Формулы и лайфхаки

Например, 2³ = 2 · 2 · 2 = 8 и 5² = 5 · 5 = 25.

a делится на b тогда и только тогда, когда a можно записать в виде b · k. Поэтому кратные числа b — это b · 1, b · 2, b · 3, …

Если одно слагаемое делится на m, а другое нет, то ни сумма, ни разность на m не делятся. Если не делится ни одно слагаемое, правило ничего не говорит — нужно проверять.

n делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра чётная (0, 2, 4, 6, 8), на 5 — когда она 0 или 5, на 10 — когда она 0.

n делится на 4 тогда и только тогда, когда две его последние цифры образуют число, делящееся на 4 (00, 04, 08, 12, …, 96), и на 25 — когда они 00, 25, 50 или 75.

Число делится на 3 (на 9) тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3 (на 9). Более того, число и сумма его цифр дают одинаковые остатки при делении на 3 и на 9. У 4527 сумма цифр 18, поэтому 4527 = 9 · 503.

Если ни одно простое p с условием p · p ≤ n не делит n, то n — простое число. Для чисел меньше 100 достаточно проверить 2, 3, 5 и 7, так как 11 · 11 = 121.

Разложение простого числа состоит из одного множителя — самого числа: 13 = 13. Разложение любого составного числа единственно с точностью до порядка множителей.

НОД — произведение общих простых множителей, каждый с наименьшим показателем. Проверка: 120 : 6 = 20, 126 : 6 = 21, а 20 и 21 взаимно простые.

Замени большее число разностью и повторяй. Когда числа станут равными, это число и есть НОД.

Замени пару (a; b) парой (b; r). Когда остаток станет равен 0, последний делитель (последний ненулевой остаток) и есть НОД.

НОК — произведение всех простых множителей, каждый с наибольшим показателем. Проверка: 2520 : 120 = 21, 2520 : 126 = 20.

Верно только для двух чисел. Для взаимно простых чисел НОД = 1, поэтому НОК = a · b.

Остаток всегда меньше делителя: при делении на 7 возможны остатки 0, 1, …, 6. Наибольший остаток равен b − 1.

Замени числа остатками, вычисли и снова возьми остаток результата.

Черта сверху показывает, что a и b — цифры, а не произведение: a̅b̅ ≠ a · b. Например, 47 = 10 · 4 + 7.

При перестановке цифр разность делится на 9 (для трёхзначных — на 99), а сумма — на 11. Это помогает проверять ответ и сужать выбор.

Множители должны быть взаимно простыми: делимость на 12 нельзя проверять по 2 и 6 — 18 делится и на 2, и на 6, но не на 12.

Если a и b взаимно просты, то НОД = 1 и НОК = ab.

При умножении на 10, 100, 1000 запятая сдвигается на 1, 2, 3 знака вправо, при делении — влево. Умножить на 0,1 — то же, что разделить на 10, а разделить на 0,1 — то же, что умножить на 10.

Перенесите запятую в обоих числах на n знаков вправо — делитель станет натуральным числом, и дальше делим на натуральное число.

Число, противоположное противоположному, равно самому числу. Два стоящих рядом знака «−» взаимно уничтожаются: −(−(−5)) = −5, ведь из трёх знаков два сокращаются, а один остаётся.

Модуль положительного числа и нуля равен самому числу, а модуль отрицательного числа — противоположному ему числу. Поэтому |a| ≥ 0 и |−a| = |a|: модули противоположных чисел равны.

На расстоянии a от O лежат две точки: одна справа, другая слева. Если |x| = 0, то только x = 0; а у уравнения вида |x| = −3 решений нет, ведь расстояние не бывает отрицательным.

Из двух отрицательных чисел меньше то, у которого модуль больше: оно дальше от нуля, левее. Мороз −10 °C холоднее, чем −2 °C, а долг 50 манатов хуже долга 5 манатов.

Чтобы сложить числа с одинаковыми знаками, складывают их модули и ставят общий знак. На прямой мы дважды двигаемся в одну сторону; два долга вместе дают больший долг: (−3) + (−5) = −8.

Чтобы сложить числа с разными знаками, из большего модуля вычитают меньший и ставят знак того слагаемого, модуль которого больше. Сумма противоположных чисел равна нулю: a + (−a) = 0.

Вычитание всегда можно заменить сложением: уменьшаемое не меняется, знак «−» становится «+», а вычитаемое заменяют противоположным числом. В частности: a − (−b) = a + b.

Расстояние между двумя точками равно модулю разности их координат. Если из большей координаты вычесть меньшую, модуль не нужен: результат и так положителен.

Произведение двух чисел с одинаковыми знаками положительно, с разными знаками — отрицательно. Модуль произведения равен произведению модулей множителей. Если один из множителей равен 0, произведение равно 0.

Частное чисел с одинаковыми знаками положительно, с разными знаками — отрицательно. При делении 0 на любое отличное от нуля число получается 0.

Чётная степень отрицательного числа положительна, нечётная — отрицательна. В записи −aⁿ сначала вычисляют степень, а потом берут противоположное число: степень выполняется раньше, чем знак «−» перед ней.

Переместительный, сочетательный и распределительный законы выполняются и для отрицательных чисел, обыкновенных и десятичных дробей. Для вычитания и деления переместительного закона нет.

