Bucaqlar. Paralel düz xətlər — Riyaziyyat

Bu dərsdə öyrənəcəksən

Bucaqları transportirlə ölçmək, növünü müəyyən etmək və tənbölənlə bağlı hesablamalar aparmaq
Qonşu və qarşılıqlı bucaqların xassələri ilə naməlum bucaqları tapmaq
Paralel düz xətlər və kəsənlə yaranan bucaq cütlərini tanımaq, onların xassələrini və paralellik əlamətlərini tətbiq etmək
Saat əqrəbləri arasındakı bucağı istənilən an üçün hesablamaq

Düz şose yolu dəmir yolunu çəp kəsir. Relslər bir-birinə paraleldir, yol hər iki relsi kəsir və kəsişmə yerlərində səkkiz bucaq yaranır. Mühəndis bu səkkiz bucağın hamısını ölçməlidirmi? Xeyr — yalnız birini. Qalan yeddisi bu dərsin qaydaları ilə hesablanır. Əvvəlcə bucağın özü ilə tanış olacağıq, sonra kəsişən və paralel düz xətlərin yaratdığı bucaqları öyrənəcəyik. Növbəti dərsdə — «Üçbucaqlar» dərsində bu faktlarla üçbucağın bucaqlarının cəminin 180° olduğunu isbat edəcəyik.

Bucaq, onun ölçülməsi və növləri

Tərif

Bucaq

Bir nöqtədən çıxan iki şüadan ibarət fiqur. Bu nöqtə bucağın təpəsi, şüalar isə onun tərəfləri adlanır. Təpəsi O, tərəflərində A və B nöqtələri olan bucaq ∠AOB və ya qısaca ∠O kimi yazılır (təpənin hərfi ortada yazılır).

Bucaqlar dərəcə ilə ölçülür. Tərəfləri bir düz xətt əmələ gətirən bucaq açıq bucaq adlanır; onu 180 bərabər hissəyə bölsək, hər hissə 1° olar. Tam dövrə 360°-dir. Daha dəqiq ölçmək üçün dərəcə 60 dəqiqəyə bölünür: 1° = 60′, məsələn, 37,5° = 37°30′. Bucağı transportirlə belə ölçürük:

1
Mərkəz — təpəyə
Transportirin mərkəzini bucağın təpəsinə qoy.
2
Sıfır xətti — tərəf boyunca
Transportirin sıfır xəttini bucağın bir tərəfi boyunca yönəlt.
3
Lazımi şkala
O biri tərəfin şkalanı kəsdiyi ədədi, birinci tərəfdə 0-dan başlayan şkala üzrə oxu.
4
Gözlə yoxla
Bucaq iti görünürsə, cavab 90°-dən kiçik olmalıdır: 50° əvəzinə 130° oxumaq ən çox yayılmış səhvdir.

Bucağın növü	Ölçüsü
İti bucaq	0° < α < 90°
Düz bucaq	α = 90°
Kor bucaq	90° < α < 180°
Açıq bucaq	α = 180°

Tərif

Bucağın tənböləni

Bucağın təpəsindən çıxan və onu iki bərabər bucağa bölən şüa.

∠AOB = ∠AOC + ∠COB; OC — tənbölən ⇒ ∠AOC = ∠COB = ∠AOB / 2∠AOB = ∠AOC + ∠COB; OC — tənbölən ⇒ ∠AOC = ∠COB = ∠AOB / 2

burada:

∠AOBbütöv bucaq
OCbucağın daxilindən keçən şüa; tənbölən bucağı iki bərabər hissəyə bölür

Bucağın daxilindən keçən şüa onu iki bucağa bölür və bu bucaqların cəmi bütöv bucağa bərabərdir. Tənbölən isə bucağı tam yarıya bölür.

Tənbölən və bucaqların toplanması

1) OC şüası ∠AOB-nin tənbölənidir, ∠AOB = 76°. ∠AOC-ni tapın.
2) OC şüası ∠AOB-nin daxilindən keçir, ∠AOB = 132°, ∠AOC isə ∠COB-dən 3 dəfə böyükdür. Bu bucaqları tapın.
3) Tənbölən 75°-li bucağı hansı bucaqlara bölür? Cavabı dərəcə və dəqiqə ilə yazın.

Həllini göstər

1) Tənbölən bucağı yarıya bölür: ∠AOC = 76° : 2 = 38°.
2) ∠COB = x olsun, onda ∠AOC = 3x. Bucaqların toplanmasına görə 3x + x = 132°, 4x = 132°, x = 33°.
Cavab: ∠COB = 33°, ∠AOC = 99°. Yoxlama: 99° + 33° = 132°.
3) 75° : 2 = 37,5°. 0,5° = 0,5 · 60′ = 30′, deməli, hər bucaq 37°30′-dir.

