Formüller ve kolay yollar

Örneğin 2³ = 2 · 2 · 2 = 8 ve 5² = 5 · 5 = 25.

a’nın b’ye bölünmesi, a’nın b · k biçiminde yazılabilmesi demektir. Bu yüzden b’nin katları b · 1, b · 2, b · 3, … sayılarıdır.

Terimlerden biri m’ye bölünüp diğeri bölünmüyorsa ne toplam ne de fark m’ye bölünür. Terimlerin hiçbiri bölünmüyorsa kural bir şey söylemez; kontrol etmek gerekir.

n sayısı ancak ve ancak son rakamı çiftse (0, 2, 4, 6, 8) 2’ye, son rakamı 0 ya da 5 ise 5’e, son rakamı 0 ise 10’a bölünür.

n sayısı ancak ve ancak son iki basamağının oluşturduğu sayı 4’e bölünüyorsa (00, 04, 08, 12, …, 96) 4’e, son iki basamağı 00, 25, 50 ya da 75 ise 25’e bölünür.

Bir sayı ancak ve ancak rakamları toplamı 3’e (9’a) bölünüyorsa 3’e (9’a) bölünür. Üstelik bir sayı ile rakamları toplamı 3’e ve 9’a bölündüğünde aynı kalanı verir. 4527’nin rakamları toplamı 18’dir, bu yüzden 4527 = 9 · 503.

p · p ≤ n koşulunu sağlayan asal sayıların hiçbiri n’yi bölmüyorsa n asaldır. 100’den küçük sayılar için 2, 3, 5 ve 7’yi denemek yeter, çünkü 11 · 11 = 121.

Bir asal sayının ayrılışı tek bir çarpandan, kendisinden oluşur: 13 = 13. Her bileşik sayının ayrılışı ise çarpanların sırası dışında tektir.

EBOB, ortak asal çarpanların her biri en küçük üssüyle alınarak bulunan çarpımıdır. Kontrol: 120 ÷ 6 = 20, 126 ÷ 6 = 21; 20 ile 21 de aralarında asaldır.

Büyük sayının yerine farkı yaz ve tekrarla. İki sayı eşitlendiğinde elde edilen sayı EBOB’dur.

(a, b) çiftini (b, r) çiftiyle değiştir. Kalan 0 olduğunda son bölen (sıfırdan farklı son kalan) EBOB’dur.

EKOK, bütün asal çarpanların her biri en büyük üssüyle alınarak bulunan çarpımıdır. Kontrol: 2520 ÷ 120 = 21, 2520 ÷ 126 = 20.

Yalnızca iki sayı için doğrudur. Aralarında asal sayılarda EBOB = 1 olduğundan EKOK = a · b.

Kalan her zaman bölenden küçüktür: 7’ye bölmede olası kalanlar 0, 1, …, 6’dır. En büyük kalan b − 1’dir.

Sayıları kalanlarıyla değiştir, hesapla, sonra sonucun kalanını yeniden al.

Üstteki çizgi a ve b’nin çarpım değil, basamak olduğunu gösterir: a̅b̅ ≠ a · b. Örneğin 47 = 10 · 4 + 7.

Basamaklar yer değiştirdiğinde fark 9’a (üç basamaklıda 99’a), toplam ise 11’e bölünür. Bu, cevabı kontrol etmeye ve seçenekleri daraltmaya yardım eder.

Çarpanlar aralarında asal olmalıdır: 12’ye bölünebilme 2 ve 6 ile kontrol edilemez — 18 hem 2’ye hem 6’ya bölünür ama 12’ye bölünmez.

a ve b aralarında asalsa EBOB = 1 ve EKOK = ab olur.

10, 100, 1000 ile çarpınca virgül 1, 2, 3 basamak sağa, bölünce sola kayar. 0,1 ile çarpmak 10’a bölmek, 0,1’e bölmek ise 10 ile çarpmaktır.

İki sayıda da virgülü n basamak sağa kaydır; bölen doğal sayı olur, sonra doğal sayıya böleriz.

Ters işaretlinin ters işaretlisi sayının kendisidir. Yan yana duran iki “−” birbirini götürür: −(−(−5)) = −5, çünkü üç işaretten ikisi birbirini götürür, biri kalır.

Pozitif bir sayının ve sıfırın mutlak değeri sayının kendisidir; negatif bir sayının mutlak değeri ise ters işaretlisidir. Bu yüzden |a| ≥ 0 ve |−a| = |a|: ters işaretli sayıların mutlak değerleri eşittir.

O’ya a uzaklıkta iki nokta vardır: biri sağda, biri solda. |x| = 0 ise yalnızca x = 0’dır; |x| = −3 gibi bir denklemin ise çözümü yoktur, çünkü uzaklık negatif olamaz.

İki negatif sayıdan mutlak değeri büyük olan daha küçüktür: sıfıra daha uzak, daha soldadır. −10 °C’lik ayaz −2 °C’den soğuktur; 50 manat borç, 5 manat borçtan kötüdür.

Aynı işaretli sayıları toplamak için mutlak değerleri toplanır ve ortak işaret yazılır. Doğru üzerinde iki kez aynı yöne gideriz; iki borç birleşince daha büyük bir borç olur: (−3) + (−5) = −8.

Farklı işaretli sayıları toplamak için büyük mutlak değerden küçüğü çıkarılır ve sonuca mutlak değeri büyük olan toplananın işareti yazılır. Ters işaretli sayıların toplamı sıfırdır: a + (−a) = 0.

Çıkarma her zaman toplamaya çevrilebilir: eksilen değişmez, “−” işareti “+” olur, çıkan ise ters işaretlisiyle değiştirilir. Özellikle: a − (−b) = a + b.

İki nokta arasındaki uzaklık, koordinatlarının farkının mutlak değeridir. Büyük koordinattan küçüğünü çıkarırsan mutlak değere gerek kalmaz: sonuç zaten pozitiftir.