Непустых подмножеств 2ⁿ − 1, подмножеств, отличных от самого множества, тоже 2ⁿ − 1, а подмножеств, содержащих данный элемент, — 2ⁿ⁻¹. Число k-элементных подмножеств равно Cₙᵏ (см. урок «Комбинаторика»).

A \ B и B \ A — разные множества; объединение и пересечение переместительны.

Свойства подмножества и распределительные законы: пересечение распределяется относительно объединения, а объединение — относительно пересечения.

В сумме n(A) + n(B) общие элементы посчитаны дважды, поэтому их вычитают один раз. Отсюда: n(A \ B) = n(A) − n(A ∩ B).

Для трёх множеств: складываем множества, вычитаем попарные пересечения и возвращаем тройное (оно трижды прибавлено и трижды вычтено).

Распределительный закон умножения: множитель перед скобками умножается на каждый член в скобках. Слева направо формула раскрывает скобки, справа налево — выносит общий множитель за скобки: 5x − 2x = (5 − 2)x = 3x.

Если перед скобками стоит «+», знаки членов в скобках сохраняются. Если стоит «−», знаки всех членов меняются на противоположные, ведь «−» означает умножение на −1: −(x − 7) = (−1) · x + (−1) · (−7) = −x + 7.

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: x² · x³ = (x · x) · (x · x · x) = x⁵. При возведении степени в степень показатели перемножаются: (x²)³ = x² · x² · x² = x⁶. При возведении произведения в степень в эту степень возводится каждый множитель: (2x)³ = 2³x³ = 8x³. Подробно эти правила разбираются на уроке «Степень с целым показателем и её свойства».

Каждый член первого многочлена умножается на каждый член второго, затем приводятся подобные. Причина — дважды применённый распределительный закон: (a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d). При большем числе членов правило то же: 2 члена · 3 члена = 6 произведений.

Словами: квадрат первого плюс (для разности — минус) удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго. Квадрат разности получается из квадрата суммы, ведь a − b = a + (−b): меняется только знак среднего члена, а квадраты всегда со знаком «+».

Произведение разности двух выражений на их сумму равно разности их квадратов. Слева направо: произведение раскрывается за один шаг. Справа налево: разность квадратов записывается произведением — это пригодится в устном счёте и при разложении на множители.

Коэффициенты 1, 3, 3, 1; показатель a убывает от 3 до 0, показатель b растёт от 0 до 3. В кубе разности знаки чередуются: +, −, +, −. Степень каждого члена равна 3.

Проверка: (a + b)(a² − ab + b²) = a³ − a²b + ab² + a²b − ab² + b³ = a³ + b³ — четыре средних члена попарно уничтожаются. Точно так же (a − b)(a² + ab + b²) = a³ − b³.

Распределительный закон справа налево. В скобках должно остаться столько же членов, сколько их было в исходном многочлене, — сравнение числа членов служит быстрой проверкой.

Общий множитель выносится дважды: сначала из каждой группы, затем из всего выражения. Если скобки не совпали, сгруппируйте члены иначе или вынесите из одной группы отрицательный множитель.

Два члена — разность квадратов, сумма или разность кубов; три члена — возможно, полный квадрат. Сумма квадратов a² + b² на множители не раскладывается (с действительными коэффициентами).

Начинайте поиск с произведения: запишите q всеми способами как произведение двух множителей и выберите пару с суммой p.

Одна часть уравнения должна быть произведением, а другая — нулём. Из записи x(x − 5) = 6 ничего не следует.

Систему записывают с фигурной скобкой. Решение этой системы — пара (4; 3): 4 + 3 = 7 и 4 − 3 = 1. А пара (5; 2) — не решение: она удовлетворяет первому уравнению, но не второму.

Единицы должны быть согласованы: 1 м/с = 3,6 км/ч, 20 мин = 1/3 ч.

Главная идея: количество чистого вещества до и после смешивания одинаково. Добавление воды — это c₂ = 0, добавление чистого вещества — c₂ = 1 (100%).

График линейной функции — прямая, поэтому для его построения достаточно двух точек. В некоторых учебниках, например в Турции, эту формулу записывают как y = mx + n.

Сумма смежных углов равна 180°, потому что вместе они заполняют развёрнутый угол. Значит, угол, смежный с острым, тупой, а угол, смежный с прямым, тоже прямой.

Вертикальные углы равны.

Свойства углов, образованных параллельными прямыми и секущей: соответственные углы равны, накрест лежащие углы равны, сумма односторонних углов равна 180°. То же верно для остальных пар.

Признаки параллельности: если соответственные углы равны, или накрест лежащие углы равны, или сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны. Достаточно выполнения одного из трёх условий.

Откуда формула: (30h + 0,5m) − 6m = 30h − 5,5m. Каждую минуту минутная стрелка обгоняет часовую на 6° − 0,5° = 5,5°.

Теорема о сумме углов треугольника: сумма внутренних углов любого треугольника равна 180°.

Теорема о внешнем угле: внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Доказательство: ∠BCD = 180° − ∠C, и ∠A + ∠B тоже равно 180° − ∠C. Следствие: внешний угол больше каждого внутреннего угла, не смежного с ним.

Неравенство треугольника: каждая сторона треугольника меньше суммы двух других. Отсюда другая форма: каждая сторона больше разности двух других, |b − c| < a < b + c.

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла — большая сторона; против равных сторон лежат равные углы.

