Düsturlar və asan yollar

Məsələn, 2³ = 2 · 2 · 2 = 8 və 5² = 5 · 5 = 25.

a ədədi b-yə məhz o zaman bölünür ki, onu b · k şəklində yazmaq mümkün olsun. Deməli, b-nin bölünənləri b · 1, b · 2, b · 3, … ədədləridir.

Bir toplanan m-ə bölünür, digəri bölünmürsə, nə cəm, nə də fərq m-ə bölünür. Heç bir toplanan bölünmürsə, qayda heç nə demir — yoxlamaq lazımdır.

n ədədi 2-yə yalnız son rəqəmi cüt (0, 2, 4, 6, 8) olduqda, 5-ə yalnız son rəqəmi 0 və ya 5 olduqda, 10-a isə yalnız son rəqəmi 0 olduqda bölünür.

n ədədi 4-ə yalnız son iki rəqəmi 4-ə bölünən ədəd (00, 04, 08, 12, …, 96) əmələ gətirdikdə, 25-ə isə yalnız son iki rəqəmi 00, 25, 50 və ya 75 olduqda bölünür.

Ədəd 3-ə (9-a) yalnız rəqəmlərinin cəmi 3-ə (9-a) bölündükdə bölünür. Üstəlik, ədəd və onun rəqəmlərinin cəmi 3-ə və 9-a bölünəndə eyni qalığı verir. 4527 üçün cəm 18-dir, deməli, 4527 = 9 · 503.

p · p ≤ n şərtini ödəyən sadə ədədlərin heç biri n-i bölmürsə, n sadə ədəddir. 100-dən kiçik ədədlər üçün 2, 3, 5 və 7-ni yoxlamaq kifayətdir, çünki 11 · 11 = 121.

Sadə ədədin ayrılışı bir vuruqdan — özündən ibarətdir: 13 = 13. Hər mürəkkəb ədədin ayrılışı isə vuruqların yeri nəzərə alınmasa yeganədir.

ƏBOB ortaq sadə vuruqların hasilidir, hər biri ən kiçik qüvvət üstü ilə. Yoxlama: 120 : 6 = 20, 126 : 6 = 21, 20 və 21 isə qarşılıqlı sadədir.

Böyük ədədi fərqlə əvəz et və təkrarla. İki ədəd bərabərləşəndə alınan ədəd ƏBOB-dur.

(a; b) cütünü (b; r) cütü ilə əvəz et. Qalıq 0 olanda sonuncu bölən (sıfırdan fərqli sonuncu qalıq) ƏBOB-dur.

ƏKOB bütün sadə vuruqların hasilidir, hər biri ən böyük qüvvət üstü ilə. Yoxlama: 2520 : 120 = 21, 2520 : 126 = 20.

Yalnız iki ədəd üçün doğrudur. Qarşılıqlı sadə ədədlərdə ƏBOB = 1, ona görə ƏKOB = a · b.

Qalıq həmişə böləndən kiçikdir: 7-yə bölmədə mümkün qalıqlar 0, 1, …, 6-dır. Ən böyük qalıq b − 1-dir.

Ədədləri qalıqları ilə əvəz et, hesabla, nəticənin yenə qalığını götür.

Üstdəki xətt göstərir ki, a və b rəqəmlərdir, hasil deyil: a̅b̅ ≠ a · b. Məsələn, 47 = 10 · 4 + 7.

Yerdəyişmədə fərq 9-a (üçrəqəmlidə 99-a), cəm isə 11-ə bölünür. Bu, cavabı yoxlamağa və seçimi daraltmağa kömək edir.

Vuruqlar qarşılıqlı sadə olmalıdır: 12-yə bölünməni 2 və 6-ya görə yoxlamaq olmaz — 18 ədədi 2-yə də, 6-ya da bölünür, amma 12-yə bölünmür.

a və b qarşılıqlı sadədirsə, ƏBOB = 1 və ƏKOB = ab.

10, 100, 1000-ə vurduqda vergül 1, 2, 3 rəqəm sağa, bölmədə isə sola keçir. 0,1-ə vurmaq 10-a bölməyə, 0,1-ə bölmək isə 10-a vurmağa bərabərdir.

Hər iki ədəddə vergülü n rəqəm sağa keçir — bölən natural ədəd olur, sonra natural ədədə bölürük.

Əks ədədin əksi ədədin özüdür. Yan-yana duran iki «−» bir-birini ləğv edir: −(−(−5)) = −5, çünki üç işarədən ikisi ləğv olunur, biri qalır.

Müsbət ədədin və sıfırın modulu ədədin özüdür, mənfi ədədin modulu isə onun əksidir. Buna görə |a| ≥ 0 və |−a| = |a|: əks ədədlərin modulları bərabərdir.

O-dan a məsafədə iki nöqtə var: biri sağda, biri solda. |x| = 0 olduqda yalnız x = 0; |x| = −3 kimi tənliyin isə həlli yoxdur, çünki məsafə mənfi ola bilməz.

İki mənfi ədəddən modulu böyük olan kiçikdir: o, sıfırdan daha uzaqda, daha solda yerləşir. −10 °C şaxta −2 °C-dən soyuqdur, 50 manat borc 5 manat borcdan pisdir.

Eyni işarəli ədədləri toplamaq üçün modullarını toplayıb ümumi işarəni yazırıq. Düz xətdə iki dəfə eyni istiqamətdə gedirik; iki borc birləşəndə böyük borc alınır: (−3) + (−5) = −8.

Müxtəlif işarəli ədədləri toplamaq üçün böyük moduldan kiçik modulu çıxırıq və cavaba modulu böyük olan toplananın işarəsini yazırıq. Əks ədədlərin cəmi sıfırdır: a + (−a) = 0.

Çıxmanı həmişə toplamaya çevirmək olar: azalan dəyişmir, «−» işarəsi «+» olur, çıxılan isə əksi ilə əvəz olunur. Xüsusən: a − (−b) = a + b.

İki nöqtə arasındakı məsafə koordinatlar fərqinin moduludur. Böyük koordinatdan kiçiyini çıxsan, modul lazım olmur: nəticə onsuz da müsbət alınır.

Eyni işarəli iki ədədin hasili müsbət, müxtəlif işarəli iki ədədin hasili mənfidir. Hasilin modulu vuruqların modullarının hasilinə bərabərdir. Vuruqlardan biri 0-dırsa, hasil 0-dır.

Eyni işarəli ədədlərin qisməti müsbət, müxtəlif işarəli ədədlərin qisməti mənfidir. 0-ı sıfırdan fərqli istənilən ədədə bölsək, 0 alınır.

Mənfi ədədin cüt qüvvəti müsbət, tək qüvvəti mənfidir. −aⁿ yazılışında isə əvvəlcə qüvvət hesablanır, sonra əks ədəd götürülür: qüvvət qarşısındakı «−» işarəsindən əvvəl yerinə yetirilir.

Yerdəyişmə, qruplaşdırma və paylama qanunları mənfi ədədlər, kəsrlər və onluq kəsrlər üçün də ödənir. Çıxma və bölmə üçün yerdəyişmə qanunu yoxdur.

Boş olmayan alt çoxluqlar 2ⁿ − 1, çoxluğun özündən fərqli alt çoxluqlar da 2ⁿ − 1, verilmiş bir elementi saxlayan alt çoxluqlar isə 2ⁿ⁻¹ dənədir. k elementli alt çoxluqların sayı Cₙᵏ-dir (bax: «Kombinatorika»).