Aynı işaretli iki sayının çarpımı pozitif, farklı işaretli iki sayının çarpımı negatiftir. Çarpımın mutlak değeri, çarpanların mutlak değerlerinin çarpımına eşittir. Çarpanlardan biri 0 ise çarpım 0’dır.

Aynı işaretli sayıların bölümü pozitif, farklı işaretli sayıların bölümü negatiftir. 0, sıfırdan farklı herhangi bir sayıya bölünürse 0 elde edilir.

Negatif bir sayının çift kuvveti pozitif, tek kuvveti negatiftir. −aⁿ yazımında ise önce kuvvet hesaplanır, sonra ters işaretlisi alınır: kuvvet, önündeki “−” işaretinden önce yapılır.

Değişme, birleşme ve dağılma özellikleri negatif sayılar, kesirler ve ondalık gösterimler için de geçerlidir. Çıkarma ve bölmede değişme özelliği yoktur.

Boş olmayan alt küme sayısı 2ⁿ − 1, kümenin kendisinden farklı alt küme (öz alt küme) sayısı da 2ⁿ − 1, belirli bir elemanı içeren alt küme sayısı ise 2ⁿ⁻¹’dir. k elemanlı alt küme sayısı Cₙᵏ’dir (bkz. “Permütasyon ve kombinasyon” dersi).

A \ B ile B \ A farklı kümelerdir; birleşim ve kesişim ise değişme özelliğine sahiptir.

Alt küme özellikleri ve dağılma kuralları: kesişim birleşim üzerine, birleşim de kesişim üzerine dağılır.

n(A) + n(B) toplamında ortak elemanlar iki kez sayılmıştır, bu yüzden bir kez çıkarılır. Buradan: n(A \ B) = n(A) − n(A ∩ B).

Üç küme için: tek tek toplarız, ikili kesişimleri çıkarırız, üçlü kesişimi geri ekleriz (üç kez eklenip üç kez çıkarılmıştır).

Çarpmanın dağılma özelliği: parantezin önündeki çarpan parantezin içindeki her terimle çarpılır. Soldan sağa okununca parantez açılır, sağdan sola okununca ortak çarpan parantez dışına alınır: 5x − 2x = (5 − 2)x = 3x.

Parantezin önünde “+” varsa içerideki terimlerin işaretleri korunur. “−” varsa bütün terimlerin işaretleri değişir, çünkü “−” işareti −1 ile çarpmak demektir: −(x − 7) = (−1) · x + (−1) · (−7) = −x + 7.

Tabanları aynı olan kuvvetler çarpılırken üsler toplanır: x² · x³ = (x · x) · (x · x · x) = x⁵. Bir kuvvetin kuvveti alınırken üsler çarpılır: (x²)³ = x² · x² · x² = x⁶. Bir çarpımın kuvveti alınırken her çarpanın kuvveti alınır: (2x)³ = 2³x³ = 8x³. Bu kurallar “Tam sayı üslü ifadeler” dersinde ayrıntılı olarak işlenir.

Birinci polinomun her terimi ikinci polinomun her terimiyle çarpılır, sonra benzer terimler toplanır. Nedeni dağılma özelliğinin iki kez uygulanmasıdır: (a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d). Terim sayısı fazla olsa da kural aynıdır: 2 terim · 3 terim = 6 çarpım.

Sözle: birincinin karesi, artı (farkta: eksi) birinci ile ikincinin çarpımının iki katı, artı ikincinin karesi. Farkın karesi toplamın karesinden elde edilir, çünkü a − b = a + (−b): yalnızca ortadaki terimin işareti değişir, kareler ise her zaman “+” işaretlidir.

İki ifadenin farkı ile toplamının çarpımı, karelerinin farkına eşittir. Soldan sağa: çarpım tek adımda açılır. Sağdan sola: iki kare farkı çarpım olarak yazılır; bu, zihinden işlemde ve çarpanlara ayırmada işe yarar.

Katsayılar 1, 3, 3, 1’dir; a’nın üssü 3’ten 0’a azalır, b’nin üssü 0’dan 3’e artar. Farkın küpünde işaretler sırayla değişir: +, −, +, −. Her terimin derecesi 3’tür.

Kontrol: (a + b)(a² − ab + b²) = a³ − a²b + ab² + a²b − ab² + b³ = a³ + b³; ortadaki dört terim ikişer ikişer birbirini götürür. Aynı şekilde (a − b)(a² + ab + b²) = a³ − b³.

Sağdan sola okunan dağılma özelliği. Parantezde ilk polinomdaki kadar terim kalmalıdır; terim sayılarını karşılaştırmak hızlı bir kontroldür.

Ortak çarpan iki kez dışarı alınır: önce her gruptan, sonra ifadenin tamamından. Parantezler aynı çıkmazsa terimleri başka türlü grupla ya da gruplardan birinden negatif bir çarpan al.

İki terim: iki kare farkı ya da iki küp toplamı (farkı); üç terim: tam kare olabilir. İki kare toplamı a² + b² (gerçek katsayılarla) çarpanlarına ayrılamaz.

Aramaya çarpımdan başla: q’yu iki çarpanın çarpımı olarak bütün yollarla yaz ve toplamı p olan çifti seç.

Denklemin bir tarafı çarpım, diğer tarafı sıfır olmalıdır. x(x − 5) = 6 yazılışından bir sonuç çıkmaz.

Sistem küme parantezi ile yazılır. Bu sistemin çözümü (4, 3) ikilisidir: 4 + 3 = 7 ve 4 − 3 = 1. (5, 2) ise çözüm değildir: birinci denklemi sağlar ama ikinciyi sağlamaz.

Birimler uyumlu olmalıdır: 1 m/s = 3,6 km/h, 20 dk = 1/3 saat.

Temel fikir: saf madde miktarı karıştırmadan önce ve sonra aynıdır. Su eklemek c₂ = 0, saf madde eklemek c₂ = 1 (%100) demektir.