Первый признак (СУС, сторона–угол–сторона): если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Второй признак (УСУ, угол–сторона–угол): если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Третий признак (ССС, сторона–сторона–сторона): если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Признак по гипотенузе и катету: если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны. Случай «две стороны и угол не между ними» работает только здесь — потому что угол прямой.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны; и обратно: если два угла треугольника равны, то он равнобедренный.

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой; медиана и высота, проведённые к основанию, — тот же отрезок.

Каждая точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов отрезка; и обратно: каждая точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре.

Свойства параллелограмма: противоположные стороны и противоположные углы равны, сумма соседних углов 180°, диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Признаки параллелограмма: четырёхугольник является параллелограммом, если две его противоположные стороны равны и параллельны, или если противоположные стороны попарно равны, или если диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Диагонали прямоугольника равны; и обратно: параллелограмм с равными диагоналями — прямоугольник.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам; и обратно: параллелограмм с перпендикулярными диагоналями — ромб.

Теорема Фалеса: если на одной стороне угла отложить последовательно равные отрезки и через их концы провести параллельные прямые, то они отсекут равные отрезки и на другой стороне угла.

В равнобедренной трапеции углы при основании равны и диагонали равны; каждое из этих свойств является и признаком.

Периметр любого многоугольника — сумма его сторон; остальные три формулы — короткая запись для равных сторон.

Соседние единицы длины отличаются в 10 раз, а соседние единицы площади — в 100 раз. При переходе к меньшей единице умножаем, к большей — делим.

Площадь прямоугольника равна произведению соседних сторон, площадь квадрата — квадрату его стороны.

Основанием можно взять любую сторону, лишь бы высота была проведена именно к ней: S = a · h₁ = b · h₂.

В прямоугольном треугольнике один катет — высота к другому, поэтому S = ½ · a · b (a, b — катеты).

Формула верна для любого выпуклого четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями: ромба, квадрата (S = d²/2), дельтоида.

Длина окружности в π раз больше диаметра.

Площадь кольца = площадь большого круга − площадь малого круга.

Длина меняется как радиус, а площадь — как квадрат радиуса.

Отсюда: c = √(a² + b²), a = √(c² − b²).

Первый признак (по двум углам): если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

Высота — среднее пропорциональное проекций катетов, а каждый катет — среднее пропорциональное гипотенузы и своей проекции.

При D = 0 ax² + bx + c = a(x − x₁)²; при D < 0 трёхчлен на линейные множители не раскладывается. Другие способы — вынесение общего множителя, группировка — в уроке «Разложение многочлена на множители».

При a > 0 вершина — самая низкая точка, при a < 0 — самая высокая. Вершина (0; 0), ось симметрии — Oy. График y = −ax² — зеркальное отражение графика y = ax² относительно оси Ox.

Вершина — точка (m; n), ось симметрии — прямая x = m. График получается параллельным переносом параболы y = ax² на m единиц по горизонтали и на n единиц по вертикали; её форма не меняется.

Это разложенный на множители вид квадратичной функции (формула ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂) из урока «Квадратные уравнения»); он существует при D ≥ 0. Вершина — посередине между корнями: x₀ = (x₁ + x₂)/2.

n-й член = первый член + (n − 1) шагов.

Показатель степени на 1 меньше номера члена — как n − 1 в арифметической прогрессии.

Квадрат среднего члена равен произведению крайних. Для положительных членов bₙ = √(bₙ₋₁ · bₙ₊₁).

Это тождество следует из теоремы Пифагора. Например, если для острого угла sin α = 0,6, то cos α = √(1 − 0,36) = √0,64 = 0,8.

Размах находится быстро, но зависит только от двух крайних значений, поэтому один выброс сильно его меняет.

Переходите к противоположному событию, когда «не A» или «ни одного» подсчитать проще, чем само A, — особенно в задачах «хотя бы один».

Правило сложения верно только для несовместных событий. Если A и B могут наступить вместе, общие исходы посчитаны дважды, и их нужно один раз вычесть: P(A или B) = P(A) + P(B) − P(A и B).

Правило умножения — только для независимых событий. Вероятность того, что наступят все события сразу, никогда не больше наименьшего множителя.

Основное свойство отношения: оба члена можно умножить или разделить на одно и то же число. Поэтому отношение сокращают так же, как дробь.

Основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних. Отсюда находится любой неизвестный член, например d = b · c / a.

Пример: дорога длиной 4,2 см на карте масштаба 1 : 500 000 имеет длину 4,2 · 500 000 = 2 100 000 см = 21 км.

В порядке действий возведение в степень выполняется раньше умножения: 2 · 3² = 2 · 9 = 18, а (2 · 3)² = 36 — другое выражение.

Чётная степень отрицательного числа положительна, нечётная — отрицательна. Значит, чётная степень любого числа не может быть отрицательной: x² ≥ 0, x⁴ ≥ 0.

При возведении степени в степень показатели перемножаются: (a³)² = a³ · a³ = a³⁺³ = a⁶. Скобки важны: 2^(3²) = 2⁹ = 512, а (2³)² = 2⁶ = 64.

Если основание больше 1, большему показателю соответствует большая степень; если основание между 0 и 1 — наоборот: 0,5² = 0,25 > 0,5³ = 0,125. При одинаковом натуральном показателе больше степень большего положительного основания.