A \ B və B \ A müxtəlif çoxluqlardır; birləşmə və kəsişmə isə yerdəyişmə xassəsinə malikdir.

Alt çoxluq xassələri və paylama qanunları: kəsişmə birləşməyə nəzərən, birləşmə də kəsişməyə nəzərən paylanır.

n(A) + n(B) cəmində ortaq elementlər iki dəfə sayılıb, ona görə bir dəfə çıxılır. Buradan: n(A \ B) = n(A) − n(A ∩ B).

Üç çoxluq üçün: tək-tək toplayırıq, cüt-cüt kəsişmələri çıxırıq, üçlü kəsişməni geri qaytarırıq (o, üç dəfə toplanıb, üç dəfə çıxılıb).

Vurmanın paylama qanunu: mötərizənin qarşısındakı vuruq mötərizədəki hər bir həddə vurulur. Soldan sağa oxuyanda mötərizələri açırıq, sağdan sola oxuyanda ümumi vuruğu mötərizə xaricinə çıxarırıq: 5x − 2x = (5 − 2)x = 3x.

Mötərizənin qarşısında «+» varsa, içindəki hədlərin işarələri saxlanılır. «−» varsa, bütün hədlərin işarələri əksinə dəyişir, çünki «−» işarəsi −1-ə vurma deməkdir: −(x − 7) = (−1) · x + (−1) · (−7) = −x + 7.

Eyni əsaslı qüvvətləri vuranda üstlər toplanır: x² · x³ = (x · x) · (x · x · x) = x⁵. Qüvvəti qüvvətə yüksəldəndə üstlər vurulur: (x²)³ = x² · x² · x² = x⁶. Hasil qüvvətə yüksəldiləndə hər vuruq qüvvətə yüksəldilir: (2x)³ = 2³x³ = 8x³. Bu qaydalar «Tam üstlü qüvvət və onun xassələri» dərsində ətraflı öyrənilir.

Birinci çoxhədlinin hər həddi ikinci çoxhədlinin hər həddinə vurulur, sonra oxşar hədlər islah olunur. Səbəb paylama qanununun iki dəfə tətbiqidir: (a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d). Hədlər çox olanda da qayda eynidir: 2 hədd · 3 hədd = 6 hasil.

Sözlə: birincinin kvadratı, üstəgəl (fərqdə: çıx) birinci ilə ikincinin ikiqat hasili, üstəgəl ikincinin kvadratı. Fərqin kvadratı cəmin kvadratından alınır, çünki a − b = a + (−b): yalnız ortadakı həddin işarəsi dəyişir, kvadratlar isə həmişə «+» ilədir.

İki ifadənin fərqi ilə cəminin hasili onların kvadratlarının fərqinə bərabərdir. Soldan sağa: hasil bir addımda açılır. Sağdan sola: kvadratlar fərqi hasil kimi yazılır — bu, şifahi hesabda və vuruqlara ayırmada lazım olacaq.

Əmsallar 1, 3, 3, 1-dir; a-nın üstü 3-dən 0-a qədər azalır, b-nin üstü isə 0-dan 3-ə qədər artır. Fərqin kubunda işarələr növbələşir: +, −, +, −. Hər həddin dərəcəsi 3-dür.

Yoxlama: (a + b)(a² − ab + b²) = a³ − a²b + ab² + a²b − ab² + b³ = a³ + b³ — ortadakı dörd hədd cüt-cüt yox olur. Eyni qayda ilə (a − b)(a² + ab + b²) = a³ − b³.

Paylama qanunu sağdan sola. Mötərizədə ilkin çoxhədlidə olduğu qədər hədd qalmalıdır — hədlərin sayını müqayisə etmək sürətli yoxlamadır.

Ortaq vuruq iki dəfə çıxarılır: əvvəl hər qrupdan, sonra bütöv ifadədən. Mötərizələr eyni alınmırsa, hədləri başqa cür qruplaşdır və ya qruplardan birindən mənfi vuruq çıxar.

İki hədd — kvadratlar fərqi və ya kubların cəmi (fərqi); üç hədd — tam kvadrat ola bilər. Kvadratların cəmi a² + b² (həqiqi əmsallarla) vuruqlara ayrılmır.

Axtarışı hasildən başla: q ədədini iki vuruğun hasili kimi bütün yollarla yaz və cəmi p olan cütü seç.

Tənliyin bir tərəfi hasil, digər tərəfi sıfır olmalıdır. x(x − 5) = 6 kimi yazılışdan heç bir nəticə çıxmır.

Sistem fiqurlu mötərizə ilə yazılır. Bu sistemin həlli (4; 3) cütüdür: 4 + 3 = 7 və 4 − 3 = 1. (5; 2) isə həll deyil: birinci tənliyi ödəyir, ikincini ödəmir.

Vahidlər uyğun olmalıdır: 1 m/s = 3,6 km/saat, 20 dəq = 1/3 saat.

Əsas fikir: saf maddənin miqdarı qarışdırmadan əvvəl və sonra eynidir. Su əlavə edəndə c₂ = 0, saf maddə əlavə edəndə c₂ = 1 (100%).

Xətti funksiyanın qrafiki düz xətdir, onu qurmaq üçün iki nöqtə kifayətdir. Bəzi dərsliklərdə, məsələn, Türkiyədə bu düstur y = mx + n şəklində yazılır.

Qonşu bucaqların cəmi 180°-dir, çünki onlar birlikdə açıq bucağı tam doldurur. Deməli, iti bucağa qonşu bucaq kordur, düz bucağa qonşu bucaq isə yenə düzdür.

Qarşılıqlı bucaqlar bərabərdir.

Paralel düz xətlərin kəsənlə əmələ gətirdiyi bucaqların xassələri: uyğun bucaqlar bərabərdir, daxili çarpaz bucaqlar bərabərdir, daxili birtərəfli bucaqların cəmi 180°-dir. Qalan cütlər üçün də eynidir.

Paralellik əlamətləri: uyğun bucaqlar bərabərdirsə, ya daxili çarpaz bucaqlar bərabərdirsə, ya da daxili birtərəfli bucaqların cəmi 180°-dirsə, düz xətlər paraleldir. Üç şərtdən birinin ödənməsi kifayətdir.

Düsturun mənşəyi: (30h + 0,5m) − 6m = 30h − 5,5m. Hər dəqiqədə dəqiqə əqrəbi saat əqrəbini 6° − 0,5° = 5,5° qabaqlayır.

Üçbucağın bucaqlarının cəmi haqqında teorem: istənilən üçbucağın daxili bucaqlarının cəmi 180°-dir.

Xarici bucaq teoremi: üçbucağın xarici bucağı ona qonşu olmayan iki daxili bucağın cəminə bərabərdir. İsbat: ∠BCD = 180° − ∠C, ∠A + ∠B də 180° − ∠C-yə bərabərdir. Nəticə: xarici bucaq ona qonşu olmayan hər daxili bucaqdan böyükdür.

Üçbucaq bərabərsizliyi: üçbucağın hər tərəfi digər iki tərəfin cəmindən kiçikdir. Buradan başqa bir forma alınır: hər tərəf digər iki tərəfin fərqindən böyükdür, |b − c| < a < b + c.

Üçbucaqda böyük tərəfin qarşısında böyük bucaq, böyük bucağın qarşısında isə böyük tərəf durur; bərabər tərəflərin qarşısında bərabər bucaqlar durur.

Birinci əlamət (TBT, tərəf–bucaq–tərəf): bir üçbucağın iki tərəfi və onlar arasındakı bucaq digər üçbucağın iki tərəfinə və onlar arasındakı bucağa bərabərdirsə, bu üçbucaqlar bərabərdir.

