həddən n − 1 addım.
  • İki həddə görə: d = (aₙ − aₘ) / (n − m), sonra a₁ = aₘ − (m − 1)d.
  • Hər hədd qonşularının ədədi ortasıdır: aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁)/2; m + n = p + k olduqda aₘ + aₙ = aₚ + aₖ.
  • Cəm: Sₙ = (a₁ + aₙ)/2 · n = (2a₁ + (n − 1)d)/2 · n (Qauss üsulu).
  • 1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2; 1 + 3 + … + (2n − 1) = n².

Özünü yoxla

12 sual. Hər düzgün cavab XP qazandırır.

1 / 12
2, 5, 8, 11, … ədədi silsiləsinin fərqi neçədir?