Если запятая переносится на k знаков влево, то n = k (числа больше 10); если на k знаков вправо, то n = −k (числа меньше 1).

Два условия определения: квадрат корня равен подкоренному выражению, а сам корень неотрицателен. Уравнение x² = 49 имеет два корня (x = ±7), но √49 — только 7.

Корень не может быть отрицательным, поэтому корень из квадрата даёт не само число, а его модуль: √((−5)²) = √25 = 5 = |−5|. При a ≥ 0 √(a²) = a, при a < 0 √(a²) = −a.

Из-под корня число выходит как квадратный корень, а под корень вносится в квадрате. В буквенных выражениях не забывай про модуль: √(50x²) = 5|x|√2.

Большему числу соответствует больший корень. Поэтому корни сравнивают двумя способами: вносят множители под корень и сравнивают подкоренные числа или, если обе части положительны, возводят их в квадрат — знак неравенства при этом не меняется.

Первое равенство — это определение корня. Два других обобщают правило √(a²) = |a|: ⁴√((−2)⁴) = 2, но ∛((−2)³) = −2.

Прибавление (вычитание) одного и того же числа и умножение (деление) на положительное число сохраняют знак. При умножении или делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

Неравенства одного смысла можно почленно складывать, а с положительными частями — почленно перемножать. Почленно вычитать и делить нельзя: чтобы оценить a − b, сначала переходят от b к −b, а затем складывают.

«Больше обоих» — больше большего; «меньше обоих» — меньше меньшего; «между» — интервал; если штриховки направлены в разные стороны друг от друга, решений нет.

«Меньше» даёт один интервал вокруг a (как система), «больше» — два луча вне его (слово «или», объединение ∪). При ≤ и ≥ концы a ± b входят в ответ. Если b < 0, то неравенство |x − a| < b не имеет решений, а |x − a| > b верно при любом x, ведь расстояние не бывает отрицательным.

Из-за √(a²) = |a| пишут √((x − 3)²) = |x − 3|, а не x − 3. Равенство |a|² = a² позволяет возводить два модуля в квадрат.

Если справа число, модуль распадается на два уравнения; если оно отрицательно, решений нет.

Модуль неотрицателен, поэтому и правая часть не может быть отрицательной: сначала запиши условие g(x) ≥ 0, а в конце проверь им каждый корень.

Обе части неотрицательны, поэтому дополнительное условие не нужно. Единственный корень уравнения |x − a| = |x − b| (a ≠ b) — середина отрезка: x = (a + b)/2.

«Меньше» — система (оба условия вместе), «больше» — совокупность (хотя бы одно). С двумя модулями обе части неотрицательны, поэтому можно возвести в квадрат: f² < g².

Почему: при x > x₂ обе скобки положительны; между корнями x − x₁ > 0, но x − x₂ < 0; при x < x₁ обе отрицательны, и произведение снова положительно. Запомните для a > 0: «между корнями минус, снаружи плюс».

Правее наибольшего нуля все скобки положительны, поэтому и произведение положительно; при переходе через нуль меняет знак ровно одна скобка. Это верно, когда все множители имеют вид (x − a), то есть коэффициент при x положителен.

Правило действует и для нулей знаменателя: множитель (x − 2)² в знаменателе не меняет знак в точке 2, но 2 всё равно не входит в ответ.

При a = 0 уравнение имеет вид bx + c = 0: один корень при b ≠ 0; при b = 0 либо корней нет, либо корень — любое x.

Для нестрогих неравенств (≥ 0, ≤ 0) берут D ≤ 0. Если a зависит от параметра, проверь a = 0 отдельно: bx + c сохраняет знак при всех x, только если b = 0.

При a ≥ 0 возводить в квадрат безопасно: f(x) = a² ≥ 0, поэтому условие области определения выполняется само. Корень нечётной степени может иметь любой знак, а возведение в куб — равносильный переход: посторонние корни не появляются.

Возведение в квадрат верно только в одну сторону: новое уравнение сохраняет все корни старого, но к ним добавляются корни уравнения A = −B. Это и есть посторонние корни.

Условие f(x) ≥ 0 писать не нужно: f(x) = g²(x) ≥ 0 выполняется само. g²(x) означает (g(x))².

В произведении корни уравнения f(x) = 0 годятся только в области определения (g(x) ≥ 0).

Реши уравнение относительно t, отбрось отрицательные значения и вернись к уравнению √f(x) = t. Для корней вида ⁴√x берут t = ⁴√x, тогда √x = t².

При a < 0 неравенство √f(x) < a решений не имеет, а √f(x) > a верно на всей области определения (f(x) ≥ 0). При знаках ≤ и ≥ случай равенства тоже входит в решение.

Во втором случае объединяем (∪) решения двух систем. Условие f > g² обеспечивает и f ≥ 0.

Вырази x через a и найди, при каких a это возможно. В простых случаях есть путь короче: оценить части (…)² ≥ 0, √(…) ≥ 0, |…| ≥ 0.

У возрастающей функции большему значению аргумента соответствует большее значение функции, график идёт вверх слева направо. Возрастающая или убывающая функция принимает каждое значение не более одного раза, поэтому уравнение f(x) = a имеет не более одного корня.

График чётной функции симметричен относительно оси Oy, график нечётной — относительно начала координат. Большинство функций не являются ни чётными, ни нечётными.

