Məzmuna keç
Educora
AZ
AzərbaycancaEnglishРусскийTürkçe
Mənim səhifəmEducora StudioParametrlər
İrəli8–10-cu sinif25 dəq37 / 82

Kvadrat kök, n dərəcəli kök və rasional üstlü qüvvət

Hesabi kvadrat kök, irrasional və həqiqi ədədlər, √(a²) = |a|, köklərin xassələri, vuruğun kök altından çıxarılması və kök altına daxil edilməsi, köklərin müqayisəsi, n dərəcəli kök, rasional üstlü qüvvət, məxrəcin irrasionallıqdan azad edilməsi və y = √x funksiyasının qrafiki.

Özünü yoxla
Bu dərsdə öyrənəcəksən
  • Hesabi kvadrat kökü və n dərəcəli kökü tapmaq, rasional və irrasional ədədləri fərqləndirmək
  • Vuruğu kök altından çıxarmaq və kök altına daxil etmək, oxşar kökləri toplamaq və kökləri müqayisə etmək
  • Kökləri rasional üstlü qüvvət kimi yazmaq və qüvvətin xassələri ilə hesablamaq
  • Məxrəci irrasionallıqdan azad etmək və y = √x funksiyasının qrafikini oxumaq

Leyla otağı üçün kvadrat formalı xalça seçir. Sahəsi 4 m² olan xalçanın tərəfi 2 m-dir, çünki 2² = 4. Bəs sahəsi 2 m² olan xalçanın tərəfi nə qədərdir? Elə x ədədi lazımdır ki, x² = 2 olsun. 1,4² = 1,96 azdır, 1,5² = 2,25 çoxdur; 1,41² = 1,9881, 1,42² = 2,0164… Axtarış heç vaxt bitmir: bu ədəd heç bir sonlu və ya dövri onluq kəsrlə yazılmır. Onu √2 kimi işarə edirik.

«Tam üstlü qüvvət və onun xassələri» dərsində ədədi qüvvətə yüksəltməyi öyrəndik. Kök əks sualın cavabıdır: hansı ədədin kvadratı (kubu, n-ci qüvvəti) verilən ədədə bərabərdir? Dərsin sonunda köklər və qüvvətlər vahid dildə — rasional üstlü qüvvətin dilində birləşəcək.

Hesabi kvadrat kök. İrrasional və həqiqi ədədlər

Tərif
Hesabi kvadrat kök

a ≥ 0 ədədinin hesabi kvadrat kökü kvadratı a-ya bərabər olan mənfi olmayan ədəddir və √a ilə işarə olunur; a kökaltı ifadə adlanır. √49 = 7, çünki 7 ≥ 0 və 7² = 49. Mənfi ədədin kvadrat kökü yoxdur: istənilən ədədin kvadratı mənfi deyil.

(√a)² = a √a ≥ 0 (a ≥ 0)
burada:
  • akökaltı ifadə, mənfi olmayan ədəd

Tərifin iki şərti: kökün kvadratı kökaltı ifadəyə bərabərdir və kökün özü mənfi deyil. x² = 49 tənliyinin iki kökü var (x = ±7), amma √49 yalnız 7-dir.

Kvadrat kökün hesablanması

Qiymətini hesabla, mənası yoxdursa, səbəbini izah et: 1) √0,09; 2) √(2¼); 3) (√7)²; 4) √(−16); 5) 3√0,16 − 6√(4/9).

Həllini göstər
1) 0,3 ≥ 0 və 0,3² = 0,09, deməli √0,09 = 0,3.
2) Qarışıq ədədi kəsrə çeviririk: 2¼ = 9/4, √(9/4) = 3/2.
3) Tərifə görə (√7)² = 7.
4) Mənası yoxdur: heç bir ədədin kvadratı −16 ola bilməz.
5) √0,16 = 0,4, √(4/9) = 2/3; 3 · 0,4 − 6 · 2/3 = 1,2 − 4 = −2,8.

√49, √0,09, √(9/4) rasional ədədlərdir, amma √2, √3, √5 kimi köklər heç bir kəsrə bərabər deyil. Tutaq ki, √2 = p/q ixtisar olunmayan kəsrdir. Onda p² = 2q², yəni p² cütdür, deməli p də cütdür: p = 2k. Yerinə yazsaq, 4k² = 2q², q² = 2k² — q də cüt olur. Surət də, məxrəc də 2-yə bölünür, bu isə kəsrin ixtisar olunmaması ilə ziddiyyət təşkil edir. Ümumiyyətlə, natural n tam kvadrat deyilsə, √n irrasionaldır.