Doğrusal fonksiyonun grafiği bir doğrudur; çizmek için iki nokta yeterlidir. Türkiye'deki ders kitaplarında doğru denklemi çoğunlukla y = mx + n biçiminde yazılır.

Komşu bütünler açıların toplamı 180°’dir, çünkü birlikte bir doğru açıyı tamamen doldururlar. Bu yüzden dar açının komşu bütünleri geniş açıdır, dik açınınki ise yine dik açıdır.

Ters açılar eşittir.

Paralel doğruların bir kesenle oluşturduğu açıların özellikleri: yöndeş açılar eşittir, iç ters açılar eşittir, karşı durumlu açıların toplamı 180°’dir. Diğer çiftler için de aynısı geçerlidir.

Paralellik koşulları: yöndeş açılar eşitse ya da iç ters açılar eşitse ya da karşı durumlu açıların toplamı 180° ise doğrular paraleldir. Üç koşuldan birinin sağlanması yeter.

Formül nereden geliyor: (30h + 0,5m) − 6m = 30h − 5,5m. Yelkovan her dakika akrebe göre 6° − 0,5° = 5,5° öne geçer.

Üçgenin iç açıları toplamı teoremi: her üçgenin iç açılarının toplamı 180°’dir.

Dış açı teoremi: bir üçgenin dış açısı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir. İspat: ∠BCD = 180° − ∠C; ∠A + ∠B de 180° − ∠C’ye eşittir. Sonuç: dış açı, kendisine komşu olmayan her iç açıdan büyüktür.

Üçgen eşitsizliği: üçgenin her kenarı diğer iki kenarın toplamından küçüktür. Buradan başka bir biçim çıkar: her kenar diğer ikisinin farkından büyüktür, |b − c| < a < b + c.

Bir üçgende büyük kenarın karşısında büyük açı, büyük açının karşısında büyük kenar bulunur; eşit kenarların karşısında eşit açılar bulunur.

Kenar–Açı–Kenar (KAK) kuralı: bir üçgenin iki kenarı ve bu kenarlar arasındaki açı, başka bir üçgenin iki kenarına ve aralarındaki açıya eşitse bu üçgenler eştir.

Açı–Kenar–Açı (AKA) kuralı: bir üçgenin bir kenarı ve bu kenara komşu iki açısı, başka bir üçgenin bir kenarına ve ona komşu iki açısına eşitse bu üçgenler eştir.

Kenar–Kenar–Kenar (KKK) kuralı: bir üçgenin üç kenarı başka bir üçgenin üç kenarına eşitse bu üçgenler eştir.

Hipotenüs–dik kenar kuralı: bir dik üçgenin hipotenüsü ve bir dik kenarı başka bir dik üçgenin hipotenüsüne ve bir dik kenarına eşitse bu üçgenler eştir. “İki kenar ve aralarında olmayan açı” durumu yalnızca burada işe yarar, çünkü açı diktir.

İkizkenar üçgenin taban açıları eşittir; tersine, bir üçgenin iki açısı eşitse üçgen ikizkenardır.

İkizkenar üçgende tepeden tabana çizilen açıortay aynı zamanda kenarortay ve yüksekliktir; tepeden çizilen kenarortay ve yükseklik de aynı doğru parçasıdır.

Orta dikmenin her noktası doğru parçasının uçlarına eşit uzaklıktadır; tersine, uçlara eşit uzaklıktaki her nokta orta dikme üzerindedir.

Paralelkenarın özellikleri: karşılıklı kenarlar ve karşılıklı açılar eşittir, ardışık açıların toplamı 180°’dir, köşegenler birbirini ortalar.

Paralelkenar olma koşulları: bir dörtgenin aynı iki karşılıklı kenarı hem eşit hem paralelse ya da karşılıklı kenarları ikişer ikişer eşitse ya da köşegenleri birbirini ortalıyorsa bu dörtgen paralelkenardır.

Dikdörtgenin köşegenleri eşittir; tersine, köşegenleri eşit olan paralelkenar dikdörtgendir.

Eşkenar dörtgenin köşegenleri birbirine diktir ve açılarını iki eş parçaya böler; tersine, köşegenleri dik olan paralelkenar eşkenar dörtgendir.

Tales teoremi: bir açının bir kolu üzerinde art arda eş doğru parçaları alınır ve uçlarından paralel doğrular çizilirse, bu doğrular açının diğer kolu üzerinde de eş doğru parçaları ayırır.

İkizkenar yamukta taban açıları eşittir ve köşegenler eşittir; bu özelliklerin her biri aynı zamanda bir koşuldur.

Her çokgenin çevresi kenarlarının toplamıdır; diğer üç formül eş kenarlar için kısa yazımdır.

Komşu uzunluk birimleri 10 kat, komşu alan birimleri ise 100 kat farklıdır. Küçük birime geçerken çarparız, büyük birime geçerken böleriz.

Dikdörtgenin alanı komşu iki kenarının çarpımına, karenin alanı ise kenarının karesine eşittir.

Herhangi bir kenar taban olarak alınabilir; yeter ki yükseklik tam o kenara indirilmiş olsun: A = a · h₁ = b · h₂.

Dik üçgende bir dik kenar diğer dik kenara ait yüksekliktir; bu yüzden A = ½ · a · b (a, b dik kenarlar).

Bu formül köşegenleri dik olan her dışbükey dörtgen için geçerlidir: eşkenar dörtgen, kare (A = d²/2), deltoid.

Çemberin uzunluğu çapın π katıdır.

Halkanın alanı = büyük dairenin alanı − küçük dairenin alanı.

Uzunluk yarıçap gibi, alan ise yarıçapın karesi gibi değişir.

Buradan: c = √(a² + b²), a = √(c² − b²).

AA benzerlik kuralı (açı–açı): bir üçgenin iki açısı diğer üçgenin iki açısına eşitse bu üçgenler benzerdir.