Если T — период, то 2T, 3T, −T тоже периоды: f(x + nT) = f(x). График состоит из повторяющегося куска длиной T.

Каждая точка графика переходит (x; y) → (x + a; y + b). Область определения сдвигается на a, множество значений — на b.

Если преобразований несколько, действуй по порядку: сначала преобразования с x (сдвиг, сжатие), затем растяжения и отражения, потом сдвиг по вертикали, а внешний модуль — в самом конце.

Если точка (a; b) лежит на графике f, то точка (b; a) лежит на графике g. Значит, графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой y = x.

Показательная функция: область определения — все действительные числа, множество значений — (0; +∞). При a > 1 функция возрастает, при 0 < a < 1 — убывает.

За каждый промежуток T величина умножается на a. Сложные проценты: S = S₀ · (1 + p/100)ⁿ (T = 1 год, n — число лет). Радиоактивный распад: m = m₀ · (1/2)^(t/T), где T — период полураспада.

Модель непрерывного роста и убывания. Степени e находят на калькуляторе: e ≈ 2,718, e⁻¹ ≈ 0,368, e^0,1 ≈ 1,105.

Почему это верно: aˣ монотонна и принимает каждое значение только один раз, поэтому у равных степеней равны и показатели. Уравнение aˣ = b при b > 0 имеет единственное решение, при b ≤ 0 решений нет.

У степеней, показатели которых отличаются на постоянное число, есть общий множитель aˣ. Выносим его за скобки, в скобках остаётся обычное число.

Уравнение из a^(2x), aˣ и свободного члена превращается в квадратное уравнение относительно t. Так как a^(−x) = 1/t, уравнения вида aˣ + a^(−x) решаются так же.

Если основание меньше 1, знак меняется. Если правая часть отрицательна или равна нулю, решать нечего: aˣ > −3 верно при любом x, а aˣ < 0 — никогда.

Логарифм — это показатель степени. Одно и то же равенство читается двумя способами: 2³ = 8 ⇔ log₂8 = 3. Частные случаи: logₐ1 = 0, так как a⁰ = 1; logₐa = 1, так как a¹ = a.

Основное логарифмическое тождество: если возвести a в степень, равную логарифму b, получится b. Возведение в степень и логарифмирование «отменяют» друг друга, как сложение и вычитание.

Логарифм произведения равен сумме логарифмов множителей. Читается и справа налево: сумма логарифмов с одинаковым основанием — логарифм произведения.

Функция, обратная к y = aˣ. Область определения — (0; +∞), множество значений — все действительные числа.

Сравнение логарифмов. Если основания разные, сравни каждый логарифм с «опорным» числом, например 0 или 1: 1 = logₐa, 2 = logₐa².

Простейшее логарифмическое уравнение решается прямо по определению. Отдельно проверять f(x) > 0 не нужно: aᵇ всегда положительно.

Логарифмическая функция монотонна, поэтому у равных логарифмов равны и аргументы. Достаточно, чтобы положительным был один из аргументов — второй ему равен; проверяй тот, что проще.

Если в уравнении есть только logₐx и его степени, получается обычное уравнение относительно t. В отличие от замены t = aˣ, здесь на t нет ограничений. Следи за записью: lg²x = (lg x)², а lg(x²) = 2 lg x (x > 0).

Логарифмирование: если обе части уравнения положительны, можно взять от них логарифм по одному основанию. Это главный способ для показательных уравнений, основания которых не приводятся к одному числу, и для уравнений вида x^(lg x), где неизвестное стоит и в основании, и в показателе.

В обоих случаях достаточно, чтобы был положителен меньший аргумент: больший тогда положителен автоматически. Число тоже записывай как логарифм: b = logₐ(aᵇ).

При полном обороте (α = 2π) получаются длина окружности 2πR и площадь круга πR². В градусах те же формулы выглядели бы громоздко: l = πRα°/180°.

Периодичность. Период синуса и косинуса 2π, тангенса и котангенса — π: после половины оборота обе координаты x и y меняют знак, а их отношение не меняется.

Чётность. У угла −α координата y меняет знак, а x — нет: косинус чётный, синус, тангенс и котангенс нечётные.

Основное тригонометрическое тождество. Точка P(cos α; sin α) лежит на единичной окружности, уравнение которой x² + y² = 1 (теорема Пифагора). Тождество верно для любого угла, а не только для острого.

Косинус суммы и разности. Знак между произведением косинусов и произведением синусов противоположен знаку в скобках.

Синус суммы и разности. Получается из формулы приведения: sin(α + β) = cos(π/2 − α − β) = cos((π/2 − α) − β), затем применяем косинус разности.

Формулы двойного угла. Это мост между «2α» и «α»: слева направо они уменьшают угол вдвое, справа налево — сворачивают выражение.

Формулы преобразования произведения в сумму получаются сложением или вычитанием формул сложения попарно. Замена произведения суммой нужна при интегрировании и сложении колебаний.

Синус — нечётная функция, поэтому синусоида симметрична относительно начала координат.

arcsin и arctg — нечётные функции. arccos нечётным не является: значениям a и −a соответствуют точки единичной окружности, симметричные относительно оси Oy, и сумма их углов равна π.

Две серии корней: arccos a + 2πn и −arccos a + 2πn — две точки, симметричные относительно оси Ox.

В развёрнутом виде: x = arcsin a + 2πn и x = π − arcsin a + 2πn. При |a| > 1 корней нет.

