Radian ölçüsü, əsas triqonometrik eyniliklər və çevirmə düsturları

Leyla parkdakı müşahidə çarxına minib. Kabinə çarxın mərkəzi ilə eyni səviyyədən yola düşür, çarx isə saat əqrəbinin əksinə fırlanır. Bir tam dövr və daha dörddə bir dövrdən sonra kabinə 360° + 90° = 450° dönmüş olur. Leyla indi mərkəzdən nə qədər yuxarıdadır? Düzbucaqlı üçbucaqda 450°-lik bucaq olmur, amma fırlanan çarx, saat əqrəbi, rəqqas və dəyişən cərəyan məhz belə bucaqlarla işləyir. Onlar üçün sinus və kosinusu istənilən bucaq üçün təyin etmək lazımdır.

«Triqonometriyanın əsasları» dərsində sinus, kosinus və tangens iti bucaq üçün düzbucaqlı üçbucağın tərəflərinin nisbəti kimi təyin olundu. Bu dərsdə dörd addım atırıq: bucağı radianla ölçməyi öyrənirik, vahid çevrənin köməyi ilə triqonometrik funksiyaları istənilən bucaq üçün təyin edirik, onları bir-birinə bağlayan əsas eyniliklərlə tanış oluruq və çevirmə düsturları ilə istənilən bucağı iti bucağa gətiririk. Növbəti dərs — «Toplama, ikiqat və yarım bucaq düsturları» — bu dərsin üzərində qurulur.

Bucağın radian ölçüsü

Dərəcə tam dövrün 1/360 hissəsidir. 360 ədədi qədim astronomlardan qalmış razılaşmadır, həndəsənin özündən irəli gəlmir. Riyaziyyatda bucağı daha təbii vahidlə — radianla ölçürlər: bucağın qövsünə neçə radius yerləşirsə, bucaq o qədər radiandır.

Çevrənin uzunluğu 2πR-dir, yəni onun üzərinə radius düz 2π ≈ 6,28 dəfə yerləşir. Deməli, tam dövr 2π radian, yarım dövr isə π radiandır: 180° = π rad. Buradan 1 rad = 180°/π ≈ 57,3° alınır. Radian zövq məsələsi deyil: «Törəmələr cədvəli» dərsindəki (sin x)′ = cos x düsturu yalnız x radianla ölçüləndə doğrudur, qövsün uzunluğu da radianla ən sadə şəkildə yazılır.

Vahid çevrədə istənilən bucağın sinusu və kosinusu

Mərkəzi koordinat başlanğıcında olan və radiusu 1-ə bərabər çevrə vahid çevrə adlanır. P₀(1; 0) nöqtəsini mərkəz ətrafında döndürək: saat əqrəbinin əksinə dönmə müsbət bucaq, saat əqrəbi istiqamətində dönmə mənfi bucaq verir. Bir tam dövrdən sonra nöqtə yerinə qayıdır və fırlanma davam edə bilər. Buna görə 450°, −90° və ya 7π kimi bucaqlar da tam mənalıdır: onlar sadəcə dönmə bucaqlarıdır.

İti bucaq üçün bu tərif köhnəsi ilə üst-üstə düşür: hipotenuzu 1 olan düzbucaqlı üçbucaqda qarşı katet y-ə, bitişik katet x-ə bərabərdir. Leylanın məsələsinə qayıdaq: 450° = 360° + 90°, kabinə 90°-lik nöqtəyə gəlib, sin 450° = sin 90° = 1, yəni Leyla mərkəzdən düz bir radius yuxarıdadır. Tərifdən bir neçə vacib nəticə çıxır:

• −1 ≤ sin α ≤ 1 və −1 ≤ cos α ≤ 1, çünki vahid çevrənin nöqtəsinin koordinatları modulca 1-dən böyük ola bilməz.
• Tam dövr nöqtəni yerinə qaytarır, ona görə sin və cos qiymətləri hər 360° = 2π-dən bir təkrarlanır.
• tg α nöqtə y oxunun üzərinə düşəndə (x = 0: 90°, 270°, …), ctg α isə x oxunun üzərinə düşəndə (y = 0: 0°, 180°, …) təyin olunmur.