Öklid bağıntıları: yükseklik iki izdüşümün geometrik ortasıdır; her dik kenar da hipotenüs ile kendi izdüşümünün geometrik ortasıdır.

Δ = 0 iken ax² + bx + c = a(x − x₁)²; Δ < 0 iken üç terimli birinci dereceden çarpanlara ayrılamaz. Diğer yöntemler (ortak çarpan, gruplama) “Polinomları çarpanlarına ayırma” dersindedir.

a > 0 ise tepe noktası en alçak, a < 0 ise en yüksek noktadır. Tepe noktası (0, 0), simetri ekseni y eksenidir. y = −ax² grafiği, y = ax² grafiğinin x eksenine göre yansımasıdır.

Tepe noktası (m, n), simetri ekseni x = m doğrusudur. Grafik, y = ax² parabolünün yatayda m, düşeyde n birim ötelenmesiyle elde edilir; biçimi değişmez. Türkiye’de bu biçim çoğunlukla y = a(x − r)² + k diye yazılır ve tepe noktası T(r, k) ile gösterilir.

Bu, ikinci dereceden fonksiyonun çarpanlarına ayrılmış biçimidir (“İkinci dereceden denklemler” dersindeki ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂) formülü); Δ ≥ 0 iken vardır. Tepe noktası köklerin ortasındadır: x₀ = (x₁ + x₂)/2.

n. terim = ilk terim + (n − 1) adım.

Üs, sıra numarasından 1 eksiktir; aritmetik dizideki n − 1 gibi.

Ortadaki terimin karesi dıştakilerin çarpımına eşittir. Pozitif terimler için bₙ = √(bₙ₋₁ · bₙ₊₁).

Bu özdeşlik Pisagor teoreminden gelir. Örneğin dar bir açı için sin α = 0,6 ise cos α = √(1 − 0,36) = √0,64 = 0,8 olur.

Açıklık kolay bulunur ama yalnızca iki uç değere bağlıdır; bu yüzden tek bir aykırı değer onu çok değiştirir.

“A değil” ya da “hiçbiri” A’nın kendisinden daha kolay sayılıyorsa tümleyene geçin; özellikle “en az bir” sorularında.

Toplama kuralı yalnızca ayrık olaylar için geçerlidir. A ile B birlikte gerçekleşebiliyorsa ortak çıktılar iki kez sayılır ve bir kez çıkarılmalıdır: P(A veya B) = P(A) + P(B) − P(A ve B).

Çarpma kuralı yalnızca bağımsız olaylar içindir. Birkaç olayın hepsinin birden gerçekleşme olasılığı hiçbir zaman en küçük çarpandan büyük olmaz.

Oranın temel özelliği: iki terim de aynı sayıyla çarpılabilir veya bölünebilir. Bu yüzden oran, kesir gibi sadeleştirilir.

Orantının temel özelliği: dışlar çarpımı içler çarpımına eşittir. Böylece bilinmeyen herhangi bir terim bulunur, örneğin d = b · c / a.

Örnek: 1 : 500 000 ölçekli haritada 4,2 cm olan yol 4,2 · 500 000 = 2 100 000 cm = 21 km'dir.

İşlem önceliğinde üs alma çarpmadan önce gelir: 2 · 3² = 2 · 9 = 18; (2 · 3)² = 36 ise başka bir ifadedir.

Negatif bir sayının çift kuvveti pozitif, tek kuvveti negatiftir. Yani herhangi bir sayının çift kuvveti negatif olamaz: x² ≥ 0, x⁴ ≥ 0.

Bir üslü ifadenin kuvveti alınırken üsler çarpılır: (a³)² = a³ · a³ = a³⁺³ = a⁶. Parantezin yeri önemlidir: 2^(3²) = 2⁹ = 512, ama (2³)² = 2⁶ = 64.

Taban 1’den büyükse büyük üs büyük kuvvet verir; taban 0 ile 1 arasındaysa tersi olur: 0,5² = 0,25 > 0,5³ = 0,125. Üsler aynı doğal sayı olduğunda büyük pozitif tabanın kuvveti büyüktür.

Virgül k basamak sola kaydırılırsa n = k olur (10’dan büyük sayılar); k basamak sağa kaydırılırsa n = −k olur (1’den küçük sayılar).

Tanımın iki koşulu: kökün karesi kök içine eşittir ve kökün kendisi negatif değildir. x² = 49 denkleminin iki çözümü vardır (x = ±7), ama √49 yalnızca 7’dir.

Kök negatif olamaz; bu yüzden bir karenin karekökü sayının kendisini değil, mutlak değerini verir: √((−5)²) = √25 = 5 = |−5|. a ≥ 0 iken √(a²) = a, a < 0 iken √(a²) = −a.

Kökten dışarı sayı karekökü olarak çıkar, kök içine ise karesi alınarak girer. Harfli ifadelerde mutlak değeri unutma: √(50x²) = 5|x|√2.

Büyük sayının karekökü de büyüktür. Bu yüzden köklü ifadeler iki yolla karşılaştırılır: çarpanlar kök içine alınıp kök içleri karşılaştırılır ya da iki taraf da pozitifse kareleri alınır; bu, eşitsizliğin yönünü değiştirmez.

İlk eşitlik kökün tanımıdır. Diğer ikisi √(a²) = |a| kuralının genellemesidir: ⁴√((−2)⁴) = 2, ama ∛((−2)³) = −2.

Aynı sayıyı eklemek (çıkarmak) ve pozitif bir sayıyla çarpmak (bölmek) yönü korur. Negatif bir sayıyla çarparken veya bölerken eşitsizliğin yönü değişir.

Aynı yönlü eşitsizlikler taraf tarafa toplanabilir, tarafları pozitif olanlar taraf tarafa çarpılabilir. Taraf tarafa çıkarma ve bölme yapılamaz: a − b’nin değer aralığını bulmak için önce b’den −b’ye geçilir, sonra toplanır.