Здесь на a нет ограничений, потому что тангенс и котангенс принимают все действительные значения; шаг серии — π, а не 2π.

Чтобы найти координаты вектора, из координат конца вычитают координаты начала («конец минус начало»). Правило работает и в пространстве.

Это теорема Пифагора. В пространстве у вектора три координаты и |a⃗| = √(x² + y² + z²): например, длина вектора (2; 3; 6) равна √(4 + 9 + 36) = 7.

Векторы складывают и вычитают покоординатно; при умножении на число каждая координата умножается на это число.

Скалярное произведение — не вектор, а число (скаляр), отсюда и название. a⃗ · a⃗ = |a⃗|².

Знак скалярного произведения показывает угол: > 0 — острый, = 0 — прямой (векторы перпендикулярны), < 0 — тупой.

Правило произведения: если выбор делается в несколько последовательных шагов («и это, и то»), числа вариантов на каждом шаге перемножаются.

Правило суммы: если выбирают «либо это, либо то» и группы не пересекаются, числа вариантов складываются.

Число перестановок: количество способов расставить n различных элементов в ряд. На первое место — n вариантов, на второе — n − 1 и так далее.

Первое свойство: выбрать k элементов — то же самое, что «не выбрать» остальные n − k. Второе свойство — правило построения треугольника Паскаля: C₅² + C₅³ = 10 + 10 = 20 = C₆³.

Бином Ньютона. Общий член: Tₖ₊₁ = Cₙᵏ · aⁿ⁻ᵏ · bᵏ. В разложении n + 1 слагаемое, сумма коэффициентов равна 2ⁿ. В разложении (a − b)ⁿ знаки чередуются: +, −, +, …

Теорема Пифагора в треугольнике OAH: AH² + d² = R², а AB вдвое больше AH. Чем ближе хорда к центру, тем она длиннее.

Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны, а PO — биссектриса угла APB.

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается, то есть равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Произведения отрезков пересекающихся хорд равны. Из внешней точки: произведение всей секущей на её внешнюю часть равно квадрату касательной; поэтому для двух секущих тоже PA · PB = PC · PD.

Около четырёхугольника, сумма противоположных углов которого 180°, можно описать окружность; в выпуклый четырёхугольник с равными суммами противоположных сторон можно вписать окружность.

Формулы приведения: синус, косинус и тангенс тупого угла сводятся к острому углу. Синус не меняется, косинус и тангенс меняют знак.

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними. При C = 90° получается знакомая формула прямоугольного треугольника S = ½ab.

Квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. При C = 90° cos C = 0, и получается теорема Пифагора.

Расстояние между двумя точками равно квадратному корню из суммы квадратов разностей координат. Порядок точек неважен: (x₁ − x₂)² = (x₂ − x₁)². Это также длина вектора AB⃗.

Общее уравнение прямой. При B = 0 получается вертикальная прямая x = −C/A, при A = 0 — горизонтальная прямая y = −C/B, при C = 0 — прямая, проходящая через начало координат.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку M₀(x₀; y₀) с угловым коэффициентом k. При x = x₀ получаем y = y₀ — прямая действительно проходит через M₀.

У параллельных прямых угловые коэффициенты равны, у перпендикулярных их произведение равно −1, то есть k₂ = −1/k₁.

В общем виде: если скалярное произведение векторов нормали равно нулю, прямые перпендикулярны; если векторы нормали коллинеарны, прямые параллельны или совпадают.

Уравнение окружности. Если центр в начале координат: x² + y² = R². Здесь a и b — координаты центра, не путай их с числами из уравнения прямой.

Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания (см. урок «Окружность: хорды, касательные, центральные и вписанные углы»).

Угол между скрещивающимися прямыми: одну прямую параллельно переносим до пересечения с другой. Этот угол не больше 90°; если он равен 90°, скрещивающиеся прямые называют перпендикулярными.

Теорема Пифагора в прямоугольном треугольнике AHM. Следствия: перпендикуляр короче любой наклонной; равные наклонные из одной точки имеют равные проекции, и наоборот; бо́льшая наклонная имеет бо́льшую проекцию.

Теорема о трёх перпендикулярах: прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной перпендикулярно её проекции, перпендикулярна и самой наклонной; верна и обратная теорема. «Три перпендикуляра»: AH ⊥ α, a ⊥ HM и a ⊥ AM.

Теорема о площади ортогональной проекции. На следующем уроке по ней в одну строку находится боковая поверхность пирамиды.

Теорема Эйлера верна для любого выпуклого многогранника — отличный способ проверить подсчёт.

Шесть граней — три пары равных: ab, bc и ca. Объём — площадь основания, умноженная на высоту.

«Теорема Пифагора в пространстве»: сначала диагональ основания AC² = a² + b², затем в прямоугольном треугольнике ACC₁: AC₁² = AC² + c².

Для куба a = b = c. Диагональ грани равна a√2, диагональ куба — a√3.

Формула S_бок = P_осн · h — для прямой призмы: её боковые грани — прямоугольники высоты h. V = S_осн · h верна для любой призмы.

Формула боковой поверхности — для правильной пирамиды (у всех боковых граней высота m). Формула объёма верна для любой пирамиды: объём пирамиды — треть объёма призмы с тем же основанием и той же высотой. Например, куб делится на три равные четырёхугольные пирамиды с общей вершиной, объём каждой a³/3.

