Vektorlar — Riyaziyyat

Bu dərsdə öyrənəcəksən

Vektorun koordinatlarını və uzunluğunu tapmaq
Vektorları koordinatlarla və həndəsi üsulla toplamaq, çıxmaq və ədədə vurmaq
Skalyar hasil vasitəsilə bucağı hesablamaq və perpendikulyarlığı yoxlamaq

Qayıq Kür çayını keçir: o, sahilə perpendikulyar istiqamətdə 4 m/s sürətlə üzür, çayın axını isə onu 3 m/s sürətlə aşağı aparır. Qayığın həqiqi sürəti nə qədərdir? 4 + 3 = 7 m/s yox, 5 m/s! Sürəti yalnız ədədlə vermək kifayət deyil, onun istiqaməti də vacibdir. Sürət, qüvvə, yerdəyişmə kimi həm qiyməti, həm də istiqaməti olan kəmiyyətlər vektorlarla təsvir olunur; kütlə və temperatur isə adi ədədlərdir (skalyar kəmiyyətlərdir).

Vektor və onun koordinatları

Tərif

Vektor

İstiqamətlənmiş parça: onun başlanğıcı, sonu, uzunluğu (modulu) və istiqaməti var. AB⃗ vektorunun başlanğıcı A, sonu B nöqtəsidir; vektoru bir hərflə də işarə edirlər: a⃗. Uzunluqları bərabər və istiqamətləri eyni olan vektorlar bərabərdir; eyni və ya paralel düz xətlər üzərində yerləşən vektorlar kollinear adlanır.

AB⃗ = (x₂ − x₁; y₂ − y₁)

burada:

A(x₁; y₁)vektorun başlanğıcı
B(x₂; y₂)vektorun sonu

Vektorun koordinatlarını tapmaq üçün sonun koordinatlarından başlanğıcın koordinatlarını çıxırıq («sondan başlanğıcı»). Bu qayda fəzada da işləyir.

|a⃗| = √(x² + y²)

burada:

x, ya⃗ vektorunun koordinatları
|a⃗|vektorun uzunluğu (modulu)

Bu, Pifaqor teoremidir. Fəzada vektorun üç koordinatı olur və |a⃗| = √(x² + y² + z²): məsələn, (2; 3; 6) vektorunun uzunluğu √(4 + 9 + 36) = 7-dir.

Koordinatlar və uzunluq

A(1; −2) və B(4; 2) nöqtələri verilib. AB⃗ vektorunun koordinatlarını və uzunluğunu tap.

Həllini göstər

«Sondan başlanğıcı»: AB⃗ = (4 − 1; 2 − (−2)) = (3; 4).
|AB⃗| = √(3² + 4²) = √25 = 5.
Bu, eyni zamanda A və B nöqtələri arasındakı məsafədir.

Vektorlar üzərində əməllər

a⃗ ± b⃗ = (x₁ ± x₂; y₁ ± y₂) k · a⃗ = (k · x₁; k · y₁)

burada:

a⃗ = (x₁; y₁), b⃗ = (x₂; y₂)verilmiş vektorlar
kədəd (skalyar)

Vektorlar koordinatlarına görə toplanır və çıxılır; ədədə vuranda hər koordinat həmin ədədə vurulur.

Həndəsi olaraq iki vektoru üçbucaq qaydası ilə (b⃗-nin başlanğıcını a⃗-nın sonuna qoyuruq) və ya paraleloqram qaydası ilə (ortaq başlanğıcdan çəkilmiş diaqonal) toplayırlar. k > 0 olduqda k · a⃗ vektoru a⃗ ilə eyni, k < 0 olduqda əks istiqamətlidir, uzunluğu isə |k| · |a⃗|-dır.

a⃗ ∥ b⃗ ⇔ x₁ / x₂ = y₁ / y₂ ⇔ x₁y₂ − x₂y₁ = 0a⃗ ∥ b⃗ ⇔ x₁ / x₂ = y₁ / y₂ ⇔ x₁y₂ − x₂y₁ = 0

burada:

x₁, y₁, x₂, y₂a⃗ və b⃗ vektorlarının koordinatları

Kollinear vektorların koordinatları mütənasibdir: b⃗ = k · a⃗. İkinci yazılış sıfır koordinat olanda da işləyir.

Əməllər və kollinearlıq

a⃗ = (2; −1), b⃗ = (−3; 4).
a) 2a⃗ − b⃗ vektorunu və onun uzunluğunu tap.
b) m-in hansı qiymətində c⃗ = (m; 3) vektoru a⃗ ilə kollineardır?