Qonşu və qarşılıqlı bucaqlar. Perpendikulyar düz xətlər

Tərif

Qonşu bucaqlar

Bir tərəfi ortaq olan, digər iki tərəfi isə bir-birinin davamı olan (tamamlayıcı şüalar) iki bucaq. Qonşu bucaqlar birlikdə açıq bucaq əmələ gətirir.

α + β = 180°

burada:

α, βqonşu bucaqlar

Qonşu bucaqların cəmi 180°-dir, çünki onlar birlikdə açıq bucağı tam doldurur. Deməli, iti bucağa qonşu bucaq kordur, düz bucağa qonşu bucaq isə yenə düzdür.

Qonşu bucaqlar

1) Qonşu bucaqlardan biri 35°-dir. Digərini tapın.
2) Qonşu bucaqlardan biri digərindən 40° böyükdür. Bu bucaqları tapın.
3) Qonşu bucaqlar 2 : 7 nisbətindədir. Bu bucaqları tapın.

Həllini göstər

1) 180° − 35° = 145°.
2) Kiçik bucaq x olsun, onda böyük bucaq x + 40°. x + x + 40° = 180°, 2x = 140°, x = 70°.
Cavab: 70° və 110°.
3) Bucaqlar 2k və 7k olsun: 2k + 7k = 180°, 9k = 180°, k = 20°.
Cavab: 40° və 140°. Yoxlama: 40° + 140° = 180°.

Tərif

Qarşılıqlı bucaqlar

Birinin tərəfləri digərinin tərəflərinin davamı olan iki bucaq. İki düz xətt kəsişəndə iki cüt qarşılıqlı bucaq yaranır.

Qonşu cütlər: 1 və 2, 2 və 3, 3 və 4, 4 və 1. Qarşılıqlı cütlər: 1 və 3, 2 və 4 — eyni rəngli bucaqlar bərabərdir.

∠1 = ∠3, ∠2 = ∠4

burada:

∠1 və ∠3; ∠2 və ∠4iki cüt qarşılıqlı bucaq

Qarşılıqlı bucaqlar bərabərdir.

Niyə? ∠1 və ∠3 bucaqlarının hər biri ∠2-yə qonşudur. Buna görə ∠1 = 180° − ∠2 və ∠3 = 180° − ∠2, yəni ∠1 = ∠3. Eyni qayda ilə ∠2 = ∠4. Deməli, kəsişən iki düz xəttin dörd bucağından birini bilmək kifayətdir: ona qarşılıqlı bucaq özünə bərabərdir, qalan ikisi isə ona qonşudur.

Kəsişən düz xətlər

1) İki düz xətt kəsişir, yaranan bucaqlardan biri 58°-dir. Qalan üç bucağı tapın.
2) İki düz xətt kəsişəndə yaranan dörd bucaqdan ikisinin cəmi 100°-dir. Dörd bucağın hamısını tapın.
3) İki düz xətt kəsişəndə yaranan bucaqlardan biri digərindən 4 dəfə böyükdür. Dörd bucağın hamısını tapın.

Həllini göstər

1) 58°-yə qarşılıqlı bucaq da 58°-dir, ona qonşu iki bucağın hər biri isə 180° − 58° = 122°-dir.
2) Qonşu bucaqların cəmi 180° olardı, bunlarınkı isə 100°-dir. Deməli, bu iki bucaq qarşılıqlıdır və bərabərdir: hər biri 100° : 2 = 50°. Qalan ikisi 180° − 50° = 130°-dir.
3) Bu bucaqlar bərabər olmadığı üçün qarşılıqlı ola bilməz — onlar qonşudur: x + 4x = 180°, x = 36°.
Cavab: 36°, 144°, 36°, 144°.

Tərif

Perpendikulyar düz xətlər

Kəsişərkən düz bucaq əmələ gətirən iki düz xətt; yazılışı: a ⊥ b. Belə düz xətlərin əmələ gətirdiyi dörd bucağın hamısı 90°-dir.