İkinci əlamət (BTB, bucaq–tərəf–bucaq): bir üçbucağın bir tərəfi və ona bitişik iki bucağı digər üçbucağın bir tərəfinə və ona bitişik iki bucağına bərabərdirsə, bu üçbucaqlar bərabərdir.

Üçüncü əlamət (TTT, tərəf–tərəf–tərəf): bir üçbucağın üç tərəfi digər üçbucağın üç tərəfinə bərabərdirsə, bu üçbucaqlar bərabərdir.

Hipotenuz və katetə görə əlamət: bir düzbucaqlı üçbucağın hipotenuzu və bir kateti digərinin hipotenuzuna və katetinə bərabərdirsə, bu üçbucaqlar bərabərdir. «İki tərəf və aralarında olmayan bucaq» halı yalnız burada işləyir — çünki bucaq düzdür.

Bərabəryanlı üçbucağın oturacağındakı bucaqlar bərabərdir; tərsinə, üçbucağın iki bucağı bərabərdirsə, o, bərabəryanlıdır.

Bərabəryanlı üçbucağın təpəsindən oturacağa çəkilmiş tənbölən həm median, həm də hündürlükdür; median və hündürlük də eyni parçadır.

Orta perpendikulyarın hər nöqtəsi parçanın uclarından eyni məsafədədir; tərsinə, parçanın uclarından eyni məsafədə olan hər nöqtə onun orta perpendikulyarı üzərindədir.

Paraleloqramın xassələri: qarşı tərəflər və qarşı bucaqlar bərabərdir, bir tərəfə bitişik bucaqların cəmi 180°-dir, diaqonallar kəsişmə nöqtəsində yarıya bölünür.

Paraleloqramın əlamətləri: dördbucaqlının eyni iki qarşı tərəfi bərabər və paraleldirsə, ya qarşı tərəfləri cüt-cüt bərabərdirsə, ya da diaqonalları kəsişmə nöqtəsində yarıya bölünürsə, o, paraleloqramdır.

Düzbucaqlının diaqonalları bərabərdir; tərsinə, diaqonalları bərabər olan paraleloqram düzbucaqlıdır.

Rombun diaqonalları qarşılıqlı perpendikulyardır və onun bucaqlarını yarıya bölür; tərsinə, diaqonalları perpendikulyar olan paraleloqram rombdur.

Fales teoremi: bucağın bir tərəfi üzərində ardıcıl bərabər parçalar ayrılıb və onların uclarından paralel düz xətlər çəkilibsə, bu düz xətlər bucağın o biri tərəfi üzərində də bərabər parçalar ayırır.

Bərabəryanlı trapesiyada oturacaqdakı bucaqlar bərabərdir və diaqonallar bərabərdir; bu xassələrin hər biri həm də əlamətdir.

İstənilən çoxbucaqlının perimetri tərəflərinin cəmidir; qalan üç düstur bərabər tərəflər üçün qısa yazılışdır.

Qonşu uzunluq vahidləri 10 dəfə, qonşu sahə vahidləri isə 100 dəfə fərqlənir. Böyük vahiddən kiçiyə keçəndə vururuq, kiçikdən böyüyə keçəndə bölürük.

Düzbucaqlının sahəsi qonşu tərəflərinin hasilinə, kvadratın sahəsi isə tərəfinin kvadratına bərabərdir.

İstənilən tərəfi oturacaq götürmək olar, təki hündürlük məhz həmin tərəfə endirilsin: S = a · h₁ = b · h₂.

Düzbucaqlı üçbucaqda bir katet o biri katetə endirilmiş hündürlükdür, ona görə S = ½ · a · b (a, b — katetlər).

Bu düstur diaqonalları perpendikulyar olan hər qabarıq dördbucaqlı üçün doğrudur: romb, kvadrat (S = d²/2), deltoid.

Çevrənin uzunluğu diametrin π mislidir.

Halqanın sahəsi = böyük dairənin sahəsi − kiçik dairənin sahəsi.

Uzunluq radius kimi, sahə isə radiusun kvadratı kimi dəyişir.

Buradan: c = √(a² + b²), a = √(c² − b²).

Birinci əlamət (iki bucağa görə, BB): bir üçbucağın iki bucağı digər üçbucağın iki bucağına bərabərdirsə, bu üçbucaqlar oxşardır.

Hündürlük proyeksiyaların orta mütənasibidir, hər katet isə hipotenuzla öz proyeksiyasının orta mütənasibidir.

D = 0 olanda ax² + bx + c = a(x − x₁)²; D < 0 olanda üçhədli xətti vuruqlara ayrılmır. Digər üsullar — ortaq vuruq, qruplaşdırma — «Çoxhədlinin vuruqlara ayrılması» dərsindədir.

a > 0 olduqda təpə ən aşağı, a < 0 olduqda ən yuxarı nöqtədir. Təpə (0; 0), simmetriya oxu Oy-dir. y = −ax² və y = ax² qrafikləri Ox oxuna nəzərən simmetrikdir.

Təpə (m; n) nöqtəsindədir, simmetriya oxu x = m düz xəttidir. Qrafik y = ax² parabolasını üfüqi istiqamətdə m, şaquli istiqamətdə n vahid köçürməklə alınır; forması dəyişmir.

Bu, kvadrat funksiyanın vuruqlara ayrılmış formasıdır («Kvadrat tənliklər» dərsindəki ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂) düsturu); D ≥ 0 olanda mövcuddur. Təpə köklərin ortasındadır: x₀ = (x₁ + x₂)/2.

n-ci hədd = birinci hədd + (n − 1) addım.

Qüvvətin üstü həddin nömrəsindən 1 azdır — ədədi silsilədəki n − 1 kimi.

Ortadakı həddin kvadratı kənardakıların hasilinə bərabərdir. Müsbət hədlər üçün bₙ = √(bₙ₋₁ · bₙ₊₁).

Bu eynilik Pifaqor teoremindən alınır. Məsələn, iti bucaq üçün sin α = 0,6 olarsa, cos α = √(1 − 0,36) = √0,64 = 0,8.

Genişlik tez tapılır, amma yalnız iki ən kənar qiymətdən asılıdır, ona görə bir kənar qiymət onu çox dəyişir.

«A deyil» və ya «heç biri» A-nın özündən asan sayılırsa, əks hadisəyə keç — xüsusən «ən azı biri» tipli məsələlərdə.

Toplama qaydası yalnız birgə olmayan hadisələr üçün doğrudur. A və B birlikdə baş verə bilirsə, ortaq nəticələr iki dəfə sayılır və bir dəfə çıxılmalıdır: P(A və ya B) = P(A) + P(B) − P(A və B).

Vurma qaydası yalnız asılı olmayan hadisələr üçündür. Bir neçə hadisənin hamısının baş verməsi ehtimalı heç vaxt ən kiçik vuruqdan böyük olmur.

Nisbətin əsas xassəsi: hər iki həddi eyni ədədə vurmaq və ya bölmək olar. Buna görə nisbət kəsr kimi ixtisar olunur.

Tənasübün əsas xassəsi: kənar hədlərin hasili orta hədlərin hasilinə bərabərdir. Buradan istənilən naməlum hədd tapılır, məsələn, d = b · c / a.

Nümunə: 1 : 500 000 miqyaslı xəritədə 4,2 sm olan yol: 4,2 · 500 000 = 2 100 000 sm = 21 km.

