Statistikanın əsasları: verilənlər, diaqramlar, orta qiymət, median və moda

Bu dərsdə öyrənəcəksən

Verilənləri tezlik cədvəlinə salmaq və uyğun diaqram (sütunlu, dairəvi, xətti, histoqram) seçmək
Ədədi ortanı (çəkili ortanı da), medianı, modanı və genişliyi tapmaq
Kiçik verilənlər üçün dispersiyanı və orta kvadratik meyli hesablamaq və mənasını izah etmək
Medianın ortadan nə vaxt daha uyğun olduğunu müəyyən etmək və yanıldıcı qrafikləri tanımaq

Leyla və sinif yoldaşları özləri haqqında sorğu keçiriblər: boy, sevimli idman növü, yayda oxunan kitabların sayı. Nəticədə yüzlərlə ədəd və söz yığılıb, amma bu qarışıq siyahı heç nə demir. Statistika verilənləri toplamağı, cədvəl və diaqram şəklində düzməyi və onları bir neçə ədədlə — orta qiymət, median, səpələnmə ilə — təsvir etməyi öyrədir. Bu bacarıq xəbərlərdəki qrafiklərə tənqidi baxmağa da kömək edir. Verilənlərdən təsadüfə keçid isə «Ehtimal nəzəriyyəsinin əsasları» dərsindədir.

Verilənlərin toplanması və tezlik cədvəli

Verilənlər sorğu, müşahidə və ölçmə yolu ilə toplanır. Keyfiyyət (kateqoriyalı) verilənləri adlar və ya etiketlərdir: idman növü, şəhər, rəng. Kəmiyyət (ədədi) verilənləri isə üzərində hesablama aparmaq olan ədədlərdir: bal, boy, bacı-qardaşların sayı. Verilənlərdəki qiymətlərin sayı n ilə işarə olunur.

Tərif

Tezlik və nisbi tezlik

Qiymətin tezliyi f onun verilənlərdə neçə dəfə rast gəlindiyidir. Nisbi tezlik w = f/n isə onun bütün verilənlərdəki payıdır (kəsr və ya faizlə).

wᵢ = fᵢ / n, f₁ + f₂ + … + fₖ = n, w₁ + w₂ + … + wₖ = 1wᵢ = fᵢ / n, f₁ + f₂ + … + fₖ = n, w₁ + w₂ + … + wₖ = 1

burada:

fᵢi-ci qiymətin tezliyi
wᵢi-ci qiymətin nisbi tezliyi
nbütün qiymətlərin sayı
kmüxtəlif qiymətlərin sayı

İki cəm hazır yoxlamadır: tezliklərin cəmi n etmirsə, hansısa qiymət buraxılıb və ya iki dəfə sayılıb.

1
Qiymətləri yaz
Bütün mümkün qiymətləri sütunda yaz (ədədləri artma sırası ilə).
2
Cizgilərlə say
Verilənləri bir dəfə nəzərdən keçir: hər cavab üçün uyğun qiymətin yanında bir cizgi qoy və cavabı pozub keç.
3
Tezlikləri tap
Cizgiləri say — bunlar tezliklərdir. Cəmlərinin n olduğunu yoxla.
4
Payları hesabla
Hər tezliyi n-ə böl, faiz üçün 100-ə vur. Payların cəmi 1 (100%) olmalıdır.

Yayda oxunan kitablar

20 şagirddən yayda neçə kitab oxuduqları soruşulub: 2, 1, 3, 0, 2, 2, 4, 1, 2, 3, 1, 2, 0, 3, 2, 1, 4, 2, 3, 1. Nisbi tezlikləri ilə birlikdə tezlik cədvəli qur.

Həllini göstər

n = 20.
0 kitab: f = 2, w = 2/20 = 0,10 (10%)
1 kitab: f = 5, w = 0,25 (25%)
2 kitab: f = 7, w = 0,35 (35%)
3 kitab: f = 4, w = 0,20 (20%)
4 kitab: f = 2, w = 0,10 (10%)
Yoxlama: 2 + 5 + 7 + 4 + 2 = 20 və 10% + 25% + 35% + 20% + 10% = 100%.