Sinus və kosinusun işarəsi yalnız nöqtənin hansı rübdə olmasından asılıdır: y koordinatı x oxundan yuxarıda müsbət, x koordinatı y oxundan sağda müsbətdir. Tangens isə onların nisbətidir, ona görə x və y eyni işarəli olanda müsbət olur.

Əsas triqonometrik eyniliklər

1. 1
   Kvadratı tap

   Uyğun eynilikdən axtarılan funksiyanın kvadratını tap: cos²α = 1 − sin²α, sin²α = 1 − cos²α və ya cos²α = 1 / (1 + tg²α).

2. 2
   İşarəni rübə görə seç

   Kökü alanda iki qiymət alınır: ±. Bucağın rübünə baxıb düzgün işarəni saxla.

3. 3
   tg və ctg-ni nisbətdən tap

   tg α = sin α / cos α, ctg α = 1 / tg α.

4. 4
   Yoxla

   sin²α + cos²α = 1 olduğunu və işarələrin rübə uyğun gəldiyini yoxla.

Çevirmə düsturları

Vahid çevrə simmetrikdir. π − α bucağına uyğun nöqtə P(cos α; sin α) nöqtəsinin y oxuna nəzərən simmetrikidir: (−cos α; sin α). π + α bucağına uyğun nöqtə isə P-yə mərkəzə nəzərən simmetrikdir: (−cos α; −sin α). Buradan dərhal sin(π − α) = sin α, cos(π − α) = −cos α, sin(π + α) = −sin α və cos(π + α) = −cos α alınır.

π/2 + α bucağı isə P nöqtəsini daha 90° döndürür. 90°-lik dönmədə (x; y) nöqtəsi (−y; x) nöqtəsinə keçir, ona görə cos(π/2 + α) = −sin α, sin(π/2 + α) = cos α — sinus və kosinus yerlərini dəyişir. Bütün belə bərabərliklər çevirmə düsturları adlanır: onlar π/2 · n ± α bucağının funksiyasını α bucağının funksiyası ilə ifadə edir.

1. 1
   Bucağı hissələrə ayır

   Əvvəlcə tam dövrləri at (sin və cos üçün 2π, tg və ctg üçün π), sonra bucağı π/2 · n ± α şəklində yaz; burada α iti bucaqdır.

2. 2
   İşarəni tap

   α-nı iti bucaq sayaraq π/2 · n ± α bucağının hansı rübə düşdüyünü müəyyən et və ilkin funksiyanın həmin rübdəki işarəsini yaz.

3. 3
   Funksiyanın adını seç

   n tək olarsa (π/2, 3π/2), funksiya «qonşusuna» çevrilir: sin ↔ cos, tg ↔ ctg. n cüt olarsa (π, 2π), funksiyanın adı dəyişmir.

İfadələrin sadələşdirilməsi və eyniliklərin isbatı

Triqonometrik ifadəni sadələşdirmək — onu daha qısa və ya daha rahat şəklə salmaq deməkdir. Burada cəbrin bütün alətləri işləyir: ortaq vuruğu mötərizə xaricinə çıxarmaq, qısa vurma düsturları, ortaq məxrəc. Onlara triqonometriyanın öz üsulları əlavə olunur:

• tg və ctg-ni sin və cos ilə ifadə et;
• 1 − sin²α = cos²α və 1 − cos²α = sin²α əvəzlərini gör;
• (1 − sin α)(1 + sin α) = cos²α kimi kvadratlar fərqini axtar;
• cavabın α-nın hansı qiymətlərində doğru olduğunu yadda saxla: məxrəc sıfır olmamalıdır.

1. 1
   Mürəkkəb tərəfdən başla

   Adətən uzun tərəfi çevirib qısa tərəfə gətirmək asandır.

2. 2
   Hər şeyi sin və cos ilə yaz

   tg, ctg və 1-i sin, cos ilə ifadə et, kəsrləri ortaq məxrəcə gətir.

3. 3
   Başqa yollar

   Hər iki tərəfi eyni ifadəyə gətirmək və ya fərqin 0 olduğunu göstərmək də olar. İki kəsrin bərabərliyində çarpaz hasilləri müqayisə etmək rahatdır.

4. 4
   Şərtləri yaz

   Eyniliyin hansı α üçün doğru olduğunu qeyd et: bütün məxrəclər sıfırdan fərqli olmalıdır.