“İkisinden de büyük” büyüğünden büyük demektir; “ikisinden de küçük” küçüğünden küçük demektir; “arada” bir aralık verir; taramalar birbirinden uzaklaşıyorsa çözüm yoktur.

“Küçüktür” a’nın çevresinde tek bir aralık verir (sistem gibi); “büyüktür” ise onun dışında iki sınırsız aralık verir (“veya” sözcüğü, birleşim ∪). ≤ ve ≥ durumunda a ± b uçları da dahildir. b < 0 ise |x − a| < b eşitsizliğinin çözümü yoktur, |x − a| > b ise her x için doğrudur, çünkü uzaklık negatif olamaz.

√(a²) = |a| olduğundan √((x − 3)²) = |x − 3| yazılır, x − 3 değil. |a|² = a² ise iki mutlak değerin karesini almaya izin verir.

Sağ taraf bir sayıysa mutlak değer iki denkleme ayrılır; sağ taraf negatifse çözüm yoktur.

Mutlak değer negatif olmadığından sağ taraf da negatif olamaz: önce g(x) ≥ 0 koşulunu yaz, sonda her kökü bu koşulla kontrol et.

İki taraf da negatif olmadığından ek koşul gerekmez. |x − a| = |x − b| (a ≠ b) denkleminin tek kökü a ile b’nin ortasıdır: x = (a + b)/2.

“Küçüktür” bir sistemdir (iki koşul birlikte), “büyüktür” bir birleşimdir (en az biri). İki mutlak değerde iki taraf da negatif olmadığından kare alınabilir: f² < g².

Neden: x > x₂ iken iki parantez de pozitiftir; kökler arasında x − x₁ > 0 ama x − x₂ < 0’dır; x < x₁ iken ikisi de negatiftir ve çarpım yine pozitif olur. a > 0 için aklında tut: “kökler arasında eksi, dışında artı”.

En büyük kökün sağında bütün parantezler pozitiftir, bu yüzden çarpım da pozitiftir; bir kökten geçerken yalnızca bir parantezin işareti değişir. Bu, bütün çarpanlar (x − a) biçimindeyken, yani x’in katsayısı pozitifken geçerlidir.

Kural paydanın köklerinde de geçerlidir: paydadaki (x − 2)² çarpanı 2’de işaret değiştirmez, ama 2 yine de cevaba dahil değildir.

a = 0 olunca denklem bx + c = 0 olur: b ≠ 0 ise bir kök; b = 0 ise ya kök yoktur ya da her x köktür.

Kesin olmayan eşitsizliklerde (≥ 0, ≤ 0) D ≤ 0 alınır. a parametreye bağlıysa a = 0 durumunu ayrıca incele: bx + c her x için işaretini ancak b = 0 iken korur.

a ≥ 0 iken kare almak güvenlidir: f(x) = a² ≥ 0 olduğundan tanım kümesi koşulu kendiliğinden sağlanır. Tek dereceden kök her işaretten olabilir ve küp alma denk bir adımdır; yabancı kök çıkmaz.

Kare alma yalnızca tek yönde doğrudur: yeni denklem eskisinin bütün köklerini korur, ama bunlara A = −B denkleminin kökleri de katılır. Yabancı kökler tam olarak bunlardır.

f(x) ≥ 0 koşulunu yazmaya gerek yoktur: f(x) = g²(x) ≥ 0 kendiliğinden sağlanır. g²(x), (g(x))² demektir.

Çarpımda f(x) = 0 denkleminin kökleri yalnızca tanım kümesinde (g(x) ≥ 0) geçerlidir.

Denklemi t için çöz, negatif değerleri at, sonra √f(x) = t denklemine dön. ⁴√x gibi köklerde t = ⁴√x alınır; o zaman √x = t² olur.

a < 0 iken √f(x) < a eşitsizliğinin çözümü yoktur, √f(x) > a ise bütün tanım kümesinde (f(x) ≥ 0) doğrudur. ≤ ve ≥ işaretlerinde eşitlik durumu da çözüme katılır.

İkinci durumda iki sistemin çözümlerini birleştiririz (∪). f > g² koşulu f ≥ 0 koşulunu da sağlar.

x’i a cinsinden yaz ve bunun hangi a değerleri için mümkün olduğunu bul. Basit durumlarda daha kısa bir yol vardır: (…)² ≥ 0, √(…) ≥ 0, |…| ≥ 0 parçalarını değerlendirmek.

Artan fonksiyonda büyük değişkene büyük değer karşılık gelir; grafik soldan sağa yükselir. Artan ya da azalan bir fonksiyon her değeri en fazla bir kez alır; bu yüzden f(x) = a denkleminin en fazla bir kökü olur.

Çift fonksiyonun grafiği y eksenine, tek fonksiyonun grafiği orijine göre simetriktir. Fonksiyonların çoğu ne tek ne çifttir.

T bir periyotsa 2T, 3T ve −T de periyottur: f(x + nT) = f(x). Grafik, uzunluğu T olan bir parçanın tekrarından oluşur.

Grafiğin her noktası (x, y) → (x + a, y + b) biçiminde taşınır. Tanım kümesi a kadar, görüntü kümesi b kadar kayar.

Birkaç dönüşüm varsa sırayla çalış: önce x üzerindekiler (öteleme, sıkıştırma), sonra esnetme ve yansımalar, ardından düşey öteleme; dıştaki mutlak değer en sona kalır.

(a, b) noktası f’nin grafiği üzerindeyse (b, a) noktası g’nin grafiği üzerindedir. Demek ki birbirinin tersi olan fonksiyonların grafikleri y = x doğrusuna göre simetriktir.

Üstel fonksiyon: tanım kümesi tüm gerçek sayılar, görüntü kümesi (0, +∞). a > 1 ise artan, 0 < a < 1 ise azalandır.