Tərif
İrrasional və həqiqi ədədlər

İrrasional ədəd p/q (p tam, q natural ədəd) şəklində yazıla bilməyən ədəddir; onun onluq yazılışı sonsuz və dövri olmayan kəsrdir: √2 = 1,41421356…, π = 3,14159… Rasional və irrasional ədədlər birlikdə həqiqi ədədlər çoxluğunu (ℝ) əmələ gətirir — ədəd oxunun hər nöqtəsinə bir həqiqi ədəd uyğundur.

Kökü qiymətləndir və təsnif et

1) √30 hansı iki ardıcıl tam ədəd arasındadır? Onu 0,1 dəqiqliklə tap. 2) √10 ilə √50 arasında neçə tam ədəd var? 3) Hansı ədədlər irrasionaldır: √16, √0,4, √0,04, √12, √(49/4)?

Həllini göstər
1) 25 < 30 < 36, deməli 5 < √30 < 6. Daha dəqiq: 5,4² = 29,16 < 30 < 30,25 = 5,5², həm də 5,45² = 29,7025 < 30, yəni √30 > 5,45. 0,1 dəqiqliklə √30 ≈ 5,5 (dəqiq qiymət 5,477…).
2) 9 < 10 < 16 və 49 < 50 < 64, deməli 3 < √10 < 4 və 7 < √50 < 8. Aralarında 4, 5, 6, 7 — 4 tam ədəd.
3) √16 = 4, √0,04 = 0,2, √(49/4) = 7/2 — rasionaldır. 0,4 = 40/100 və √0,4 = √40 / 10; 40 tam kvadrat deyil, ona görə √0,4 irrasionaldır. 12 də tam kvadrat deyil: √12 irrasionaldır.

Kvadrat kökün xassələri və çevrilmələr

√(a²) = |a|
burada:
  • aistənilən ədəd
  • |a|a ədədinin modulu

Kök mənfi ola bilməz, ona görə kvadratın kökü ədədin özünü yox, modulunu verir: √((−5)²) = √25 = 5 = |−5|. a ≥ 0 olduqda √(a²) = a, a < 0 olduqda √(a²) = −a.

√(a²) = |a| qaydası

Sadələşdir: 1) √((−8)²); 2) √((√3 − 2)²); 3) √(x² − 6x + 9), burada x < 3; 4) √(a⁴) və √(a⁶), burada a < 0.

Həllini göstər
1) |−8| = 8.
2) √3 ≈ 1,73 < 2, ona görə √3 − 2 < 0 və |√3 − 2| = 2 − √3.
3) x² − 6x + 9 = (x − 3)² (tam kvadrat). √((x − 3)²) = |x − 3|; x < 3 olduqda x − 3 < 0, deməli nəticə 3 − x-dir.
4) √(a⁴) = |a²| = a² (kvadrat mənfi deyil). √(a⁶) = |a³|; a < 0 olduqda a³ < 0, ona görə √(a⁶) = −a³.
√(a · b) = √a · √b (a ≥ 0, b ≥ 0) √(a / b) = √a / √b (a ≥ 0, b > 0)√(a · b) = √a · √b (a ≥ 0, b ≥ 0) √(a / b) = √a / √b (a ≥ 0, b > 0)
burada:
  • a, bmənfi olmayan ədədlər (qismətdə b > 0)

Nə üçün doğrudur? (√a · √b)² = (√a)² · (√b)² = ab və √a · √b ≥ 0 — deməli, bu ədəd tərifə görə √(ab)-dir. Qaydanı hər iki istiqamətdə işlədirik: hasilin kökünü ayırırıq və köklərin hasilini bir kökdə birləşdiririk.

Hasil və qismətin kökü

Hesabla: 1) √(0,09 · 64); 2) √2 · √18; 3) √75 / √3; 4) √(2⁴ · 3⁶); 5) √1,6 · √90.

Həllini göstər
1) √0,09 · √64 = 0,3 · 8 = 2,4.
2) √(2 · 18) = √36 = 6.
3) √(75/3) = √25 = 5.
4) √(2⁴) · √(3⁶) = 2² · 3³ = 4 · 27 = 108 — cüt üstlü qüvvətin kökündə üst yarıya bölünür.
5) √(1,6 · 90) = √144 = 12: köklərin heç biri ayrılıqda tam ədəd deyil, hasil isə tam kvadratdır.

