Üçbucaqların oxşarlığı

Günəşli gündə məktəbin həyətindəki bayraq dirəyinin hündürlüyünü ona dırmaşmadan necə ölçmək olar? Aysel boyu 1,6 m olan Elvinin kölgəsini ölçür: 2 m. Həmin anda dirəyin kölgəsi 15 m-dir. Kölgə cismin özündən 1,25 dəfə uzundur, deməli, dirəyin hündürlüyü 15 : 1,25 = 12 m-dir. Bu hesablamanın arxasında dərsin əsas ideyası dayanır: oxşar üçbucaqların forması eynidir, ölçüləri isə eyni sayda dəfə fərqlənir.

«Üçbucaqların bərabərlik əlamətləri» dərsində forması da, ölçüsü də eyni olan üçbucaqları, «Dördbucaqlılar: paraleloqram, düzbucaqlı, romb, kvadrat və trapesiya» dərsində isə Fales teoremini öyrəndik. İndi Fales teoremini mütənasib parçalara ümumiləşdirəcək, oxşarlığın üç əlamətini öyrənəcək və onları «Pifaqor teoremi»nin yeni isbatında və kölgə ilə ölçmədə tətbiq edəcəyik. Fotoşəkli böyütmək, xəritə və çertyoj çəkmək də oxşarlığa əsaslanır.

Mütənasib parçalar və ümumiləşmiş Fales teoremi

ABC üçbucağında M nöqtəsi AB, N nöqtəsi BC tərəfi üzərindədir və MN ∥ AC. Bu iki paralel düz xətt B bucağının tərəflərini kəsir. Fales teoreminə görə, bucağın bir tərəfində bərabər parçalar ayıran paralel düz xətlər digər tərəfdə də bərabər parçalar ayırır. Bəs parçalar bərabər deyilsə? Tutaq ki, BM : MA = 3 : 2. BM-i 3, MA-nı 2 bərabər hissəyə bölək və bölgü nöqtələrindən MN-ə paralel düz xətlər çəkək. Fales teoreminə görə BC də bərabər hissələrə bölünür: BN-də 3, NC-də 2 hissə olur, yəni BN : NC = 3 : 2. Nisbət saxlanılır!

Parçanı verilmiş nisbətdə bölmək (məsələn, AB-ni 2 : 3 nisbətində) üçün bu teorem sirkul və xətkeşlə sadə qurma verir:

1. 1
   Köməkçi şüa

   A nöqtəsindən AB ilə bucaq əmələ gətirən ixtiyari şüa çək.

2. 2
   Bərabər parçalar

   Şüa üzərində sirkulla ardıcıl 2 + 3 = 5 bərabər parça ayır; sonuncu bölgü nöqtəsini P ilə işarə et.

3. 3
   Birləşdir

   P nöqtəsini B ilə birləşdir.

4. 4
   Paralel çək

   İkinci bölgü nöqtəsindən PB-yə paralel düz xətt çək; o, AB-ni axtarılan K nöqtəsində kəsir: AK : KB = 2 : 3.

Bu teoremin gözəl bir nəticəsi də üçbucağın tənböləni ilə bağlıdır.

Niyə belədir? C nöqtəsindən BL-ə paralel düz xətt çəkək; o, AB-nin B-dən o yana uzantısını K nöqtəsində kəsir. ∠BKC = ∠ABL (uyğun bucaqlar), ∠BCK = ∠LBC (daxili çarpaz bucaqlar), tənbölən isə ∠ABL = ∠LBC edir. Deməli, BCK üçbucağında iki bucaq bərabərdir və o, bərabəryanlıdır: BK = BC. İndi A bucağının tərəflərini BL və KC paralel düz xətləri kəsir və ümumiləşmiş Fales teoreminə görə AL / LC = AB / BK = AB / BC.