Əməllərin ardıcıllığında qüvvətə yüksəltmə vurmadan əvvəl gəlir: 2 · 3² = 2 · 9 = 18, (2 · 3)² = 36 isə başqa ifadədir.

Mənfi ədədin cüt qüvvəti müsbət, tək qüvvəti mənfidir. Deməli, istənilən ədədin cüt qüvvəti mənfi ola bilməz: x² ≥ 0, x⁴ ≥ 0.

Qüvvəti qüvvətə yüksəltdikdə üstlər vurulur: (a³)² = a³ · a³ = a³⁺³ = a⁶. Mötərizənin yeri vacibdir: 2^(3²) = 2⁹ = 512, amma (2³)² = 2⁶ = 64.

Əsas 1-dən böyükdürsə, böyük üst böyük qüvvət verir; əsas 0 ilə 1 arasındadırsa, əksinə: 0,5² = 0,25 > 0,5³ = 0,125. Üstlər eyni natural ədəd olduqda böyük müsbət əsasın qüvvəti böyükdür.

Vergülü k mərtəbə sola keçiririksə, n = k olur (10-dan böyük ədədlər); k mərtəbə sağa keçiririksə, n = −k olur (1-dən kiçik ədədlər).

Tərifin iki şərti: kökün kvadratı kökaltı ifadəyə bərabərdir və kökün özü mənfi deyil. x² = 49 tənliyinin iki kökü var (x = ±7), amma √49 yalnız 7-dir.

Kök mənfi ola bilməz, ona görə kvadratın kökü ədədin özünü yox, modulunu verir: √((−5)²) = √25 = 5 = |−5|. a ≥ 0 olduqda √(a²) = a, a < 0 olduqda √(a²) = −a.

Kök altından ədəd kvadrat kökü kimi çıxır, kök altına daxil ediləndə isə kvadrata yüksəlir. Hərfi ifadələrdə modulu unutma: √(50x²) = 5|x|√2.

Böyük ədədin kökü də böyükdür. Ona görə kökləri müqayisə etməyin iki yolu var: vuruqları kök altına daxil edib kökaltı ədədləri müqayisə etmək, ya da hər iki tərəf müsbət olduqda onları kvadrata yüksəltmək — bu, bərabərsizliyin işarəsini dəyişmir.

Birinci bərabərlik kökün tərifidir. Digər ikisi √(a²) = |a| qaydasının ümumiləşməsidir: ⁴√((−2)⁴) = 2, amma ∛((−2)³) = −2.

Eyni ədədi əlavə etmək (çıxmaq) və müsbət ədədə vurmaq (bölmək) işarəni saxlayır. Mənfi ədədə vuranda və ya bölərkən bərabərsizlik işarəsi əksinə dəyişir.

Eyni istiqamətli bərabərsizlikləri hədbəhəd toplamaq, tərəfləri müsbət olanları isə hədbəhəd vurmaq olar. Hədbəhəd çıxmaq və bölmək olmaz: a − b-ni qiymətləndirmək üçün əvvəlcə b-ni −b-yə çevirib sonra toplayırıq.

«Hər ikisindən böyük» — böyüyündən böyük; «hər ikisindən kiçik» — kiçiyindən kiçik; «arada» — interval; ştrixlər bir-birindən uzaqlaşırsa, həll yoxdur.

«Kiçikdir» a ətrafında bir interval verir (sistem kimi), «böyükdür» isə ondan kənarda iki şüa (sözü «və ya», birləşmə ∪). ≤ və ≥ olduqda a ± b ucları da daxildir. b < 0 olarsa, |x − a| < b bərabərsizliyinin həlli yoxdur, |x − a| > b isə hər x üçün doğrudur, çünki məsafə mənfi ola bilməz.

√(a²) = |a| bərabərliyi səbəbindən √((x − 3)²) = |x − 3| yazılır, x − 3 yox. |a|² = a² isə iki modulu kvadrata yüksəltməyə imkan verir.

Sağ tərəf ədəddirsə, modul iki tənliyə ayrılır; sağ tərəf mənfidirsə, həll yoxdur.

Modul mənfi olmadığı üçün sağ tərəf də mənfi ola bilməz: əvvəlcə g(x) ≥ 0 şərtini yaz, sonda hər kökü bu şərtlə yoxla.

Hər iki tərəf mənfi olmadığı üçün əlavə şərt lazım deyil. |x − a| = |x − b| (a ≠ b) tənliyinin yeganə kökü a ilə b-nin ortasıdır: x = (a + b)/2.

«Kiçikdir» — sistem (hər iki şərt birlikdə), «böyükdür» — birləşmə (bərabərsizliklər heyəti: ən azı biri). İki modulda hər iki tərəf mənfi olmadığı üçün kvadrata yüksəltmək olar: f² < g².

Niyə belədir: x > x₂ olduqda hər iki mötərizə müsbətdir; köklər arasında x − x₁ > 0, amma x − x₂ < 0; x < x₁ olduqda hər ikisi mənfidir və hasil yenə müsbətdir. Yadda saxla: a > 0 olduqda «köklər arasında mənfi, kənarda müsbət».

Ən böyük sıfırdan sağda bütün mötərizələr müsbətdir, ona görə hasil də müsbətdir; bir sıfırdan keçəndə yalnız bir mötərizənin işarəsi dəyişir. Bu, bütün vuruqlar (x − a) şəklində olanda — x-in əmsalı müsbət olanda — doğrudur.

Bu qayda məxrəcin sıfırlarına da aiddir: məxrəcdəki (x − 2)² vuruğu 2 nöqtəsində işarəni dəyişmir, amma 2 yenə də cavaba daxil deyil.

a = 0 olduqda tənlik bx + c = 0 olur: b ≠ 0 olduqda bir kök, b = 0 olduqda ya kök yoxdur, ya da istənilən x kökdür.

Qeyri-ciddi bərabərsizlikdə (≥ 0, ≤ 0) D ≤ 0 götürülür. a parametrdən asılıdırsa, a = 0 halını ayrıca yoxla: bx + c bütün x-lər üçün işarəsini yalnız b = 0 olduqda saxlayır.

a ≥ 0 olduqda kvadrata yüksəltmək təhlükəsizdir: f(x) = a² ≥ 0 olduğundan təyin oblastı öz-özünə ödənir. Tək dərəcəli kök istənilən işarəli ola bilər, kuba yüksəltmə isə eynigüclü keçiddir — kənar kök yaranmır.

Kvadrata yüksəltmə yalnız bir istiqamətdə doğrudur: yeni tənlik köhnənin bütün köklərini saxlayır, amma onlara A = −B tənliyinin kökləri də qoşulur. Kənar köklər məhz bunlardır.

f(x) ≥ 0 şərtini yazmağa ehtiyac yoxdur: f(x) = g²(x) ≥ 0 öz-özünə ödənir. g²(x) — (g(x))² deməkdir.

Hasildə f(x) = 0 tənliyinin kökləri yalnız təyin oblastında (g(x) ≥ 0) yarayır.

t üçün tənliyi həll et, mənfi qiymətləri at, sonra √f(x) = t tənliyinə qayıt. ⁴√x kimi köklərdə t = ⁴√x götürülür, onda √x = t².

a < 0 olduqda √f(x) < a bərabərsizliyinin həlli yoxdur, √f(x) > a isə bütün təyin oblastında (f(x) ≥ 0) doğrudur. ≤ və ≥ işarələrində bərabərlik halı da həllə daxil olur.