Kökaltı ifadədə tam kvadrat vuruq varsa, ondan kök alıb kökün qarşısına yazmaq olar: √72 = √(36 · 2) = √36 · √2 = 6√2. Bu, vuruğun kök işarəsi altından çıxarılmasıdır. Əks əməl — vuruğun kök işarəsi altına daxil edilməsi — kökləri müqayisə edərkən lazım olur: 3√5 = √(9 · 5) = √45. Kökün qarşısındakı mənfi işarə isə kökdən kənarda qalır: −2√3 = −√12.

√(a² · b) = |a| · √b a√b = √(a² · b) (a ≥ 0, b ≥ 0)
burada:
  • akök altından çıxarılan (və ya daxil edilən) vuruq
  • bkök altında qalan mənfi olmayan ədəd

Kök altından ədəd kvadrat kökü kimi çıxır, kök altına daxil ediləndə isə kvadrata yüksəlir. Hərfi ifadələrdə modulu unutma: √(50x²) = 5|x|√2.

  1. 1
    Ən böyük tam kvadratı tap

    Kökaltı ədədi elə iki vuruğa ayır ki, onlardan biri mümkün qədər böyük tam kvadrat olsun: 72 = 36 · 2. (72 = 4 · 18 də olar, amma 18-də yenə tam kvadrat 9 qalır.)

  2. 2
    Kökü ayır

    √(36 · 2) = √36 · √2.

  3. 3
    Tam kvadratın kökünü al

    √36 = 6, deməli √72 = 6√2.

  4. 4
    Yoxla

    Kök altında 1-dən başqa tam kvadrat vuruq qalmamalıdır. Kalkulyatorla da yoxlamaq olar: 6 · 1,414 ≈ 8,49 və √72 ≈ 8,49.

Vuruğu kök altından çıxarmaq və kök altına daxil etmək

1) √48 və √200 ifadələrində vuruğu kök altından çıxar. 2) √(50x²)-ni sadələşdir, burada x < 0. 3) 3√5, 2√11 və −4√2 ifadələrində vuruğu kök altına daxil et.

Həllini göstər
1) √48 = √(16 · 3) = 4√3; √200 = √(100 · 2) = 10√2.
2) √(25 · 2 · x²) = 5|x|√2; x < 0 olduqda |x| = −x, deməli √(50x²) = −5x√2 (x mənfi olduğu üçün bu ifadə müsbətdir).
3) 3√5 = √(9 · 5) = √45; 2√11 = √(4 · 11) = √44; mənfi işarə kökdən kənarda qalır: −4√2 = −√(16 · 2) = −√32.

Kökaltı ifadələri eyni olan köklər oxşar köklər adlanır: 2√3, −5√3 və √3. Onlar oxşar hədlər kimi toplanır: əmsallar toplanır, kök dəyişmir. Oxşar olmayan kökləri bir kökdə birləşdirmək olmaz: √2 + √3 ≠ √5. Çox vaxt köklər ilk baxışda oxşar görünmür — əvvəlcə vuruğu kök altından çıxarmaq lazımdır.

Köklərin cəmi və hasili

Sadələşdir: 1) √12 + √27 − √48; 2) 3√50 − 2√32 + √8; 3) (√3 + 1)²; 4) (√5 − √2)(√5 + √2); 5) √2 · (√18 − 3√8).

Həllini göstər
1) √12 = 2√3, √27 = 3√3, √48 = 4√3; (2 + 3 − 4)√3 = √3.
2) 3 · 5√2 − 2 · 4√2 + 2√2 = 15√2 − 8√2 + 2√2 = 9√2.
3) (a + b)² düsturu ilə: (√3)² + 2 · √3 · 1 + 1² = 3 + 2√3 + 1 = 4 + 2√3.
4) Kvadratlar fərqi: (√5)² − (√2)² = 5 − 2 = 3.
5) √2 · √18 − 3 · √2 · √8 = √36 − 3√16 = 6 − 12 = −6.
0 ≤ a < b ⇔ √a < √b
burada:
  • a, bmənfi olmayan ədədlər

Böyük ədədin kökü də böyükdür. Ona görə kökləri müqayisə etməyin iki yolu var: vuruqları kök altına daxil edib kökaltı ədədləri müqayisə etmək, ya da hər iki tərəf müsbət olduqda onları kvadrata yüksəltmək — bu, bərabərsizliyin işarəsini dəyişmir.