Her T sürede büyüklük a ile çarpılır. Bileşik faiz: S = S₀ · (1 + p/100)ⁿ (T = 1 yıl, n yıl sayısı). Radyoaktif bozunma: m = m₀ · (1/2)^(t/T); burada T yarı ömürdür.

Sürekli büyüme ve azalma modeli. e'nin kuvvetleri hesap makinesiyle bulunur: e ≈ 2,718, e⁻¹ ≈ 0,368, e^0,1 ≈ 1,105.

Neden doğru: aˣ monotondur ve her değeri yalnızca bir kez alır; bu yüzden eşit kuvvetlerin üsleri de eşittir. aˣ = b denkleminin b > 0 iken tek çözümü vardır, b ≤ 0 iken çözümü yoktur.

Üsleri sabit bir sayı kadar farklı olan kuvvetlerin ortak çarpanı aˣ'tir. Onu paranteze alırız, parantezin içinde sıradan bir sayı kalır.

a^(2x), aˣ ve sabit terimden oluşan denklem t'ye göre ikinci dereceden bir denkleme dönüşür. a^(−x) = 1/t olduğundan aˣ + a^(−x) içeren denklemler de böyle çözülür.

Taban 1'den küçükse yön değişir. Sağ taraf negatif ya da sıfırsa çözecek bir şey yoktur: aˣ > −3 her x için doğrudur, aˣ < 0 ise hiçbir zaman.

Logaritma bir üstür. Aynı eşitlik iki şekilde okunur: 2³ = 8 ⇔ log₂8 = 3. Özel durumlar: logₐ1 = 0, çünkü a⁰ = 1; logₐa = 1, çünkü a¹ = a.

Temel logaritma özdeşliği: a'yı b'nin logaritması kadar kuvvete yükseltirsek b'yi geri alırız. Kuvvet alma ve logaritma, toplama ile çıkarma gibi birbirini “geri alır”.

Çarpımın logaritması, çarpanların logaritmalarının toplamına eşittir. Sağdan sola da okunur: aynı tabanlı logaritmaların toplamı, çarpımın logaritmasıdır.

y = aˣ fonksiyonunun tersi. Tanım kümesi (0, +∞), görüntü kümesi tüm gerçek sayılar.

Logaritmaları karşılaştırma. Tabanlar farklıysa her logaritmayı 0 veya 1 gibi “dayanak” bir sayıyla karşılaştır: 1 = logₐa, 2 = logₐa².

En basit logaritmik denklem doğrudan tanımdan çözülür. Burada f(x) > 0 koşulunu ayrıca kontrol etmeye gerek yoktur: aᵇ her zaman pozitiftir.

Logaritma fonksiyonu monotondur; bu yüzden eşit logaritmaların içleri de eşittir. İçlerden birinin pozitif olması yeterlidir, çünkü diğeri ona eşittir; hangisi daha basitse onu kontrol et.

Denklemde yalnızca logₐx ve kuvvetleri varsa t'ye göre sıradan bir denklem elde edilir. t = aˣ dönüşümünden farklı olarak burada t'ye bir kısıtlama yoktur. Yazılışa dikkat: log²x = (log x)², log(x²) ise 2 log x'tir (x > 0).

Logaritma alma: iki tarafı da pozitif olan bir denklemin iki tarafının aynı tabanda logaritması alınabilir. Tabanları aynı sayıya getirilemeyen üstel denklemlerde ve bilinmeyenin hem tabanda hem üste olduğu x^(log x) tipi denklemlerde temel yöntem budur.

İki durumda da küçük olan ifadenin pozitif olması yeterlidir; büyük olan o zaman kendiliğinden pozitiftir. Sayıyı da logaritma olarak yaz: b = logₐ(aᵇ).

Tam turda (α = 2π) bu formüller çemberin uzunluğunu 2πR, dairenin alanını πR² verir. Derece ile aynı formüller l = πRα°/180° gibi hantal olurdu.

Periyot. Sinüs ve kosinüsün periyodu 2π, tanjant ve kotanjantın periyodu π’dir: yarım turdan sonra x ve y koordinatlarının ikisi de işaret değiştirir, oranları ise değişmez.

Tek-çift olma. −α açısında y koordinatı işaret değiştirir, x değiştirmez: kosinüs çift; sinüs, tanjant ve kotanjant tek fonksiyonlardır.

Temel özdeşlik. P(cos α, sin α) noktası birim çemberin üzerindedir; çemberin denklemi x² + y² = 1’dir (Pisagor teoremi). Özdeşlik yalnızca dar açılar için değil, her açı için doğrudur.

Toplamın ve farkın kosinüsü. Kosinüsler çarpımı ile sinüsler çarpımı arasındaki işaret, parantezdekinin tersidir.

Toplamın ve farkın sinüsü. İndirgeme formülünden çıkar: sin(α + β) = cos(π/2 − α − β) = cos((π/2 − α) − β), sonra farkın kosinüsü uygulanır.

İki kat açı formülleri. “2α” ile “α” arasında bir köprüdür: soldan sağa açıyı yarıya indirir, sağdan sola ifadeyi toparlar.

Çarpımı toplama dönüştürme formülleri, toplam formüllerini ikişer ikişer toplayarak ya da çıkararak bulunur. Çarpımı toplamla değiştirmek integral almada ve titreşimleri toplarken gerekir.

Sinüs tek fonksiyondur; bu yüzden sinüs eğrisi başlangıç noktasına göre simetriktir.

arcsin ve arctan tek fonksiyonlardır. arccos ise tek değildir: a ve −a değerlerine birim çemberde y eksenine göre simetrik noktalar karşılık gelir ve açılarının toplamı π’dir.

İki kök serisi: arccos a + 2πn ve −arccos a + 2πn; x eksenine göre simetrik iki nokta.

Açık hâli: x = arcsin a + 2πn ve x = π − arcsin a + 2πn. |a| > 1 ise kök yoktur.