Два прямоугольных треугольника в правильной пирамиде: SOM (с апофемой) и SOA (с боковым ребром). Для квадрата r = a/2, R = a√2/2; для равностороннего треугольника r = a√3/6, R = a√3/3.

Формула объёма получается как разность объёмов двух пирамид; формула боковой поверхности — сумма площадей равных трапеций (для правильной усечённой пирамиды).

Полная поверхность = боковая + два основания: 2πrh + 2πr².

Боковая поверхность — площадь сектора: ½ · l · 2πr = πrl. Конус похож на пирамиду: его объём — треть объёма цилиндра с тем же основанием и высотой.

Объём — разность объёмов двух конусов; это «круглый» вариант формулы усечённой пирамиды V = ⅓ · h · (S₁ + S₂ + √(S₁ · S₂)).

Теорема Пифагора в прямоугольном треугольнике OO₁K: O₁ — центр сечения, K — точка его окружности.

Предел существует, только если оба односторонних предела существуют и равны.

Две равносильные записи непрерывности: предел равен значению, или малое приращение даёт малое приращение.

Приращение всегда вычисляется как «новое значение минус старое» — и для аргумента, и для функции.

Геометрический смысл производной: f′(x₀) — угловой коэффициент касательной к графику в точке с абсциссой x₀.

Уравнение касательной к графику в точке с абсциссой x₀. Ответ обычно приводят к виду y = kx + b.

Условие параллельности: угловой коэффициент касательной равен угловому коэффициенту данной прямой. Сколько корней у уравнения, столько и касательных; если корней нет, такой касательной нет.

Условие перпендикулярности. Отсюда k₂ = −1/k₁: угловой коэффициент «переворачиваем и меняем знак».

Физический смысл производной. При v > 0 тело движется в положительном направлении оси (вперёд), при v < 0 — в противоположном (назад), а при v = 0 в этот момент оно останавливается.

Ускорение — первая производная скорости и вторая производная координаты.

Сила тока — производная заряда по времени, мощность — производная работы по времени. Школьные формулы I = q / t и N = A / t верны, когда ток и мощность постоянны.

Предельные издержки — примерная стоимость следующей, (x + 1)-й единицы продукции. Та же идея работает в биологии: если n(t) — число бактерий, то n′(t) — скорость роста колонии (бактерий в час).

Производная числа, в котором нет x, равна 0; производная линейной функции постоянна и равна её угловому коэффициенту.

Формула производной степени: показатель выносится вперёд множителем, а сам показатель уменьшается на 1.

Производная показательной функции пропорциональна самой функции; для основания e коэффициент равен ln e = 1.

Производная синуса — косинус, производная косинуса — минус синус. На интервале (0; π) sin x > 0, а cos x убывает — отсюда и минус.

Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных. Правило верно для любого числа слагаемых: (u₁ + u₂ + … + uₙ)′ = u₁′ + u₂′ + … + uₙ′.

Постоянный множитель выносится за знак производной. Постоянная в знаменателе — тоже множитель: x³/6 = (1/6) · x³.

Многочлен дифференцируют почленно: к каждому члену применяют (xᵏ)′ = k · xᵏ⁻¹, коэффициент сохраняется, а свободный член a₀ исчезает. Степень производной на единицу меньше.

Производная произведения: «производная первого множителя на второй плюс первый на производную второго». Слагаемые можно менять местами: u · v′ + u′ · v — тоже верно.

Сколько множителей, столько и слагаемых: в каждом слагаемом по очереди дифференцируется ровно один множитель, остальные остаются без изменений.

Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции (взятой от внутренней функции) на производную внутренней функции.

Дифференцируйте скобку как x, затем умножьте на коэффициент при x. Например, (sin 3x)′ = 3 cos 3x, (e^(−2x))′ = −2e^(−2x).

Синус и косинус. Аргумент u остаётся без изменений, а минус в (cos u)′ не теряется.

Три слоя — три множителя; производная каждого слоя берётся от того, что стоит у него внутри. В записи Лейбница: dy/dx = dy/du · du/dv · dv/dx, где u = g(v), v = h(x).

Достаточное условие монотонности: если производная положительна, функция возрастает, если отрицательна — убывает.

Условие постоянства: функция, производная которой на интервале равна нулю, постоянна на этом интервале.

Необходимое условие экстремума (теорема Ферма): в точке экстремума дифференцируемой функции касательная горизонтальна.

Достаточное условие экстремума: при переходе через критическую точку производная должна менять знак. Если знак не меняется, экстремума нет.

Достаточное условие экстремума по второй производной. Если f″(x₀) = 0, признак ничего не говорит — вернитесь к схеме знаков.

Наибольшее и наименьшее значения непрерывной на отрезке функции выбирают среди её значений на концах и в критических точках внутри отрезка.

Выручка — это цена, умноженная на количество проданного; прибыль — выручка за вычетом себестоимости всех проданных товаров.

Общий вид первообразных. В вопросе ГЭЦ «найдите общий вид» в ответе обязательно должно быть + C.

Правила 1 и 2: первообразная суммы равна сумме первообразных; постоянный множитель можно вынести за знак интеграла. Оба правила следуют из соответствующих правил дифференцирования.

Каждое интегрирование даёт постоянную; её находят из начального условия.