Niyə dörd bucağın hamısı düzdür? 90°-li bucağa qonşu bucaq 180° − 90° = 90°-dir, qarşılıqlı bucaqlar isə bərabərdir. Müstəvinin istənilən nöqtəsindən verilmiş düz xəttə yalnız bir perpendikulyar düz xətt keçir. Nöqtədən düz xəttə endirilmiş perpendikulyarın uzunluğu nöqtədən düz xəttə qədər məsafə adlanır — bu, nöqtəni düz xəttin nöqtələri ilə birləşdirən parçaların ən qısasıdır.

Paralel düz xətlər və kəsən

Tərif

Paralel düz xətlər

Bir müstəvi üzərində yerləşən və kəsişməyən iki düz xətt; yazılışı: a ∥ b. Paralellik aksiomu: düz xəttin üzərində olmayan nöqtədən bu düz xəttə paralel yalnız bir düz xətt keçir.

İki düz xətti kəsən üçüncü düz xətt kəsən adlanır. a və b düz xətlərini c kəsəni kəsəndə hər kəsişmə nöqtəsində dörd bucaq, cəmi səkkiz bucaq yaranır. a ilə b arasında qalan 3, 4, 5, 6 bucaqları daxili, 1, 2, 7, 8 bucaqları isə xarici bucaqlardır. Bucaq cütlərinin adları onların yerini göstərir:

a ∥ b olduqda eyni rəngli bucaqlar bərabərdir.

Uyğun bucaqlar hər kəsişmədə eyni vəziyyətdədir: 1 və 5, 2 və 6, 3 və 7, 4 və 8.
Daxili çarpaz bucaqlar daxildədir və kəsənin müxtəlif tərəflərindədir: 3 və 5, 4 və 6 (xarici çarpaz bucaqlar isə 1 və 7, 2 və 8-dir).
Daxili birtərəfli bucaqlar daxildədir və kəsənin eyni tərəfindədir: 3 və 6, 4 və 5.

a ∥ b ⇒ ∠1 = ∠5, ∠3 = ∠5, ∠3 + ∠6 = 180°

burada:

∠1, ∠5uyğun bucaqlar (bərabərdir)
∠3, ∠5daxili çarpaz bucaqlar (bərabərdir)
∠3, ∠6daxili birtərəfli bucaqlar (cəmi 180°)

Paralel düz xətlərin kəsənlə əmələ gətirdiyi bucaqların xassələri: uyğun bucaqlar bərabərdir, daxili çarpaz bucaqlar bərabərdir, daxili birtərəfli bucaqların cəmi 180°-dir. Qalan cütlər üçün də eynidir.

Niyə belədir? Paralel düz xətlərin istiqaməti eynidir: b düz xəttini c boyunca sürüşdürüb a-nın üzərinə gətirsək, aşağı kəsişmədəki «xaç» yuxarıdakının dəqiq surətinə çevrilər — uyğun bucaqlar buna görə bərabərdir. (Həndəsə kursunda bu fakt paralellik aksiomuna əsaslanaraq ciddi isbat olunur.) Qalan iki xassə buradan çıxır: ∠3 = ∠7 (uyğun) və ∠7 = ∠5 (qarşılıqlı), deməli, ∠3 = ∠5. ∠6 isə ∠5-ə qonşudur, ona görə ∠3 + ∠6 = ∠5 + ∠6 = 180°.

Səkkiz bucağı tapmaq

Şəkildəki kimi a ∥ b və c kəsəndir.
1) ∠2 = 56°. Səkkiz bucağın hamısını tapın.
2) Daxili birtərəfli bucaqlardan biri digərindən 50° böyükdür. Onları tapın.
3) Səkkiz bucaqdan biri digərindən 3 dəfə böyükdür. Bu bucaqları tapın.

Həllini göstər

1) ∠4 = ∠2 = 56° (qarşılıqlı), ∠1 = ∠3 = 180° − 56° = 124° (qonşu). Uyğun bucaqlar bərabər olduğundan aşağı kəsişmədə də eyni qiymətlər alınır.
Cavab: ∠2 = ∠4 = ∠6 = ∠8 = 56°, ∠1 = ∠3 = ∠5 = ∠7 = 124°.
2) Birtərəfli bucaqların cəmi 180°-dir: x + x + 50° = 180°, x = 65°.
Cavab: 65° və 115°.
3) Bərabər olmayan iki bucaq burada iti və kor bucaqdır, onların cəmi 180°-dir: x + 3x = 180°, x = 45°.
Cavab: 45° və 135°.

Düz xətlərin paralellik əlamətləri

Tərs sual da vacibdir: bucaqlara baxıb iki düz xəttin paralel olduğunu necə bilək? Axı düz xətləri sonsuzadək uzadıb kəsişmədiklərini yoxlamaq mümkün deyil. Xassələr tərsinə də doğrudur — bunlar paralellik əlamətləridir.