İkinci halda iki sistemin həllərini birləşdiririk (∪). f > g² şərti f ≥ 0 şərtini də təmin edir.

x-i a vasitəsilə ifadə et və bunun hansı a üçün mümkün olduğunu tap. Sadə hallarda daha qısa yol var: (…)² ≥ 0, √(…) ≥ 0, |…| ≥ 0 hissələrini qiymətləndirmək.

Artan funksiyada böyük arqumentə böyük qiymət uyğundur, qrafik soldan sağa qalxır. Artan və ya azalan funksiya hər qiyməti ən çoxu bir dəfə alır, ona görə f(x) = a tənliyinin ən çoxu bir kökü olur.

Cüt funksiyanın qrafiki Oy oxuna, tək funksiyanın qrafiki koordinat başlanğıcına nəzərən simmetrikdir. Funksiyaların çoxu nə cüt, nə də təkdir.

T dövrdürsə, 2T, 3T, −T də dövrdür: f(x + nT) = f(x). Qrafik uzunluğu T olan bir hissənin təkrarından ibarətdir.

Qrafikin hər nöqtəsi (x; y) → (x + a; y + b) köçür. Təyin oblastı a qədər, qiymətlər çoxluğu b qədər sürüşür.

Bir neçə çevrilmə olanda ardıcıl işlə: əvvəl x ilə edilənlər (sürüşmə, sıxılma), sonra dartılma və əks etdirmə, sonra şaquli sürüşmə, xarici modul isə ən sonda.

(a; b) nöqtəsi f-in qrafikinə aiddirsə, (b; a) nöqtəsi g-nin qrafikinə aiddir. Deməli, qarşılıqlı tərs funksiyaların qrafikləri y = x düz xəttinə nəzərən simmetrikdir.

Üstlü funksiya: təyin oblastı — bütün həqiqi ədədlər, qiymətlər çoxluğu — (0; +∞). a > 1 olduqda funksiya artan, 0 < a < 1 olduqda azalandır.

Hər T vaxtda kəmiyyət a dəfə dəyişir. Mürəkkəb faiz: S = S₀ · (1 + p/100)ⁿ (T = 1 il, n — illərin sayı). Radioaktiv parçalanma: m = m₀ · (1/2)^(t/T), burada T — yarımparçalanma dövrüdür.

Fasiləsiz artım və azalma modeli. e-nin qüvvətləri kalkulyatorla hesablanır: e ≈ 2,718, e⁻¹ ≈ 0,368, e^0,1 ≈ 1,105.

Nə üçün doğrudur: aˣ monotondur, hər qiymətini yalnız bir dəfə alır, ona görə bərabər qüvvətlərin üstləri də bərabərdir. aˣ = b tənliyinin b > 0 olduqda yeganə həlli var, b ≤ 0 olduqda həlli yoxdur.

Üstləri sabit ədədlə fərqlənən qüvvətlərin ortaq vuruğu aˣ-dir. Onu mötərizə xaricinə çıxarırıq, mötərizədə isə adi ədəd qalır.

a^(2x), aˣ və sabit həddən ibarət tənlik t-yə görə kvadrat tənliyə çevrilir. a^(−x) = 1/t olduğundan aˣ + a^(−x) tipli tənliklər də belə həll olunur.

Əsas 1-dən kiçikdirsə, işarə çevrilir. Sağ tərəf mənfi və ya sıfırdırsa, heç nə həll etməyə ehtiyac yoxdur: aˣ > −3 hər x üçün doğrudur, aˣ < 0 isə heç vaxt.

Loqarifm qüvvət üstüdür. Eyni bərabərliyi iki cür oxuyuruq: 2³ = 8 ⇔ log₂8 = 3. Xüsusi hallar: logₐ1 = 0, çünki a⁰ = 1; logₐa = 1, çünki a¹ = a.

Əsas loqarifmik eynilik: a-nı b-nin loqarifminə yüksəltsək, b alınır. Qüvvətə yüksəltmə və loqarifm bir-birini «ləğv edir», toplama və çıxma kimi.

Hasilin loqarifmi vuruqların loqarifmlərinin cəminə bərabərdir. Sağdan sola da oxunur: eyni əsaslı loqarifmlərin cəmi hasilin loqarifmidir.

y = aˣ funksiyasının tərsi. Təyin oblastı — (0; +∞), qiymətlər çoxluğu — bütün həqiqi ədədlər.

Loqarifmlərin müqayisəsi. Əsaslar fərqlidirsə, loqarifmləri 0 və 1 kimi «dayaq» ədədlərlə müqayisə et: 1 = logₐa, 2 = logₐa².

Ən sadə loqarifmik tənlik birbaşa tərifdən həll olunur. Burada f(x) > 0 şərtini ayrıca yoxlamağa ehtiyac yoxdur: aᵇ həmişə müsbətdir.

Loqarifmik funksiya monotondur, ona görə bərabər loqarifmlərin arqumentləri bərabərdir. Arqumentlərdən birinin müsbət olması kifayətdir — digəri ona bərabərdir; hansı sadədirsə, onu yoxla.

Tənlikdə yalnız logₐx və onun qüvvətləri varsa, t-yə görə adi tənlik alınır. t = aˣ əvəzləməsindən fərqli olaraq burada t-yə məhdudiyyət yoxdur. Yazılışa diqqət: lg²x = (lg x)², lg(x²) isə 2 lg x-dir (x > 0).

Loqarifmləmə: tərəfləri müsbət olan tənliyin hər iki tərəfinin eyni əsaslı loqarifmini almaq olar. Əsasları eyni ədədə gətirilməyən üstlü tənliklərdə və naməlumun həm əsasda, həm üstdə olduğu x^(lg x) tipli tənliklərdə bu, əsas yoldur.

Hər iki hal üçün kiçik arqumentin müsbət olması kifayətdir: böyük arqument onda avtomatik müsbətdir. Ədədi də loqarifm kimi yaz: b = logₐ(aᵇ).

Tam dövrdə (α = 2π) bu düsturlar çevrənin uzunluğunu 2πR və dairənin sahəsini πR² verir. Dərəcə ilə eyni düsturlar l = πRα°/180° kimi yöndəmsiz olardı.

Dövrilik. Sinus və kosinusun periodu 2π, tangens və kotangensin periodu π-dir: yarım dövrdən sonra x və y koordinatlarının hər ikisi işarəsini dəyişir, nisbətləri isə dəyişmir.

Cüt-təklik. −α bucağında y koordinatı işarəsini dəyişir, x isə dəyişmir: kosinus cüt, sinus, tangens və kotangens tək funksiyalardır.

Əsas triqonometrik eynilik. P(cos α; sin α) nöqtəsi vahid çevrənin üzərindədir, onun tənliyi isə x² + y² = 1-dir (Pifaqor teoremi). Eynilik təkcə iti bucaq üçün yox, istənilən bucaq üçün doğrudur.

Cəmin və fərqin kosinusu. Kosinuslar hasili ilə sinuslar hasili arasındakı işarə mötərizədəkinin əksinədir.

Cəmin və fərqin sinusu. Çevirmə düsturundan alınır: sin(α + β) = cos(π/2 − α − β) = cos((π/2 − α) − β), sonra fərqin kosinusu tətbiq olunur.

İkiqat bucaq düsturları. Onlar «2α» ilə «α» arasında körpüdür: soldan sağa bucağı iki dəfə kiçildir, sağdan sola ifadəni yığcamlaşdırır.

Hasili cəmə çevirmə düsturları toplama düsturlarını cüt-cüt toplamaq və ya çıxmaqla alınır. Hasili cəmlə əvəz etmək inteqrallamada və rəqslərin toplanmasında lazım olur.