Burada a’ya bir koşul yoktur, çünkü tanjant ve kotanjant bütün gerçek değerleri alır; serinin adımı 2π değil, π’dir.

Vektörün koordinatlarını bulmak için bitiş noktasının koordinatlarından başlangıcın koordinatları çıkarılır (“bitiş eksi başlangıç”). Kural uzayda da geçerlidir.

Bu, Pisagor teoremidir. Uzayda vektörün üç koordinatı vardır ve |a⃗| = √(x² + y² + z²): örneğin (2, 3, 6) vektörünün uzunluğu √(4 + 9 + 36) = 7'dir.

Vektörler koordinat koordinat toplanır ve çıkarılır; bir sayıyla çarpınca her koordinat o sayıyla çarpılır.

İç çarpım bir vektör değil, bir sayıdır (skalerdir); bu yüzden skaler çarpım da denir. a⃗ · a⃗ = |a⃗|².

İç çarpımın işareti açıyı gösterir: > 0 dar açı, = 0 dik açı (dik vektörler), < 0 geniş açı.

Çarpma yoluyla sayma: seçim art arda birkaç adımda yapılıyorsa (“hem bu hem o”), her adımdaki seçenek sayıları çarpılır.

Toplama yoluyla sayma: seçim “ya bu ya o” biçimindeyse ve gruplar ortak eleman içermiyorsa seçenek sayıları toplanır.

Permütasyon sayısı: n farklı elemanı bir sıraya dizmenin yol sayısı. Birinci yer için n, ikinci yer için n − 1 seçenek kalır ve böyle devam eder.

Birinci özellik: r eleman seçmek, kalan n − r elemanı “dışarıda bırakmak” demektir. İkinci özellik Pascal üçgeninin kurulma kuralıdır: C(5, 2) + C(5, 3) = 10 + 10 = 20 = C(6, 3).

Binom açılımı. Genel terim: C(n, r) · aⁿ⁻ʳ · bʳ. Açılımda n + 1 terim vardır, katsayıların toplamı 2ⁿ'dir. (a − b)ⁿ açılımında işaretler sırayla değişir: +, −, +, …

OAH üçgeninde Pisagor teoremi: AH² + d² = R², AB ise AH’nin iki katıdır. Merkeze yakın olan kiriş daha uzundur.

Teğet, değme noktasına çizilen yarıçapa diktir. Bir noktadan çembere çizilen teğet parçaları eşittir ve PO, APB açısının açıortayıdır.

Çevre açının ölçüsü gördüğü yayın ölçüsünün yarısıdır; yani aynı yayı gören merkez açının yarısına eşittir.

Kesişen kirişlerin parçalarının çarpımları eşittir. Dış noktadan: kesenin tamamı ile dış parçasının çarpımı teğetin karesine eşittir; bu yüzden iki kesen için de PA · PB = PC · PD’dir.

Karşılıklı açılarının toplamı 180° olan bir dörtgenin köşelerinden bir çember geçer; karşılıklı kenarlarının toplamları eşit olan dışbükey bir dörtgenin içine bir çember çizilebilir.

İndirgeme formülleri: geniş açının sinüsü, kosinüsü ve tanjantı dar açıya indirgenir. Sinüs değişmez; kosinüs ve tanjant işaret değiştirir.

Üçgenin alanı, iki kenarının çarpımı ile bu kenarlar arasındaki açının sinüsünün çarpımının yarısına eşittir. C = 90° olduğunda dik üçgenin bilinen S = ½ab formülü elde edilir.

Bir kenarın karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamından bu iki kenarın ve aralarındaki açının kosinüsünün çarpımının iki katının çıkarılmasına eşittir. C = 90° olunca cos C = 0 olur ve Pisagor teoremi elde edilir.

İki nokta arasındaki uzaklık, koordinat farklarının kareleri toplamının kareköküdür. Noktaların sırası önemli değildir: (x₁ − x₂)² = (x₂ − x₁)². Bu aynı zamanda AB⃗ vektörünün uzunluğudur.

Doğrunun genel denklemi. B = 0 olunca düşey doğru x = −C/A, A = 0 olunca yatay doğru y = −C/B, C = 0 olunca başlangıç noktasından geçen bir doğru elde edilir.

Verilen M₀(x₀, y₀) noktasından geçen ve eğimi k olan doğrunun denklemi. x = x₀ yazınca y = y₀ çıkar; doğru gerçekten M₀’dan geçer.

Paralel doğruların eğimleri eşittir; dik doğruların eğimlerinin çarpımı ise −1’dir, yani k₂ = −1/k₁.

Genel biçimde: normal vektörlerin skaler çarpımı sıfırsa doğrular diktir; normal vektörler doğrusalsa (paralelse) doğrular paraleldir ya da çakışıktır.

Çemberin denklemi. Merkez başlangıç noktasındaysa: x² + y² = R². Burada a ve b merkezin koordinatlarıdır; doğru denklemindeki sayılarla karıştırma.

Teğet, değme noktasına çizilen yarıçapa diktir (bkz. “Çember: kiriş, teğet, merkez ve çevre açılar” dersi).

Aykırı doğrular arasındaki açı: doğrulardan birini diğerini kesene kadar paralel ötelenir. Bu açı 90°’den büyük olmaz; 90° ise aykırı doğrulara dik denir.

AHM dik üçgeninde Pisagor teoremi. Sonuçlar: dikme her eğikten kısadır; aynı noktadan çizilen eşit eğiklerin izdüşümleri eşittir ve tersi de doğrudur; uzun eğiğin izdüşümü de uzundur.

Üç dikme teoremi: düzlemde eğiğin ayağından izdüşüme dik çizilen doğru eğiğin kendisine de diktir; tersi de doğrudur. “Üç dikme”: AH ⊥ α, a ⊥ HM ve a ⊥ AM.

Dik izdüşümün alanı teoremi. Bir sonraki derste piramidin yanal alanı bu formülle tek satırda bulunacak.