Köklərin müqayisəsi

Müqayisə et: 1) 2√7 və 3√3; 2) √5 + √7 və √2 + √10; 3) 4 və √3 + √5.

Həllini göstər
1) 2√7 = √28, 3√3 = √27. 28 > 27, deməli 2√7 > 3√3.
2) Hər iki tərəf müsbətdir, kvadrata yüksəldirik: (√5 + √7)² = 12 + 2√35, (√2 + √10)² = 12 + 2√20. √35 > √20, deməli √5 + √7 > √2 + √10.
3) 4² = 16, (√3 + √5)² = 8 + 2√15 = 8 + √60. 16 = 8 + √64 və √64 > √60, deməli 4 > √3 + √5.

n dərəcəli kök və rasional üstlü qüvvət

Tərif
n dərəcəli kök

n ≥ 2 natural ədəd olsun. a ədədinin n dərəcəli kökü n-ci qüvvəti a-ya bərabər olan ədəddir və ⁿ√a ilə işarə olunur; n kökün göstəricisi adlanır. Cüt n üçün kök yalnız a ≥ 0 olduqda təyin olunur və mənfi olmayan qiymət götürülür (hesabi kök): ⁴√81 = 3. Tək n üçün kök istənilən a üçün var və onun işarəsi a-nın işarəsi ilə eynidir: ∛(−27) = −3, çünki (−3)³ = −27.

(ⁿ√a)ⁿ = a ⁿ√(aⁿ) = |a| (n cüt) ⁿ√(aⁿ) = a (n tək)
burada:
  • nkökün göstəricisi, n ≥ 2
  • akökaltı ifadə (birinci bərabərlikdə cüt n üçün a ≥ 0)

Birinci bərabərlik kökün tərifidir. Digər ikisi √(a²) = |a| qaydasının ümumiləşməsidir: ⁴√((−2)⁴) = 2, amma ∛((−2)³) = −2.

ⁿ√(a · b) = ⁿ√a · ⁿ√b ⁿ√(a / b) = ⁿ√a / ⁿ√b (ⁿ√a)ᵏ = ⁿ√(aᵏ) ᵐ√(ⁿ√a) = ᵐⁿ√aⁿ√(a · b) = ⁿ√a · ⁿ√b ⁿ√(a / b) = ⁿ√a / ⁿ√b (ⁿ√a)ᵏ = ⁿ√(aᵏ) ᵐ√(ⁿ√a) = ᵐⁿ√a
burada:
  • a, bmənfi olmayan ədədlər (qismətdə b > 0)
  • n, mköklərin göstəriciləri (natural, ≥ 2)
  • knatural ədəd

Kvadrat kökün xassələri istənilən dərəcəli kök üçün də doğrudur. Kökdən kök alanda göstəricilər vurulur: √(∛64) = ⁶√64 = 2.

n dərəcəli köklərlə hesablama

1) ⁴√81, ∛(−8), ⁵√32 və ⁴√0,0016 ədədlərini tap. 2) ⁴√(−16) ifadəsinin mənası varmı? 3) ∛2 · ∛4 və ∛54-ü sadələşdir. 4) ∛16 + ∛54. 5) √(∛64).

Həllini göstər
1) 3⁴ = 81 → 3; (−2)³ = −8 → −2; 2⁵ = 32 → 2; 0,2⁴ = 0,0016 → 0,2.
2) Mənası yoxdur: heç bir ədədin dördüncü qüvvəti mənfi deyil.
3) ∛(2 · 4) = ∛8 = 2; ∛54 = ∛(27 · 2) = 3∛2.
4) ∛16 = ∛(8 · 2) = 2∛2, ∛54 = 3∛2; cəm 5∛2-dir.
5) Göstəricilər vurulur: ⁶√64 = 2, çünki 2⁶ = 64.

Kökləri qüvvət kimi yazmaq olarmı? Tutaq ki, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ qaydası kəsr üstlər üçün də işləyir. Onda (8^(1/3))³ = 8¹ = 8, yəni 8^(1/3) kubu 8 olan ədəddir, ∛8 = 2. Buna görə a^(1/n) = ⁿ√a, a^(m/n) isə ⁿ√(aᵐ) kimi təyin olunur. Bu tərifdən sonra əvvəlki dərsdə öyrəndiyin bütün qüvvət xassələri kəsr üstlər üçün də doğrudur.

a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ) = (ⁿ√a)ᵐ a^(−m/n) = 1 / a^(m/n) (a > 0)a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ) = (ⁿ√a)ᵐ a^(−m/n) = 1 / a^(m/n) (a > 0)
burada:
  • amüsbət əsas
  • mtam ədəd — qüvvətin üstü
  • nnatural ədəd, n ≥ 2 — kökün göstəricisi

Kəsr üstün məxrəci kökün göstəricisi, surəti isə qüvvətin üstüdür. Əsasın müsbət olması vacibdir: (−8)^(1/3) = −2 qəbul etsək, (−8)^(2/6) = ⁶√((−8)²) = ⁶√64 = 2 alınardı, halbuki 1/3 = 2/6.