Oxşar üçbucaqlar və oxşarlığın üç əlaməti

Bərabərlikdə olduğu kimi, hərflərin sırası uyğunluğu göstərir: △ABC ∼ △KLM yazılışında A ↔ K, B ↔ L, C ↔ M. Uyğun tərəflər bərabər bucaqların qarşısında durur. Tərifdə altı şərt var, amma onların hamısını yoxlamaq lazım deyil. Əsas köməkçi fakt belədir: üçbucağın bir tərəfinə paralel düz xətt ondan verilmiş üçbucağa oxşar üçbucaq ayırır. Birinci şəkildə MN ∥ AC olduqda △MBN ∼ △ABC: B bucağı ortaqdır, ∠BMN = ∠BAC və ∠BNM = ∠BCA uyğun bucaqlardır, BM / BA = BN / BC isə ümumiləşmiş Fales teoremindən alınır. N-dən AB-yə paralel düz xətt çəksək, alınan paraleloqram və həmin teorem MN / AC nisbətinin də bu ədədə bərabər olduğunu göstərir.

Səbəb: üçüncü bucaqlar da bərabərdir, çünki cəm 180°-dir. A₁B₁ > AB olsun. A₁B₁ üzərində A₁M = AB parçasını ayırıb MN ∥ B₁C₁ çəkək. △A₁MN böyük üçbucağa oxşardır (paralel düz xətt), həm də BTB əlamətinə görə △ABC-yə bərabərdir. Deməli, △ABC ∼ △A₁B₁C₁. Bu, ən çox işlədilən əlamətdir: iki bərabər bucaq çox vaxt şəkildən görünür — ortaq bucaq, qarşılıqlı bucaqlar, paralel düz xətlərdəki bucaqlar, düz bucaqlar.

Hər iki əlamət eyni üsulla isbat olunur: böyük üçbucağın içində kiçiyin «surətini» qururuq (A₁M = AB, MN ∥ B₁C₁) və onun kiçik üçbucağa bərabər olduğunu bərabərlik əlamətləri — TBT və TTT ilə göstəririk.

Perimetrlərin və sahələrin nisbəti

Oxşar üçbucaqda hər tərəf k dəfə böyükdürsə, onların cəmi — perimetr də k dəfə böyükdür. Uyğun hündürlüklər, medianlar və tənbölənlər də k dəfə böyükdür, çünki onlar da oxşar üçbucaqların uyğun tərəfləridir. Sahə isə oturacaqla hündürlüyün hasilinin yarısıdır: hər iki vuruq k dəfə artdığından sahə k · k = k² dəfə artır.

Düzbucaqlı üçbucaqda mütənasib parçalar

Düzbucaqlı ABC üçbucağında (∠C = 90°) düz bucağın təpəsindən CH hündürlüyünü çəkək. O, üçbucağı iki kiçik düzbucaqlı üçbucağa bölür və üçü də bir-birinə oxşardır: △ACH və △ABC-də A bucağı ortaqdır, △CBH və △ABC-də isə B bucağı; hər cütdə düz bucaq da var (BB əlaməti). BH = p və AH = q parçaları a = BC və b = AC katetlərinin hipotenuz üzərindəki proyeksiyalarıdır.

Düsturların mənşəyi: △CBH ∼ △ACH olduğundan CH / AH = BH / CH, yəni h / q = p / h və h² = pq. △CBH ∼ △ABC olduğundan BH / BC = BC / BA, yəni a² = cp; eynilə b² = cq. Son iki bərabərliyi toplayaq: a² + b² = cp + cq = c(p + q) = c². Bu, «Pifaqor teoremi»nin oxşarlıqla isbatıdır! Sahəni iki üsulla yazsaq, daha bir düstur alınır: ½ab = ½ch, yəni h = ab / c.

Kölgə və güzgü ilə hündürlüyü ölçmək

Günəş çox uzaqda olduğundan onun şüalarını paralel saymaq olar. Buna görə eyni anda şaquli dirək, onun kölgəsi və şüa bir düzbucaqlı üçbucaq, adam, onun kölgəsi və şüa isə ona oxşar ikinci üçbucaq əmələ gətirir: düz bucaqlar bərabərdir, şüaların yerlə əmələ gətirdiyi bucaqlar da bərabərdir (BB). Güzgü üsulunda işığın əks olunma qanunundan istifadə olunur: düşmə bucağı əks olunma bucağına bərabərdir, buna görə yenə iki oxşar düzbucaqlı üçbucaq alınır.