Sinus tək funksiyadır, ona görə sinusoida koordinat başlanğıcına nəzərən simmetrikdir.

arcsin və arctg tək funksiyalardır. arccos isə tək deyil: a və −a qiymətlərinə vahid çevrədə Oy oxuna nəzərən simmetrik nöqtələr uyğundur və onların bucaqlarının cəmi π-dir.

İki kök seriyası: arccos a + 2πn və −arccos a + 2πn — Ox oxuna nəzərən simmetrik iki nöqtə.

Açılmış şəkli: x = arcsin a + 2πn və x = π − arcsin a + 2πn. |a| > 1 olduqda kök yoxdur.

Burada a-ya şərt yoxdur, çünki tangens və kotangens bütün həqiqi qiymətləri alır; seriyanın addımı 2π yox, π-dir.

Vektorun koordinatlarını tapmaq üçün sonun koordinatlarından başlanğıcın koordinatlarını çıxırıq («sondan başlanğıcı»). Bu qayda fəzada da işləyir.

Bu, Pifaqor teoremidir. Fəzada vektorun üç koordinatı olur və |a⃗| = √(x² + y² + z²): məsələn, (2; 3; 6) vektorunun uzunluğu √(4 + 9 + 36) = 7-dir.

Vektorlar koordinatlarına görə toplanır və çıxılır; ədədə vuranda hər koordinat həmin ədədə vurulur.

Skalyar hasil vektor deyil, ədəddir — adı da buradandır. a⃗ · a⃗ = |a⃗|².

Skalyar hasilin işarəsi bucağı göstərir: > 0 — iti bucaq, = 0 — düz bucaq (perpendikulyar), < 0 — kor bucaq.

Vurma qaydası: seçim ardıcıl bir neçə addımda aparılırsa («həm bu, həm də o»), hər addımdakı variantların sayı vurulur.

Toplama qaydası: seçim «ya bu, ya o» şəklindədirsə və qruplar kəsişmirsə, variantların sayı toplanır.

Yerdəyişmələrin sayı: n müxtəlif elementi bir sıraya düzməyin yollarının sayı. Birinci yerə n, ikinci yerə n − 1 element qalır və s.

Birinci xassə: k elementi seçmək qalan n − k elementi «seçməmək» deməkdir. İkinci xassə Paskal üçbucağının qurulma qaydasıdır: C₅² + C₅³ = 10 + 10 = 20 = C₆³.

Nyuton binomu. Ümumi hədd: Tₖ₊₁ = Cₙᵏ · aⁿ⁻ᵏ · bᵏ. Açılışda n + 1 hədd var, əmsalların cəmi 2ⁿ-dir. (a − b)ⁿ açılışında işarələr növbələşir: +, −, +, …

OAH üçbucağında Pifaqor teoremi: AH² + d² = R², AB isə AH-ın iki mislidir. Mərkəzə yaxın vətər daha uzundur.

Toxunan toxunma nöqtəsinə çəkilmiş radiusa perpendikulyardır. Bir nöqtədən çevrəyə çəkilmiş toxunan parçaları bərabərdir, PO isə APB bucağını yarıya bölür.

Daxilə çəkilmiş bucaq söykəndiyi qövsün yarısı ilə ölçülür, yəni eyni qövsə söykənən mərkəzi bucağın yarısına bərabərdir.

Kəsişən vətərlərin parçalarının hasilləri bərabərdir. Kənar nöqtədən: bütün kəsənlə onun xarici hissəsinin hasili toxunanın kvadratına bərabərdir; buna görə iki kəsən üçün də PA · PB = PC · PD.

Qarşı bucaqlarının cəmi 180° olan dördbucaqlının xaricinə çevrə çəkmək olar; qarşı tərəflərinin cəmləri bərabər olan qabarıq dördbucaqlının daxilinə çevrə çəkmək olar.

Çevirmə düsturları: kor bucağın sinusu, kosinusu və tangensi iti bucağınkına gətirilir. Sinus dəyişmir, kosinus və tangens işarəsini dəyişir.

Üçbucağın sahəsi iki tərəfinin hasilinin onlar arasındakı bucağın sinusuna hasilinin yarısına bərabərdir. C = 90° olanda düzbucaqlı üçbucağın tanış S = ½ab düsturu alınır.

Tərəfin kvadratı digər iki tərəfin kvadratları cəmindən bu tərəflərlə onlar arasındakı bucağın kosinusu hasilinin iki mislini çıxmağa bərabərdir. C = 90° olanda cos C = 0 və Pifaqor teoremi alınır.

İki nöqtə arasındakı məsafə koordinat fərqlərinin kvadratları cəmindən çıxarılmış kvadrat kökə bərabərdir. Nöqtələrin sırası fərq etmir: (x₁ − x₂)² = (x₂ − x₁)². Bu, həm də AB⃗ vektorunun uzunluğudur.

Düz xəttin ümumi tənliyi. B = 0 olanda şaquli düz xətt x = −C/A, A = 0 olanda üfüqi düz xətt y = −C/B, C = 0 olanda isə koordinat başlanğıcından keçən düz xətt alınır.

Verilmiş M₀(x₀; y₀) nöqtəsindən keçən və bucaq əmsalı k olan düz xəttin tənliyi. x = x₀ yazsaq, y = y₀ alınır — düz xətt həqiqətən M₀-dan keçir.

Paralel düz xətlərin bucaq əmsalları bərabərdir, perpendikulyar düz xətlərin bucaq əmsallarının hasili isə −1-dir, yəni k₂ = −1/k₁.

Ümumi şəkildə: normal vektorların skalyar hasili sıfırdırsa, düz xətlər perpendikulyardır; normal vektorlar kollineardırsa, düz xətlər paraleldir və ya üst-üstə düşür.

Çevrənin tənliyi. Mərkəz koordinat başlanğıcında olanda: x² + y² = R². Burada a və b mərkəzin koordinatlarıdır, düz xəttin tənliyindəki ədədlərlə qarışdırma.

Toxunan toxunma nöqtəsinə çəkilmiş radiusa perpendikulyardır (bax: «Çevrə: vətər, toxunan, mərkəzi və daxilə çəkilmiş bucaqlar» dərsi).

Çarpaz düz xətlər arasındakı bucaq: düz xətlərdən birini paralel köçürüb digəri ilə kəsişdiririk. Bu bucaq 90°-dən böyük olmur; 90° olarsa, çarpaz düz xətlər perpendikulyar adlanır.

AHM düzbucaqlı üçbucağında Pifaqor teoremi. Nəticələr: perpendikulyar istənilən maildən qısadır; bir nöqtədən çəkilmiş bərabər maillərin proyeksiyaları bərabərdir və əksinə; böyük mailin proyeksiyası da böyükdür.

Üç perpendikulyar haqqında teorem: müstəvidə mailin oturacağından onun proyeksiyasına perpendikulyar çəkilmiş düz xətt mailin özünə də perpendikulyardır; tərs teorem də doğrudur. «Üç perpendikulyar»: AH ⊥ α, a ⊥ HM və a ⊥ AM.

Ortoqonal proyeksiyanın sahəsi haqqında teorem. Növbəti dərsdə piramidanın yan səthi bu düsturla bir sətirdə tapılacaq.

Eyler teoremi istənilən qabarıq çoxüzlü üçün doğrudur — saymanı yoxlamaq üçün əla vasitədir.

Altı üz üç bərabər cütdür: ab, bc və ca. Həcm oturacağın sahəsinin hündürlüyə hasilidir.