Diaqramlar: hansı verilənlər üçün hansı şəkil

Diaqram	Nə üçün yaxşıdır	Nümunə
Sütunlu diaqram	kateqoriyaları və ya tezlikləri müqayisə etmək; sütunlar ayrı durur	oxunan kitabların sayı
Dairəvi diaqram	bir bütövün hissələri (100%)	sevimli idman növləri
Xətti qrafik	zamanla dəyişmə	gün ərzində temperatur
Histoqram	bərabər aralıqlara bölünmüş ədədi verilənlər; sütunlar bitişikdir	şagirdlərin boyu

α = 360° · f / nα = 360° · f / n

burada:

αkateqoriyanın sektorunun bucağı
fkateqoriyanın tezliyi
nbütün cavabların sayı

Dairəvi diaqram dairə şəklində çəkilmiş tezlik cədvəlidir: hər sektorun bucağı 360°-dən onun payıdır, bütün bucaqların cəmi 360°-dir.

Dairəvi diaqramın bucaqları

40 şagirdə sevimli idman növü haqqında sual verilib: futbol — 14, basketbol — 8, voleybol — 6, üzgüçülük — 7, şahmat — 5. Hər sektorun bucağını və faizini tap.

Həllini göstər

Hər şagirdə 360° : 40 = 9° düşür.
Futbol: 14 · 9° = 126° (35%)
Basketbol: 8 · 9° = 72° (20%)
Voleybol: 6 · 9° = 54° (15%)
Üzgüçülük: 7 · 9° = 63° (17,5%)
Şahmat: 5 · 9° = 45° (12,5%)
Yoxlama: 126° + 72° + 54° + 63° + 45° = 360°.

İnteraktiv

Simulyasiya yüklənir…

Bu sorğu nümunə üçün uydurulub. Sektora toxun: onun payı p = a/Σ · 100% düsturu ilə hesablanır.

Histoqram çoxlu müxtəlif qiyməti olan ədədi verilənlər (məsələn, boy) üçündür. Qiymətlər bərabər aralıqlara bölünür, sərhəddəki qiymət sağdakı aralığa aid edilir, hər sütunun hündürlüyü isə həmin aralığın tezliyidir. Sütunlu diaqramdan fərqli olaraq histoqramın sütunları bitişik çəkilir, çünki aralıqlar boşluqsuz bir-birinin ardınca gəlir.

İnteraktiv

Simulyasiya yüklənir…

Verilənlər nümunə üçün uydurulub. Sütunlar [145; 150), [150; 155) … aralıqlarıdır; dəftərdə histoqramın sütunlarını bitişik çək.

Histoqramı oxuyuruq

Yuxarıdakı histoqrama görə: 1) neçə şagirdin boyu 155 sm-dən azdır? 2) şagirdlərin neçə faizinin boyu ən azı 165 sm-dir? 3) hansı aralıqda ən çox şagird var?

Həllini göstər

1) İlk iki sütun: 2 + 5 = 7 şagird.
2) Son iki sütun: 4 + 2 = 6; 6/30 = 0,2 = 20%.
3) Ən hündür sütun: [155; 160), 9 şagird.

Mərkəzi göstəricilər: ədədi orta, median, moda

x̄ = (x₁ + x₂ + … + xₙ) / nx̄ = (x₁ + x₂ + … + xₙ) / n

burada:

x̄ədədi orta
x₁, …, xₙverilənlərin qiymətləri
nqiymətlərin sayı

Ədədi orta «ədalətli paydır»: bütün qiymətlər bir yerə yığılıb bərabər bölünsə, hər birinə x̄ düşər. Deməli, qiymətlərin cəmi n · x̄-dir — naməlum qiymətli məsələlərin açarı budur.

Ədədi orta

1) Leyla 7 testdən bu balları toplayıb: 9, 6, 8, 10, 9, 5, 9. Ədədi ortanı tap.
2) Murad 4 testdə orta hesabla 7 bal toplayıb. 5 testin ortası 7,4 olsun deyə beşinci testdən neçə bal almalıdır?
3) 5 ədədin ədədi ortası 12-dir. Onlardan biri, 20, silinir. Qalan ədədlərin ortası neçədir?