∠1 = ∠5 və ya ∠3 = ∠5 və ya ∠3 + ∠6 = 180° ⇒ a ∥ b

burada:

a, biki düz xətt
∠1, ∠3, ∠5, ∠6c kəsəni ilə yaranan bucaqlar (nömrələr şəkildəki kimidir)

Paralellik əlamətləri: uyğun bucaqlar bərabərdirsə, ya daxili çarpaz bucaqlar bərabərdirsə, ya da daxili birtərəfli bucaqların cəmi 180°-dirsə, düz xətlər paraleldir. Üç şərtdən birinin ödənməsi kifayətdir.

İsbat (daxili çarpaz bucaqlar üçün). ∠3 = ∠5 olsun. a düz xəttinin c ilə kəsişmə nöqtəsindən b-yə paralel a′ düz xəttini çəkək; paralellik aksiomuna görə belə düz xətt yeganədir. a′ ∥ b olduğundan a′ ilə c arasındakı daxili çarpaz bucaq ∠5-ə, yəni ∠3-ə bərabərdir. Deməli, a və a′ həmin nöqtədən c-yə nəzərən eyni tərəfdə, eyni bucaq altında çəkilib — onlar üst-üstə düşür. Onda a = a′, yəni a ∥ b. Qalan iki əlamət buna gətirilir: uyğun bucaqlar bərabərdirsə, qarşılıqlı bucaqlar vasitəsilə daxili çarpaz bucaqlar da bərabər olur; birtərəfli bucaqların cəmi 180°-dirsə, qonşu bucaqlar vasitəsilə yenə eyni nəticə alınır.

Bir düz xəttə perpendikulyar olan iki düz xətt paraleldir: birtərəfli bucaqlar 90° + 90° = 180°.
Üçüncü düz xəttə paralel olan iki düz xətt bir-birinə paraleldir: əks halda onların kəsişmə nöqtəsindən üçüncü düz xəttə iki paralel keçərdi, bu isə aksioma ziddir.

Düz xətlər paraleldirmi?

a və b düz xətlərini c kəsəni kəsir (nömrələr şəkildəki kimidir). Hər halda a ∥ b olub-olmadığını müəyyən edin.
1) ∠4 = 47°, ∠6 = 47°.
2) ∠3 = 118°, ∠6 = 72°.
3) ∠1 = 125°, ∠8 = 55°.

Həllini göstər

1) ∠4 və ∠6 daxili çarpaz bucaqlardır və bərabərdir, deməli, a ∥ b.
2) ∠3 və ∠6 daxili birtərəfli bucaqlardır: 118° + 72° = 190° ≠ 180°, deməli, a və b paralel deyil. Kəsənin o biri tərəfində birtərəfli bucaqların cəmi (180° − 118°) + (180° − 72°) = 62° + 108° = 170° < 180°-dir; düz xətlər məhz bu tərəfdə kəsişir.
3) ∠8 = 55° olduğundan ona qonşu ∠5 = 180° − 55° = 125°. ∠1 = ∠5 = 125° — uyğun bucaqlar bərabərdir, deməli, a ∥ b.

Köməkçi paralel düz xətt ∠AMB-ni iki hissəyə bölür: hər hissə kənar bucaqlardan birinə bərabərdir.

Ziqzaq: köməkçi paralel düz xətt

a ∥ b. A nöqtəsi a-nın, B nöqtəsi b-nin üzərindədir, M nöqtəsi isə paralel düz xətlərin arasındadır (şəkil). a düz xətti ilə AM parçası arasındakı bucaq 40°, b düz xətti ilə BM parçası arasındakı bucaq 35°-dir. ∠AMB-ni tapın.

Həllini göstər

1) M nöqtəsindən a-ya paralel MK düz xəttini çəkək. O, b-yə də paraleldir (üçüncü düz xəttə paralel olan düz xətlər paraleldir).
2) a ∥ MK və AM kəsəndir: ∠KMA = 40° (daxili çarpaz bucaqlar).
3) b ∥ MK və BM kəsəndir: ∠KMB = 35° (daxili çarpaz bucaqlar).
4) ∠AMB = ∠KMA + ∠KMB = 40° + 35° = 75°.
Qayda: belə ziqzaqda ortadakı bucaq kənar iki bucağın cəminə bərabərdir.