Площадь криволинейной трапеции равна разности значений первообразной в точках b и a.

Формула Ньютона — Лейбница связывает предел интегральных сумм с первообразной. C не нужна: (F(b) + C) − (F(a) + C) = F(b) − F(a).

При равных пределах интеграл равен 0; перестановка пределов меняет знак; при разбиении отрезка интегралы складываются (аддитивность). Правила суммы и постоянного множителя — как для первообразной.

График нечётной функции симметричен относительно начала координат — правая и левая части «съедают» друг друга. У чётной функции две половины равны.

Площадь фигуры между двумя линиями: «верхняя минус нижняя».

Путь — интеграл скорости, работа — интеграл силы.

Теорема Больцано — Коши о промежуточном значении. В общем виде: непрерывная функция принимает все значения между f(a) и f(b).

Линейность: производная суммы равна сумме производных, постоянный множитель выносится за знак производной.

Производная произведения (правило Лейбница)

Полезные закономерности: (eᵏˣ)⁽ⁿ⁾ = kⁿeᵏˣ; производные sin x повторяются через 4 шага: sin → cos → −sin → −cos → sin.

Уравнение касательной. Нормаль (прямая, перпендикулярная касательной) имеет угловой коэффициент −1/f′(a).

Линейное приближение: вблизи точки a график почти совпадает со своей касательной.

Неопределённый интеграл — это всё семейство первообразных. Линейность: ∫ (a · f + b · g) dx = a ∫ f dx + b ∫ g dx.

Формула Ньютона — Лейбница (вторая часть основной теоремы). Постоянная C сокращается в разности, поэтому подходит любая первообразная.

Площадь между двумя кривыми: «верхняя минус нижняя», затем интегрируем.

В определённом интеграле меняйте и пределы: x = a переходит в u = g(a), x = b — в u = g(b).

Формула интегрирования по частям. Для определённого интеграла: ∫ₐᵇ u dv = [uv]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du.

Та же идея — для функции, неограниченной у конца отрезка: ∫₀¹ f(x) dx = lim (t→0⁺) ∫ₜ¹ f(x) dx.

Метод дисков: фигура под y = f(x), a ≤ x ≤ b, вращается вокруг оси x.

Работа переменной силы — интегральная версия формулы «сила × путь».

Подстановка y = eʳˣ превращает дифференциальное уравнение в квадратное — характеристическое уравнение.

Правило «строка на столбец»: A (m × n) · B (n × p) = C (m × p).

При транспонировании произведения порядок множителей меняется на обратный — как с носками и ботинками: что надели последним, снимают первым.

Теорема Кронекера — Капелли: система совместна тогда и только тогда, когда эти два ранга равны. Тогда при r(A) = n решение единственно, а при r(A) < n решений бесконечно много (свободных неизвестных n − r(A)). Если r(A) < r(A | b), появляется строка вида 0 = c, где c ≠ 0, и решений нет.

Произведение элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной.

Правило Саррюса (равносильно правилу треугольников): три произведения со знаком «+» и три со знаком «−».

У матрицы n × n ровно n собственных значений с учётом кратности; некоторые из них могут быть комплексными.

Откуда: det(A − λI) = (a − λ)(d − λ) − bc = λ² − (a + d)λ + (ad − bc).

Степени считаются легко: в Aᵏ = PDP⁻¹ · PDP⁻¹ · … все P⁻¹P в середине сокращаются.

На плоскости сопряжённое число — отражение z относительно действительной оси.

Формула Эйлера. Она следует из степенных рядов eˣ, cos x и sin x: подставим x = iφ в eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + … и сгруппируем действительные и мнимые слагаемые — получатся в точности ряды cos φ и i sin φ.

Формула Муавра следует из (e^(iφ))ⁿ = e^(inφ). При n = 2 она сразу даёт формулы двойного угла: (cos φ + i sin φ)² = cos²φ − sin²φ + 2i sin φ cos φ, значит, cos 2φ = cos²φ − sin²φ и sin 2φ = 2 sin φ cos φ.

У ненулевого комплексного числа ровно n различных корней n-й степени; они лежат в вершинах правильного n-угольника с центром в 0.

Интеграл от f по всей числовой прямой равен 1.

Первая формула — для дискретных величин, вторая — для непрерывных. Математическое ожидание — «точка равновесия» распределения: среднее по многим повторениям опыта.

Вторая форма получается раскрытием квадрата: M[(X − μ)²] = M(X²) − 2μ·M(X) + μ² = M(X²) − μ².

Всегда M(X + Y) = M(X) + M(Y); а если X и Y независимы, то D(X + Y) = D(X) + D(Y).

Биномиальное распределение B(n, p): число успехов в n независимых испытаниях с одинаковой вероятностью p.

Правило 68–95–99,7 (правило трёх сигм): почти все значения лежат в пределах 3σ от среднего.

Законы де Моргана.

Формула включений и исключений: элементы, лежащие в обоих множествах, посчитаны дважды, поэтому их один раз вычитают. Для трёх множеств: |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.

Лемма о рукопожатиях: у каждого ребра два конца. Следствие: число вершин нечётной степени всегда чётно.

Дерево — связный граф без циклов (родословное дерево, папки на компьютере, сеть с минимально возможным числом связей). В любом дереве рёбер ровно на одно меньше, чем вершин: добавление любого ребра создаёт цикл, удаление любого ребра нарушает связность.