Həllini göstər

1) (9 + 6 + 8 + 10 + 9 + 5 + 9) : 7 = 56 : 7 = 8.
2) Lazım olan cəm: 5 · 7,4 = 37. Artıq toplanıb: 4 · 7 = 28. Beşinci test: 37 − 28 = 9 bal.
3) Cəm 5 · 12 = 60; 20 silinəndən sonra 40 qalır, 4 ədəd: 40 : 4 = 10.

x̄ = (x₁f₁ + x₂f₂ + … + xₖfₖ) / (f₁ + f₂ + … + fₖ)x̄ = (x₁f₁ + x₂f₂ + … + xₖfₖ) / (f₁ + f₂ + … + fₖ)

burada:

xᵢmüxtəlif qiymətlər
fᵢonların tezlikləri və ya çəkiləri

Çəkili orta tezlik cədvəli üçün və qiymətlərin əhəmiyyəti müxtəlif olanda işlədilir. Çəkilər faizlə verilib cəmi 100% edirsə, sadəcə x · w hasillərini topla: x̄ = x₁w₁ + … + xₖwₖ.

Çəkili orta

1) Kitablar haqqındakı tezlik cədvəlinə görə bir şagirdin yayda oxuduğu kitabların orta sayını tap.
2) Rüb balı belə hesablanır: ev tapşırıqları (orta 9) — 20%, kiçik testlər (orta 7) — 30%, yekun test (8) — 50%. Rüb balı neçədir?
3) Birinci sinifdə 20 şagird var, orta bal 80-dir; ikincidə 30 şagird, orta bal 70. İki sinfin birlikdə orta balı neçədir?

Həllini göstər

1) x̄ = (0 · 2 + 1 · 5 + 2 · 7 + 3 · 4 + 4 · 2) / 20 = 39/20 = 1,95 kitab.
2) 0,2 · 9 + 0,3 · 7 + 0,5 · 8 = 1,8 + 2,1 + 4 = 7,9.
3) Bütün balların cəmi: 20 · 80 + 30 · 70 = 1600 + 2100 = 3700; 50 şagird: 3700 : 50 = 74. (80 və 70-in sadə ortası 75 səhv olardı: ikinci sinifdə şagird çoxdur.)

Tərif

Median

Artma sırası ilə düzülmüş verilənlərin ortasındakı qiymət: qiymətlərin yarısı ondan böyük deyil, yarısı ondan kiçik deyil.

Me = xₖ₊₁ (n = 2k + 1); Me = (xₖ + xₖ₊₁) / 2 (n = 2k)Me = xₖ₊₁ (n = 2k + 1); Me = (xₖ + xₖ₊₁) / 2 (n = 2k)

burada:

x₁ ≤ x₂ ≤ … ≤ xₙartma sırası ilə düzülmüş verilənlər
nqiymətlərin sayı: tək (2k + 1) və ya cüt (2k)

Me — median. Tək n: (n + 1)/2-ci yerdəki qiymət. Cüt n: ortadakı iki qiymətin ədədi ortası. Həmişə əvvəlcə sırala!

Tərif

Moda

Ən çox təkrarlanan qiymət. Verilənlərin iki və daha çox modası ola bilər və ya heç olmaya bilər (bütün qiymətlər eyni sayda təkrarlananda). Moda üç göstərici arasında keyfiyyət verilənlərinə də tətbiq olunan yeganə göstəricidir.

Median və moda

Medianı və ya modanı tap:
1) 1, 4, 6, 9, 20 sırasının medianı;
2) 3, 8, 5, 10, 7, 2 sırasının medianı;
3) kitablar haqqındakı tezlik cədvəlinin medianı və modası;
4) 2, 3, 3, 5, 7, 7 sırasının modası və idman sorğusunun modası.