Saat əqrəbləri arasındakı bucaq

Saat məsələləri bucaqlar üçün yaxşı məşqdir. Siferblat 12 bərabər hissəyə bölünüb, hər hissə 360° : 12 = 30°-dir. Dəqiqə əqrəbi 60 dəqiqədə tam dövrə vurur, yəni dəqiqədə 360° : 60 = 6° dönür. Saat əqrəbi isə bir saatda 30° dönür, yəni dəqiqədə cəmi 30° : 60 = 0,5°. Saat h:m olanda dəqiqə əqrəbi 12 rəqəmindən 6m dərəcə, saat əqrəbi isə 30h + 0,5m dərəcə dönmüş olur. Əqrəblər arasındakı bucaq bu iki ədədin fərqidir.

θ = |30° · h − 5,5° · m|

burada:

hsaat (0-dan 11-ə qədər; 12:00-dan sonrakı vaxt üçün h = 0)
mdəqiqələr (0–59)
θəqrəblər arasındakı bucaq; 180°-dən böyük alınarsa, 360° − θ götürülür

Düsturun mənşəyi: (30h + 0,5m) − 6m = 30h − 5,5m. Hər dəqiqədə dəqiqə əqrəbi saat əqrəbini 6° − 0,5° = 5,5° qabaqlayır.

Əqrəblər arasındakı bucaq

Əqrəblər arasındakı bucağı tapın: 1) 4:00; 2) 2:30; 3) 9:45; 4) 12:40.

Həllini göstər

1) θ = |30° · 4 − 0| = 120°.
2) θ = |30° · 2 − 5,5° · 30| = |60° − 165°| = 105°. Saat əqrəbi 2 ilə 3-ün tam ortasındadır, ona görə cavab 4 · 30° = 120° deyil.
3) θ = |30° · 9 − 5,5° · 45| = |270° − 247,5°| = 22,5° = 22°30′.
4) h = 0: θ = |0 − 5,5° · 40| = 220° > 180°, ona görə kiçik bucaq 360° − 220° = 140°-dir.

Əqrəblər nə vaxt üst-üstə düşür?

1) Saat 3:00-dan sonra əqrəblər ilk dəfə nə vaxt üst-üstə düşür?
2) Saat 12:00-da əqrəblər üst-üstə düşür. Növbəti dəfə bu nə vaxt olacaq?

Həllini göstər

1) Saat 3:00-da saat əqrəbi 90° qabaqdadır. Dəqiqə əqrəbi ona hər dəqiqə 5,5° yaxınlaşır: 90° : 5,5° = 16 4/11 dəqiqə ≈ 16 dəq 22 san.
Cavab: təxminən 3:16:22-də.
2) Dəqiqə əqrəbi saat əqrəbini tam dövrə — 360° qabaqlamalıdır: 360° : 5,5° = 65 5/11 dəqiqə ≈ 1 saat 5 dəq 27 san.
Cavab: təxminən 1:05:27-də. Deməli, əqrəblər 12 saatda 11 dəfə üst-üstə düşür.

Özünü yoxla: boşluğu doldur

1.35°-li bucağa qonşu bucaq °-dir.
2.İki düz xətt kəsişir, bucaqlardan biri 72°-dir. Ona qarşılıqlı bucaq °-dir.
3.a ∥ b, daxili birtərəfli bucaqlardan biri 64°-dir. O biri °-dir.
4.Tənbölən 130°-li bucağı iki °-li bucağa bölür.
5.Saat 5:00-da əqrəblər arasındakı bucaq °-dir.

Əsas fikirlər

İti bucaq 90°-dən kiçik, düz bucaq 90°, kor bucaq 90° ilə 180° arasında, açıq bucaq 180°-dir; 1° = 60′.
Tənbölən bucağı yarıya bölür; qonşu bucaqların cəmi 180°-dir, qarşılıqlı bucaqlar bərabərdir.
Perpendikulyar düz xətlər dörd düz bucaq əmələ gətirir; nöqtədən düz xəttə qədər məsafə perpendikulyarın uzunluğudur.
a ∥ b olduqda uyğun və daxili çarpaz bucaqlar bərabərdir, daxili birtərəfli bucaqların cəmi isə 180°-dir.
Bu üç şərtdən biri ödənirsə, düz xətlər paraleldir; bir düz xəttə perpendikulyar olan iki düz xətt paraleldir.
Əqrəblər arasındakı bucaq θ = |30° · h − 5,5° · m|-dir; 180°-dən böyükdürsə, 360° − θ götür.

Özünü yoxla

12 sual. Hər düzgün cavab XP qazandırır.

1 / 12

125°-li bucaq hansı növdür?