Rasional üstlü qüvvətin hesablanması

Hesabla: 1) 8^(2/3); 2) 16^(3/4); 3) 27^(−1/3); 4) 32^0,4; 5) 16^(3/4) + 27^(−1/3) · 9^(1/2); 6) 0,001^(−2/3).

Həllini göstər
1) (∛8)² = 2² = 4.
2) (⁴√16)³ = 2³ = 8.
3) 1 / 27^(1/3) = 1/∛27 = 1/3.
4) 0,4 = 2/5, ona görə 32^(2/5) = (⁵√32)² = 2² = 4.
5) 16^(3/4) = 8, 27^(−1/3) = 1/3, 9^(1/2) = 3; 8 + (1/3) · 3 = 9.
6) 0,001 = 10⁻³, ona görə (10⁻³)^(−2/3) = 10^((−3) · (−2/3)) = 10² = 100.
Kökləri qüvvət kimi yazıb sadələşdirmək

Sadələşdir (a > 0): 1) a^(1/2) · a^(1/3); 2) ∛(a²) · ⁶√(a²); 3) √(a · ∛a); 4) √2 · ⁴√4.

Həllini göstər
1) Üstlər toplanır: 1/2 + 1/3 = 5/6, deməli a^(5/6) = ⁶√(a⁵).
2) a^(2/3) · a^(2/6) = a^(2/3 + 1/3) = a¹ = a.
3) a · a^(1/3) = a^(4/3); (a^(4/3))^(1/2) = a^(2/3) = ∛(a²).
4) 4 = 2², ona görə ⁴√4 = 2^(2/4) = 2^(1/2) = √2. √2 · √2 = 2.

Məxrəci irrasionallıqdan azad etmək

Cavabda məxrəcdə kök saxlamamaq qəbul olunub: 2√3 ifadəsi 6/√3-dən sadə görünür, onu müqayisə etmək və başqa köklərlə toplamaq da rahatdır. Kəsrin surətini və məxrəcini sıfırdan fərqli eyni ifadəyə vursaq, kəsrin qiyməti dəyişmir — bu ifadəni elə seçirik ki, məxrəcdəki kök yox olsun.

a / √b = a√b / b c / (√x − √y) = c(√x + √y) / (x − y) c / (√x + √y) = c(√x − √y) / (x − y)a / √b = a√b / b c / (√x − √y) = c(√x + √y) / (x − y) c / (√x + √y) = c(√x − √y) / (x − y)
burada:
  • bmüsbət ədəd
  • x, ymənfi olmayan ədədlər, x ≠ y
  • √x ± √ybir-birinə qoşma ifadələr

Qoşma ifadəyə vurduqda kvadratlar fərqi düsturu işləyir: (√x − √y)(√x + √y) = x − y, və məxrəcdə kök qalmır.

Məxrəcdəki kökü aradan qaldır

1) 6/√3; 2) 5/(2√5); 3) 4/(√5 − 1); 4) 1/(√3 + √2); 5) 1/∛2.

Həllini göstər
1) Surəti və məxrəci √3-ə vururuq: 6√3 / 3 = 2√3.
2) √5-ə vururuq: 5√5 / (2 · 5) = √5/2.
3) Qoşmaya, √5 + 1-ə vururuq: 4(√5 + 1) / ((√5)² − 1²) = 4(√5 + 1) / 4 = √5 + 1.
4) √3 − √2-yə vururuq: (√3 − √2) / (3 − 2) = √3 − √2. Kalkulyatorla yoxlama: hər ikisi ≈ 0,318.
5) ∛4-ə vururuq: ∛4 / ∛8 = ∛4/2.
Qoşma ifadə ilə müqayisə

Hansı böyükdür: √7 − √6, yoxsa √6 − √5?