Həllini göstər

1) Sıra artıq düzülüb, n = 5, 3-cü qiymət: Me = 6 (ədədi orta isə 8-dir).
2) Sıralayırıq: 2, 3, 5, 7, 8, 10; n = 6 cütdür: Me = (5 + 7) : 2 = 6.
3) n = 20: 10-cu və 11-ci qiymətlər lazımdır. Yığılan tezliklər: 0 kitab — 1–2-ci yerlər, 1 kitab — 3–7-ci, 2 kitab — 8–14-cü. Hər ikisi 2-dir: Me = 2. Moda da 2-dir (f = 7).
4) 3 və 7 ikişər dəfə təkrarlanır: iki moda, 3 və 7. Sorğunun modası futboldur — burada orta və median mənasızdır.

Səpələnmə: genişlik, dispersiya, orta kvadratik meyl

İki basketbolçu oyunda orta hesabla 12 xal qazanır. Muradın son beş oyunu: 10, 12, 14, 12, 12; Elvininki: 4, 20, 12, 6, 18. Orta qiymətləri eynidir, amma Murad sabit oynayır, Elvin isə gah çox, gah az. Mərkəzi göstəricilər bu fərqi görmür — bunu səpələnmə göstəriciləri ölçür.

R = xₘₐₓ − xₘᵢₙ

burada:

Rsıranın genişliyi
xₘₐₓ, xₘᵢₙən böyük və ən kiçik qiymət

Genişlik tez tapılır, amma yalnız iki ən kənar qiymətdən asılıdır, ona görə bir kənar qiymət onu çox dəyişir.

D = ((x₁ − x̄)² + (x₂ − x̄)² + … + (xₙ − x̄)²) / n, σ = √DD = ((x₁ − x̄)² + (x₂ − x̄)² + … + (xₙ − x̄)²) / n, σ = √D

burada:

Ddispersiya — meyllərin kvadratlarının ortası
σorta kvadratik (standart) meyl
xᵢ − x̄qiymətin ortadan meyli

Meylləri sadəcə toplamaq olmaz — onların cəmi həmişə 0-dır; ona görə kvadrata yüksəldirik. σ verilənlərlə eyni vahiddədir və qiymətlərin ortadan «adi» uzaqlığını göstərir. Seçmə məlumatlarında universitet statistikası n əvəzinə n − 1-ə bölür.

1
Ortanı tap
x̄-i hesabla.
2
Meylləri yaz
Hər qiymət üçün xᵢ − x̄; onların cəmi 0 olmalıdır (yoxlama).
3
Kvadrata yüksəlt
Hər meyli kvadrata yüksəlt və kvadratları topla.
4
n-ə böl və kök al
Cəm : n = dispersiya D; σ = √D.

Murad və Elvin

Muradın (10, 12, 14, 12, 12) və Elvinin (4, 20, 12, 6, 18) xalları üçün genişliyi, dispersiyanı və orta kvadratik meyli tap.

Həllini göstər

Hər ikisində x̄ = 60 : 5 = 12.
Murad: R = 14 − 10 = 4. Meyllər −2, 0, 2, 0, 0; kvadratlar 4, 0, 4, 0, 0, cəmi 8. D = 8 : 5 = 1,6, σ = √1,6 ≈ 1,26.
Elvin: R = 20 − 4 = 16. Meyllər −8, 8, 0, −6, 6; kvadratlar 64, 64, 0, 36, 36, cəmi 200. D = 200 : 5 = 40, σ = √40 ≈ 6,32.
Nəticə: Muradın xalları ortadan adətən 1–2 xal, Elvininki isə təxminən 6 xal fərqlənir.

Kənar qiymətlər, orta yoxsa median, yanıldıcı qrafiklər

Tərif

Kənar qiymət

Qalan qiymətlərin çoxundan xeyli uzaq olan qiymət. Bu, səhv (yazı xətası, qüsurlu ölçmə) və ya həqiqi, amma qeyri-adi hal ola bilər — silməzdən əvvəl yoxla.

Kənar qiymətin təsiri

Kiçik firmada 5 işçinin aylıq maaşı: 700, 700, 800, 900 və 4400 manat (sonuncu — direktor). Orta və medianı tap, sonra direktorsuz yenidən hesabla.