«Fəza Pifaqor teoremi»: əvvəlcə oturacağın diaqonalı AC² = a² + b², sonra ACC₁ düzbucaqlı üçbucağında AC₁² = AC² + c².

Kub üçün a = b = c. Üzün diaqonalı a√2, kubun diaqonalı a√3-dür.

S_yan = P_ot · h düsturu düz prizma üçündür: onun yan üzləri hündürlüyü h olan düzbucaqlılardır. V = S_ot · h isə istənilən prizma üçün doğrudur.

Yan səth düsturu düzgün piramida üçündür (bütün yan üzlərin hündürlüyü m-dir). Həcm düsturu istənilən piramida üçün doğrudur: piramidanın həcmi eyni oturacaqlı və eyni hündürlüklü prizmanın həcminin üçdə biridir. Məsələn, kub bir təpədən çıxan üç bərabər dördbucaqlı piramidaya bölünür, hər birinin həcmi a³/3-dür.

Düzgün piramidada iki düzbucaqlı üçbucaq: SOM (apofem ilə) və SOA (yan til ilə). Kvadrat üçün r = a/2, R = a√2/2; bərabərtərəfli üçbucaq üçün r = a√3/6, R = a√3/3.

Həcm düsturu iki piramidanın həcmlərinin fərqindən alınır; yan səth düsturu bərabər trapesiyaların sahələrinin cəmidir (düzgün kəsik piramida üçün).

Tam səth = yan səth + iki oturacaq: 2πrh + 2πr².

Yan səth sektorun sahəsidir: ½ · l · 2πr = πrl. Konus piramidaya bənzəyir: həcmi eyni oturacaqlı və hündürlüklü silindrin həcminin üçdə biridir.

Həcm iki konusun həcmlərinin fərqidir; bu, kəsik piramidanın V = ⅓ · h · (S₁ + S₂ + √(S₁ · S₂)) düsturunun dairəvi variantıdır.

OO₁K düzbucaqlı üçbucağında Pifaqor teoremi: O₁ — kəsiyin mərkəzi, K — kəsiyin çevrəsinin nöqtəsi.

Limit yalnız hər iki birtərəfli limit mövcud və bərabər olduqda var.

Kəsilməzliyin iki eyni güclü yazılışı: limit qiymətə bərabərdir və ya kiçik artım kiçik artım verir.

Artım həmişə «yeni qiymət çıx köhnə qiymət» kimi hesablanır — həm arqument, həm də funksiya üçün.

Törəmənin həndəsi mənası: f′(x₀) qrafikə absisi x₀ olan nöqtədə çəkilmiş toxunanın bucaq əmsalıdır.

Qrafikə absisi x₀ olan nöqtədə çəkilmiş toxunanın tənliyi. Cavabı adətən y = kx + b şəklinə salırlar.

Paralellik şərti: toxunanın bucaq əmsalı verilmiş düz xəttin bucaq əmsalına bərabərdir. Tənliyin neçə kökü varsa, bir o qədər toxunan var; kök yoxdursa, belə toxunan da yoxdur.

Perpendikulyarlıq şərti. Buradan k₂ = −1/k₁: bucaq əmsalını «çevir və işarəsini dəyiş».

Törəmənin fiziki mənası. v > 0 olduqda cisim oxun müsbət istiqamətində (irəli), v < 0 olduqda əks istiqamətdə (geri) hərəkət edir, v = 0 olduqda isə həmin anda dayanır.

Təcil sürətin birinci, koordinatın isə ikinci tərtib törəməsidir.

Cərəyan şiddəti yükün, güc isə işin zamana görə törəməsidir. Məktəb düsturları I = q / t və N = A / t cərəyan və güc sabit olanda doğrudur.

Marjinal xərc növbəti, (x + 1)-ci məhsulun təxmini xərcidir. Eyni fikir biologiyada da işləyir: n(t) bakteriyaların sayıdırsa, n′(t) koloniyanın artım sürətidir (bakteriya/saat).

İçində x olmayan ədədin törəməsi 0-dır; düz xəttin törəməsi sabitdir və onun bucaq əmsalına bərabərdir.

Qüvvət düsturu: üstü vuruq kimi önə endir və üstü 1 vahid azalt.

Üstlü funksiyanın törəməsi funksiyanın özü ilə mütənasibdir; e əsası üçün əmsal ln e = 1-dir.

Sinusun törəməsi kosinus, kosinusun törəməsi mənfi sinusdur. (0; π) aralığında sin x > 0 və cos x azalır — mənfi işarənin səbəbi budur.

Cəmin (fərqin) törəməsi törəmələrin cəminə (fərqinə) bərabərdir. Qayda istənilən sayda toplanan üçün doğrudur: (u₁ + u₂ + … + uₙ)′ = u₁′ + u₂′ + … + uₙ′.

Sabit vuruq törəmə işarəsi xaricinə çıxarılır. Məxrəcdəki sabit də vuruqdur: x³/6 = (1/6) · x³.

Çoxhədli hədd-hədd diferensiallanır: hər həddə (xᵏ)′ = k · xᵏ⁻¹ qaydası tətbiq olunur, əmsal saxlanılır, sərbəst hədd a₀ isə itir. Törəmənin dərəcəsi bir vahid azalır.

Hasilin törəməsi: «birincinin törəməsi vurulsun ikinciyə, üstəgəl birinci vurulsun ikincinin törəməsinə». Toplananların yerini dəyişmək olar: u · v′ + u′ · v də doğrudur.

Neçə vuruq varsa, o qədər toplanan olur: hər toplananda növbə ilə yalnız bir vuruq diferensiallanır, qalanları olduğu kimi qalır.

Mürəkkəb funksiyanın törəməsi xarici funksiyanın (daxili funksiyadan götürülmüş) törəməsi ilə daxili funksiyanın törəməsinin hasilinə bərabərdir.

Mötərizəni sanki x kimi diferensialla, sonra x-in əmsalına vur. Məsələn, (sin 3x)′ = 3 cos 3x, (e^(−2x))′ = −2e^(−2x).

Sinus və kosinus. Arqument u dəyişmədən qalır, (cos u)′-dəki mənfi işarə isə itmir.

Üç qat — üç vuruq; hər qatın törəməsi onun içində duran ifadədən götürülür. Leybnis yazılışında: dy/dx = dy/du · du/dv · dv/dx, burada u = g(v), v = h(x).

Monotonluğun kafi şərti: törəmə müsbətdirsə, funksiya artır, mənfidirsə — azalır.

Sabitlik şərti: törəməsi aralıqda sıfıra bərabər olan funksiya bu aralıqda sabitdir.

Ekstremumun zəruri şərti (Ferma teoremi): diferensiallanan funksiyanın ekstremum nöqtəsində toxunan üfüqidir.

Ekstremumun kafi şərti: kritik nöqtədən keçərkən törəmə işarəsini dəyişməlidir. İşarə dəyişmirsə, ekstremum yoxdur.

İkinci törəmə ilə kafi şərt. f″(x₀) = 0 olduqda bu üsul heç nə demir — işarə cədvəlinə qayıt.

Kəsilməz funksiyanın parçada ən böyük və ən kiçik qiyməti uclardakı və daxildəki kritik nöqtələrdəki qiymətlər arasından seçilir.

Gəlir qiymətlə satış sayının hasilidir; mənfəət üçün hər satılan məhsulun maya dəyəri çıxılır.

İbtidai funksiyaların ümumi şəkli. DİM-in «ümumi şəklini tapın» sualında cavabda mütləq + C olmalıdır.