Həllini göstər

a) 2a⃗ = (4; −2). 2a⃗ − b⃗ = (4 − (−3); −2 − 4) = (7; −6).
|2a⃗ − b⃗| = √(49 + 36) = √85 ≈ 9,22.
b) Koordinatlar mütənasib olmalıdır: m/2 = 3/(−1) ⇒ m = −6.
Yoxlama: c⃗ = (−6; 3) = −3 · a⃗ — c⃗ a⃗-ya əks istiqamətlidir.

Skalyar hasil

a⃗ · b⃗ = |a⃗| · |b⃗| · cos φ

burada:

φvektorlar arasındakı bucaq, 0° ≤ φ ≤ 180°
|a⃗|, |b⃗|vektorların uzunluqları

Skalyar hasil vektor deyil, ədəddir — adı da buradandır. a⃗ · a⃗ = |a⃗|².

a⃗ · b⃗ = x₁x₂ + y₁y₂ cos φ = (x₁x₂ + y₁y₂) / (|a⃗| · |b⃗|)a⃗ · b⃗ = x₁x₂ + y₁y₂ cos φ = (x₁x₂ + y₁y₂) / (|a⃗| · |b⃗|)

burada:

x₁, y₁, x₂, y₂a⃗ və b⃗ vektorlarının koordinatları

Koordinatlarla skalyar hasil: uyğun koordinatların hasillərinin cəmi. Fəzada z₁z₂ əlavə olunur.

a⃗ ⊥ b⃗ ⇔ a⃗ · b⃗ = 0 ⇔ x₁x₂ + y₁y₂ = 0

burada:

a⃗, b⃗sıfırdan fərqli vektorlar

Skalyar hasilin işarəsi bucağı göstərir: > 0 — iti bucaq, = 0 — düz bucaq (perpendikulyar), < 0 — kor bucaq.

Vektorlar arasındakı bucaq

a⃗ = (1; 2) və b⃗ = (3; 1) vektorları arasındakı bucağı tap.

Həllini göstər

a⃗ · b⃗ = 1 · 3 + 2 · 1 = 5 > 0, deməli, bucaq itidir.
|a⃗| = √(1 + 4) = √5, |b⃗| = √(9 + 1) = √10.
cos φ = 5 / (√5 · √10) = 5 / √50 = 5 / (5√2) = √2/2 ⇒ φ = 45°.

Perpendikulyarlıq və qüvvənin işi

a) k-nın hansı qiymətində a⃗ = (k; 2) və b⃗ = (3; −6) vektorları perpendikulyardır?
b) 50 N qüvvə yerdəyişmə ilə 60° bucaq əmələ gətirir. Yerdəyişmə 10 m-dir. Qüvvənin gördüyü işi tap.

Həllini göstər

a) a⃗ · b⃗ = 3k + 2 · (−6) = 3k − 12 = 0 ⇒ k = 4.
b) İş qüvvə ilə yerdəyişmənin skalyar hasilidir: A = F⃗ · s⃗ = F · s · cos φ = 50 · 10 · cos 60° = 50 · 10 · 0,5 = 250 C.

İnteraktiv

Simulyasiya yüklənir…

Uzunluğu 1 olan vektora vahid vektor deyilir. x oxu ilə φ bucağı əmələ gətirən vahid vektorun koordinatları (cos φ; sin φ)-dir, istənilən vektor isə |a⃗| · (cos φ; sin φ) şəklində yazılır. İki vahid vektorun skalyar hasili onlar arasındakı bucağın kosinusuna bərabərdir.

Əsas fikirlər

AB⃗ = (x₂ − x₁; y₂ − y₁) — «sondan başlanğıcı»; |a⃗| = √(x² + y²).
Vektorlar koordinatlara görə toplanır və çıxılır; k · a⃗ hər koordinatı k-ya vurur.
Zəncir qaydası: AB⃗ + BC⃗ = AC⃗.
a⃗ · b⃗ = |a⃗| · |b⃗| · cos φ = x₁x₂ + y₁y₂.
a⃗ ⊥ b⃗ ⇔ x₁x₂ + y₁y₂ = 0; a⃗ ∥ b⃗ ⇔ koordinatlar mütənasibdir.

Özünü yoxla

10 sual. Hər düzgün cavab XP qazandırır.

1 / 10

A(−1; 3) və B(5; −5) nöqtələri arasındakı məsafə nə qədərdir?