Həllini göstər

Hamısı ilə: orta = 7500 : 5 = 1500, median = 800.
Direktorsuz: orta = 3100 : 4 = 775, median = (700 + 800) : 2 = 750.
Bir kənar qiymət ortanı 725 manat, medianı isə cəmi 50 manat dəyişdi. «Adi» maaşı median daha yaxşı göstərir: beş işçidən dördü 1500 manatdan xeyli az alır.

Göstərici	Nə vaxt seçilir	Nümunələr
Ədədi orta	ədədi, təxminən simmetrik, kənar qiymətsiz verilənlər	test balları, boy, temperatur
Median	asimmetrik verilənlər və ya kənar qiymətlər olanda	maaşlar, mənzil qiymətləri, gözləmə müddəti
Moda	keyfiyyət verilənləri və ya «ən populyar» sual olanda	sevimli idman növü, mağazada ən çox lazım olan ayaqqabı ölçüsü

Qrafik ədədlərə görə düzgün olsa da, yanlış təəssürat yarada bilər. Yanıldıcı qrafiklərin əsas fəndləri bunlardır:

Kəsilmiş ox: sütunlu diaqramın şaquli oxu 0-dan başlamır, ona görə kiçik fərqlər nəhəng görünür.
Qeyri-bərabər şkala: oxdakı eyni addımlar müxtəlif kəmiyyətləri göstərir və ya histoqramın aralıqları müxtəlif enlidir.
İki istiqamətdə böyüdülmüş şəkil: iki dəfə hündür və iki dəfə enli fiqurun sahəsi 4 dəfə böyükdür, ona görə 2 dəfə artım 4 dəfə kimi görünür.
Seçilmiş zaman aralığı və ya vahidsiz, mənbəsiz qrafik: yalnız iddiaya uyğun illər göstərilir və ya ədədləri yoxlamaq mümkün olmur.

İnteraktiv

Simulyasiya yüklənir…

Verilənlər nümunə üçün uydurulub. Şaquli ox 0-dan yox, 1000-dən başlayır, ona görə 2024-cü ilin sütunu 2021-ci ilinkindən 3,5 dəfə hündür görünür, halbuki şagirdlərin sayı cəmi (1070 − 1020) : 1020 ≈ 4,9% artıb. Həqiqi ədədləri görmək üçün cədvəl görünüşünü aç.

Tez hesabla

1.3, 5 və 10 ədədlərinin ədədi ortası -dır.
2.1, 2, 8, 9 sırasının medianı -dir.
3.4, 7, 7, 2, 4, 7 sırasının modası -dir.
4.12, 5, 19, 8 sırasının genişliyi -dür.
5.Cavabların 25%-i olan kateqoriya dairəvi diaqramda ° bucaq alır.

Əsas fikirlər

Tezlik cədvəlində tezliklərin cəmi n, nisbi tezliklərin cəmi isə 1 (100%) olur.
Sütunlu diaqram — kateqoriyalar, dairəvi — bütövün hissələri (α = 360° · f/n), xətti — zamanla dəyişmə, histoqram — qruplaşdırılmış ədədi verilənlər.
Ədədi orta = cəm : n; çəkili orta = Σ x·f : Σ f; bütün qiymətlərin cəmi n · x̄-dir.
Median — sıralanmış verilənlərin ortası (cüt n olanda iki ortadakının ortası), moda — ən çox təkrarlanan qiymət, genişlik = max − min.
Dispersiya meyllərin kvadratlarının ortasıdır; σ = √D qiymətlərin ortadan adi uzaqlığını göstərir.
Kənar qiymətlər və ya asimmetrik verilənlər olanda medianı seç; qrafikə inanmazdan əvvəl oxları, şkalanı və sahələri yoxla.

Özünü yoxla

12 sual. Hər düzgün cavab XP qazandırır.

1 / 12

Gün ərzində havanın temperaturunun necə dəyişdiyini göstərmək üçün hansı diaqram ən uyğundur?