Qayda 1 və 2: cəmin ibtidaisi ibtidailərin cəminə bərabərdir; sabit vuruğu inteqral işarəsi xaricinə çıxarmaq olar. Hər ikisi törəmənin uyğun qaydalarından alınır.

Hər inteqrallamada bir sabit yaranır; onu başlanğıc şərtdən tapırıq.

Əyrixətli trapesiyanın sahəsi ibtidai funksiyanın b və a nöqtələrindəki qiymətlərinin fərqinə bərabərdir.

Nyuton–Leybnis düsturu inteqral cəmlərinin limitini ibtidai funksiya ilə bağlayır. C lazım deyil: (F(b) + C) − (F(a) + C) = F(b) − F(a).

Sərhədlər eyni olduqda inteqral 0-dır; sərhədlərin yeri dəyişəndə inteqral işarəsini dəyişir; parça hissələrə bölünəndə inteqrallar toplanır (additivlik). Cəm və sabit vuruq qaydaları da ibtidaidə olduğu kimidir.

Tək funksiyanın qrafiki koordinat başlanğıcına nəzərən simmetrikdir — sağdakı və soldakı hissələr bir-birini «yeyir». Cüt funksiyada iki yarı bərabərdir.

İki xətt arasındakı fiqurun sahəsi: «yuxarıdakı çıx aşağıdakı».

Yol sürətin, iş qüvvənin inteqralıdır.

Aralıq qiymət teoremi (Bolsano–Koşi teoremi). Ümumi halda: kəsilməz funksiya f(a) ilə f(b) arasındakı hər qiyməti alır.

Xəttilik: cəmin törəməsi törəmələrin cəminə bərabərdir, sabit vuruq törəmə işarəsi xaricinə çıxarılır.

Hasilin törəməsi (Leybnis qaydası)

Faydalı qanunauyğunluqlar: (eᵏˣ)⁽ⁿ⁾ = kⁿeᵏˣ; sin x-in törəmələri 4 addımdan bir təkrarlanır: sin → cos → −sin → −cos → sin.

Toxunanın tənliyi. Normalın (toxunana perpendikulyar düz xəttin) bucaq əmsalı −1/f′(a)-dır.

Xətti yaxınlaşma: a nöqtəsinin yaxınlığında qrafik demək olar ki, öz toxunanı ilə üst-üstə düşür.

Qeyri-müəyyən inteqral bütün ibtidai funksiyalar ailəsidir. Xəttilik: ∫ (a · f + b · g) dx = a ∫ f dx + b ∫ g dx.

Nyuton–Leybnis düsturu (əsas teoremin ikinci hissəsi). C sabiti fərqdə ixtisar olunur, ona görə istənilən ibtidai funksiya yarayır.

İki əyri arasındakı sahə: «yuxarı çıx aşağı», sonra inteqralla.

Müəyyən inteqralda sərhədləri də dəyiş: x = a olduqda u = g(a), x = b olduqda u = g(b).

Hissə-hissə inteqrallama düsturu. Müəyyən inteqral üçün: ∫ₐᵇ u dv = [uv]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du.

Uc nöqtədə qeyri-məhdud funksiya üçün də eyni ideya: ∫₀¹ f(x) dx = lim (t→0⁺) ∫ₜ¹ f(x) dx.

Disk üsulu: y = f(x), a ≤ x ≤ b altındakı fiqur x oxu ətrafında fırlanır.

Dəyişən qüvvənin işi — «qüvvə × yol» düsturunun inteqral şəkli.

y = eʳˣ yerinə yazıldıqda diferensial tənlik kvadrat tənliyə — xarakteristik tənliyə çevrilir.

«Sətir sütuna» qaydası: A (m × n) · B (n × p) = C (m × p).

Hasilin transponəsində vuruqların sırası tərsinə çevrilir — corab və ayaqqabı kimi: axırıncı geyinilən birinci çıxarılır.

Kroneker–Kapelli teoremi: sistemin həlli yalnız və yalnız bu iki ranq bərabər olduqda var. Bu halda r(A) = n olarsa, həll yeganədir, r(A) < n olarsa, sonsuz sayda həll var (n − r(A) sayda sərbəst məchul). r(A) < r(A | b) olarsa, 0 = c (c ≠ 0) şəklində sətir yaranır və həll yoxdur.

Baş diaqonalın hasilindən digər diaqonalın hasili çıxılır.

Sarrus qaydası (üçbucaqlar qaydası): üç hasil «+», üç hasil «−» işarəsi ilə.

n × n ölçülü matrisin təkrarlanmalar nəzərə alınmaqla n məxsusi ədədi var; onların bəziləri kompleks ola bilər.

Haradan: det(A − λI) = (a − λ)(d − λ) − bc = λ² − (a + d)λ + (ad − bc).

Qüvvətlər asanlaşır: Aᵏ = PDP⁻¹ · PDP⁻¹ · … hasilində ortadakı bütün P⁻¹P vuruqları ixtisar olunur.

Müstəvidə qoşma ədəd z-in həqiqi oxa nəzərən simmetrik əksidir.

Eyler düsturu. O, eˣ, cos x və sin x funksiyalarının qüvvət sıralarından alınır: eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + … sırasında x = iφ yazıb həqiqi və xəyali hədləri qruplaşdırsaq, məhz cos φ və i sin φ sıraları alınır.

Muavr düsturu (e^(iφ))ⁿ = e^(inφ) bərabərliyindən alınır. n = 2 olduqda o, ikiqat bucaq düsturlarını dərhal verir: (cos φ + i sin φ)² = cos²φ − sin²φ + 2i sin φ cos φ, deməli, cos 2φ = cos²φ − sin²φ və sin 2φ = 2 sin φ cos φ.

Sıfırdan fərqli kompleks ədədin düz n müxtəlif n dərəcəli kökü var; onlar mərkəzi 0-da olan düzgün n-bucaqlının təpələridir.

f-in bütün ədəd oxu üzrə inteqralı 1-ə bərabərdir.

Birinci düstur diskret, ikincisi kəsilməz kəmiyyətlər üçündür. Riyazi gözləmə paylanmanın «tarazlıq nöqtəsidir»: çoxlu təkrarların uzunmüddətli ortası.

İkinci şəkil kvadratı açmaqla alınır: M[(X − μ)²] = M(X²) − 2μ·M(X) + μ² = M(X²) − μ².

Həmişə M(X + Y) = M(X) + M(Y); X və Y asılı olmadıqda isə D(X + Y) = D(X) + D(Y).

B(n, p) binomial paylanması: eyni p ehtimallı n asılı olmayan sınaqda uğurların sayı.

68–95–99,7 qaydası («üç siqma» qaydası): demək olar ki, bütün qiymətlər ortadan 3σ məsafə daxilindədir.

De Morqan qanunları.

Daxiletmə–çıxarma düsturu: hər iki çoxluqda olan elementlər iki dəfə sayılıb, ona görə bir dəfə çıxılır. Üç çoxluq üçün: |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.

Əl sıxma lemması: hər tilin iki ucu var. Nəticə: tək dərəcəli təpələrin sayı həmişə cütdür.

Ağac — dövrü olmayan rabitəli qrafdır (şəcərə, kompüterdəki qovluqlar, mümkün qədər az yolla qurulmuş şəbəkə). Hər ağacda tillərin sayı təpələrin sayından düz bir vahid azdır: istənilən til əlavə etmək dövr yaradır, istənilən tili atmaq qrafı hissələrə ayırır.