Həllini göstər
Hər fərqi qoşma ifadəyə vurub bölürük: √7 − √6 = (7 − 6)/(√7 + √6) = 1/(√7 + √6) və √6 − √5 = 1/(√6 + √5).
Surətlər bərabərdir, məxrəci kiçik olan kəsr böyükdür: √6 + √5 < √7 + √6.
Deməli, √6 − √5 > √7 − √6. Yoxlama: 0,213 > 0,196.

y = √x funksiyası və onun qrafiki

Hər x ≥ 0 ədədinə onun hesabi kvadrat kökünü uyğun qoyaq: y = √x. Qrafikin bir neçə nöqtəsi: (0; 0), (1; 1), (4; 2), (9; 3), (2; ≈1,41). Bu, koordinat başlanğıcından başlayan və getdikcə yavaş qalxan «yarım parabola»dır. O, y = x² parabolasının sağ qolunun y = x düz xəttinə nəzərən simmetrik əksidir, çünki x ≥ 0 olduqda kvadrata yüksəltmə və kvadrat kök bir-birini «ləğv edir».

  • Təyin oblastı: x ≥ 0; qiymətlər çoxluğu: y ≥ 0. Qrafik Ox oxundan aşağı düşmür.
  • Funksiya artandır: böyük x-ə böyük √x uyğundur — kökləri müqayisə etmək qaydası buradan gəlir.
  • Artım getdikcə yavaşlayır: x 1-dən 4-ə qədər 3 vahid artanda y 1 vahid artır, 4-dən 9-a qədər 5 vahid artanda da yalnız 1 vahid.
  • 0 < x < 1 olduqda √x > x (√0,25 = 0,5 > 0,25), x > 1 olduqda isə √x < x.
İnteraktiv
Simulyasiya yüklənir…
x ≥ 0 olduqda y = x² və y = √x bir-birinin tərsidir: onların qrafikləri y = x düz xəttinə nəzərən simmetrikdir. Kökün qrafiki yalnız x ≥ 0 üçün var. Göstəricini x = 4 nöqtəsinə gətir: √4 = 2.
Qrafikdən istifadə

1) y = √x funksiyasının qrafiki A(49; 7), B(0,36; 0,6) və C(16; −4) nöqtələrindən keçirmi? 2) √x = 2,5 olduqda x neçədir? 3) 0,5 və √0,5 ədədlərini müqayisə et.

Həllini göstər
1) √49 = 7 — A keçir; √0,36 = 0,6 — B keçir; √16 = 4 ≠ −4 — C keçmir (qrafik Ox oxundan aşağıda olmur).
2) Hər iki tərəfi kvadrata yüksəldirik: x = 2,5² = 6,25.
3) 0 < 0,5 < 1, ona görə √0,5 > 0,5 (√0,5 ≈ 0,71).

Köklərlə işləmək vərdişi sonrakı mövzularda lazım olacaq: kvadrat tənliyin köklər düsturunda √D, «İrrasional tənliklər və bərabərsizliklər» dərsində kök altında dəyişən, «Funksiya və onun xassələri» dərsində isə y = √x qrafikinin sürüşdürülməsi və dartılması.

Özünü yoxla: boşluğu doldur
  1. 1.√72 = √2
  2. 2.∛(−125) =
  3. 3.16^(3/4) =
  4. 4.(√7 − √3)(√7 + √3) =
  5. 5.√((1 − √2)²) = √2 −

Əsas fikirlər

  • √a (a ≥ 0) kvadratı a olan mənfi olmayan ədəddir: (√a)² = a, √(a²) = |a|; mənfi ədədin kvadrat kökü yoxdur.
  • Natural n tam kvadrat deyilsə, √n irrasionaldır; rasional və irrasional ədədlər birlikdə həqiqi ədədlərdir.
  • √(ab) = √a · √b və √(a/b) = √a/√b, amma √(a + b) ≠ √a + √b; vuruğu kök altından çıxarıb oxşar kökləri topla.
  • Cüt dərəcəli kök yalnız a ≥ 0 üçün var və mənfi deyil, tək dərəcəli kök istənilən a üçün var; a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ) (a > 0).
  • Məxrəcdə √b varsa √b-yə, √x ± √y varsa qoşma ifadəyə vur.
  • y = √x: x ≥ 0, y ≥ 0, funksiya artandır; kökləri müqayisə etmək üçün kökaltı ədədləri müqayisə et.

Özünü yoxla

12 sual. Hər düzgün cavab XP qazandırır.

1 / 12
√(a²) ifadəsi istənilən a üçün nəyə bərabərdir?