Triqonometriyanın əsasları

İti bucağın sinusu, kosinusu və tangensi, xüsusi bucaqların qiymətləri, vahid çevrə və əsas triqonometrik eynilik.

Bu dərsdə öyrənəcəksən

Düzbucaqlı üçbucaqda sinusu, kosinusu və tangensi təyin etmək
30°, 45° və 60° bucaqlarının triqonometrik qiymətlərini bilmək
Naməlum tərəfi və ya hündürlüyü hesablamaq
Vahid çevrədə sinus və kosinusu görmək

Qız qalasının hündürlüyünü onun zirvəsinə qalxmadan necə ölçmək olar? Qaladan müəyyən məsafədə dayanmaq, zirvəyə baxış bucağını ölçmək və triqonometriyadan istifadə etmək kifayətdir. Triqonometriya üçbucağın bucaqları ilə tərəfləri arasındakı əlaqəni öyrənir və mühəndislikdə, astronomiyada, naviqasiyada hər gün işlədilir.

Düzbucaqlı üçbucaqda sinus, kosinus və tangens

Düzbucaqlı üçbucaqda iti α bucağını götürək. Bu bucağın qarşısındakı katet qarşı katet, bucağın tərəfi olan katet isə bitişik katet adlanır. Tərəflərin nisbətləri yalnız bucaqdan asılıdır, üçbucağın ölçüsündən yox — buna görə onlara xüsusi adlar verilib.

sin α = a / c cos α = b / c tg α = a / bsin α = a / c cos α = b / c tg α = a / b

burada:

aqarşı katet — α bucağının qarşısındakı katet
bbitişik katet — α bucağının tərəfi olan katet
chipotenuz

Həmçinin tg α = sin α / cos α. Hipotenuz ən uzun tərəf olduğu üçün iti bucaqda 0 < sin α < 1 və 0 < cos α < 1.

3, 4, 5 üçbucağı

Düzbucaqlı üçbucağın katetləri 3 və 4, hipotenuzu 5-dir. Uzunluğu 3 olan katetin qarşısındakı α bucağının sinusunu, kosinusunu və tangensini tap.

Həllini göstər

Verilənlər: qarşı katet 3, bitişik katet 4, hipotenuz 5.
sin α = 3/5 = 0,6
cos α = 4/5 = 0,8
tg α = 3/4 = 0,75

Xüsusi bucaqlar

α	30°	45°	60°
sin α	1/2	√2/2	√3/2
cos α	√3/2	√2/2	1/2
tg α	√3/3	1	√3

Bu qiymətləri bərabərtərəfli üçbucağın yarısından (30°, 60°) və kvadratın diaqonalından (45°) çıxarmaq olar. sin α artdıqca cos α azalır.

Qız qalasının hündürlüyü

Elvin qaladan 40 m aralıda dayanıb və qalanın zirvəsini 35°-li bucaq altında görür. Elvinin gözləri yerdən 1,5 m hündürlükdədir. Qalanın hündürlüyü nə qədərdir? (tg 35° ≈ 0,70)

Həllini göstər

Göz səviyyəsindən zirvəyə qədər olan hündürlük qarşı katet, 40 m isə bitişik katetdir.
tg 35° = x / 40 ⇒ x = 40 · tg 35° ≈ 40 · 0,70 = 28 m.
Gözlərin yerdən hündürlüyünü əlavə edirik: 28 + 1,5 = 29,5 m. Bu, qalanın məlum hündürlüyü ilə üst-üstə düşür.

Nərdivan

Uzunluğu 6 m olan nərdivan yerlə 60° bucaq əmələ gətirir. Nərdivanın yuxarı ucu hansı hündürlükdədir?

Həllini göstər

Nərdivan hipotenuzdur, hündürlük isə 60°-li bucağın qarşı katetidir.
h = 6 · sin 60° = 6 · √3/2 = 3√3 ≈ 5,2 m.

Əsas eynilik və vahid çevrə

sin²α + cos²α = 1

Bu eynilik Pifaqor teoremindən alınır. Məsələn, iti bucaq üçün sin α = 0,6 olarsa, cos α = √(1 − 0,36) = √0,64 = 0,8.

Mərkəzi koordinat başlanğıcında olan və radiusu 1-ə bərabər çevrəyə vahid çevrə deyilir. Çevrə üzərində x oxundan α bucağı qədər dönmüş nöqtənin koordinatları (cos α; sin α)-dır. Bu tərif sinus və kosinusu istənilən bucaq üçün, hətta 90°-dən böyük bucaqlar üçün də müəyyən edir: məsələn, cos 120° = −1/2.

İnteraktiv

Simulyasiya yüklənir…

Nöqtəni çevrə üzrə hərəkət etdir: onun x koordinatı cos α, y koordinatı sin α-dır. 30°, 45°, 60° üçün cədvəldəki qiymətləri yoxla.

Əsas fikirlər

Sinus və kosinus katetin hipotenuza nisbətidir, tangens isə katetlərin nisbəti: sin α = a/c, cos α = b/c, tg α = a/b.
sin 30° = cos 60° = 1/2, sin 45° = cos 45° = √2/2, tg 45° = 1.
Əsas eynilik: sin²α + cos²α = 1.
Vahid çevrədə nöqtənin koordinatları (cos α; sin α)-dır.

Özünü yoxla

10 sual. Hər düzgün cavab XP qazandırır.

1 / 10

Düzbucaqlı üçbucaqda iti α bucağının sinusu nəyə bərabərdir?