Euler teoremi her dışbükey çok yüzlü için geçerlidir; sayımı kontrol etmenin harika bir yoludur.

Altı yüz üç eş çifttir: ab, bc ve ca. Hacim, taban alanı ile yüksekliğin çarpımıdır.

“Uzayda Pisagor teoremi”: önce taban köşegeni AC² = a² + b², sonra ACC₁ dik üçgeninde AC₁² = AC² + c².

Küp için a = b = c. Yüz köşegeni a√2, cisim köşegeni a√3’tür.

S_yanal = P_taban · h formülü dik prizma içindir: yan yüzleri yüksekliği h olan dikdörtgenlerdir. V = S_taban · h ise her prizma için geçerlidir.

Yanal alan formülü düzgün piramit içindir (bütün yan yüzlerin yüksekliği m’dir). Hacim formülü her piramit için geçerlidir: piramidin hacmi, aynı tabanlı ve aynı yükseklikli prizmanın hacminin üçte biridir. Örneğin küp, ortak tepeli üç eş kare piramide ayrılır; her birinin hacmi a³/3’tür.

Düzgün piramitte iki dik üçgen: SOM (apotemle) ve SOA (yan ayrıtla). Kare için r = a/2, R = a√2/2; eşkenar üçgen için r = a√3/6, R = a√3/3.

Hacim formülü iki piramidin hacimleri farkından elde edilir; yanal alan formülü eş yamukların alanlarının toplamıdır (düzgün kesik piramit için).

Tüm alan = yanal alan + iki taban: 2πrh + 2πr².

Yanal alan dilimin alanıdır: ½ · l · 2πr = πrl. Koni piramide benzer: hacmi, aynı taban ve yükseklikteki silindirin hacminin üçte biridir.

Hacim iki koninin hacimleri farkıdır; kesik piramidin V = ⅓ · h · (S₁ + S₂ + √(S₁ · S₂)) formülünün dairesel biçimidir.

OO₁K dik üçgeninde Pisagor teoremi: O₁ kesitin merkezi, K kesit çemberinin bir noktasıdır.

Limit, ancak iki tek taraflı limit de var ve eşitse vardır.

Sürekliliğin iki denk yazılışı: limit değere eşittir ya da küçük artım küçük artım verir.

Artım her zaman “yeni değer eksi eski değer” olarak hesaplanır; hem değişken hem de fonksiyon için.

Türevin geometrik anlamı: f′(x₀), grafiğe apsisi x₀ olan noktada çizilen teğetin eğimidir.

Grafiğe apsisi x₀ olan noktada çizilen teğetin denklemi. Cevap genellikle y = kx + b biçimine getirilir.

Paralellik koşulu: teğetin eğimi verilen doğrunun eğimine eşittir. Denklemin kaç kökü varsa o kadar teğet vardır; kök yoksa böyle bir teğet de yoktur.

Diklik koşulu. Buradan k₂ = −1/k₁ çıkar: eğimi “ters çevir ve işaretini değiştir”.

Türevin fiziksel anlamı. v > 0 ise cisim eksenin pozitif yönünde (ileri), v < 0 ise ters yönde (geri) hareket eder, v = 0 ise o anda durur.

İvme hızın birinci, konumun ise ikinci türevidir.

Akım şiddeti yükün, güç ise işin zamana göre türevidir. Okuldaki I = q / t ve P = W / t formülleri akım ve güç sabitken geçerlidir.

Marjinal maliyet, bir sonraki (x + 1). birimin yaklaşık maliyetidir. Aynı fikir biyolojide de geçerlidir: n(t) bakteri sayısıysa n′(t) koloninin büyüme hızıdır (bakteri/saat).

İçinde x olmayan bir sayının türevi 0’dır; doğrunun türevi sabittir ve eğimine eşittir.

Kuvvet kuralı: üssü katsayı olarak öne indir ve üssü 1 azalt.

Üstel fonksiyonun türevi fonksiyonun kendisiyle orantılıdır; e tabanı için katsayı ln e = 1’dir.

Sinüsün türevi kosinüs, kosinüsün türevi eksi sinüstür. (0, π) aralığında sin x > 0’dır ve cos x azalır; eksi işaretinin nedeni budur.

Toplamın (farkın) türevi, türevlerin toplamına (farkına) eşittir. Kural istenen sayıda terim için geçerlidir: (u₁ + u₂ + … + uₙ)′ = u₁′ + u₂′ + … + uₙ′.

Sabit çarpan türevin dışına çıkarılır. Paydadaki sabit de bir çarpandır: x³/6 = (1/6) · x³.

Polinomun türevi terim terim alınır: her terime (xᵏ)′ = k · xᵏ⁻¹ uygulanır, katsayı korunur, sabit terim a₀ ise kaybolur. Türevin derecesi bir azalır.

Çarpımın türevi: “birincinin türevi çarpı ikinci, artı birinci çarpı ikincinin türevi”. Terimlerin yeri değişebilir: u · v′ + u′ · v de doğrudur.

Kaç çarpan varsa o kadar terim olur: her terimde sırayla yalnızca bir çarpanın türevi alınır, diğerleri olduğu gibi kalır.

Bileşke fonksiyonun türevi, dış fonksiyonun (iç fonksiyonda hesaplanan) türevi ile iç fonksiyonun türevinin çarpımına eşittir.

Parantezi x gibi düşünüp türev al, sonra x’in katsayısıyla çarp. Örneğin (sin 3x)′ = 3 cos 3x, (e^(−2x))′ = −2e^(−2x).

Sinüs ve kosinüs. u argümanı değişmeden kalır, (cos u)′ içindeki eksi işareti de kaybolmaz.

Üç katman, üç çarpan; her katmanın türevi, içinde duran ifadede hesaplanır. Leibniz gösteriminde: dy/dx = dy/du · du/dv · dv/dx; burada u = g(v), v = h(x).

Monotonluk için yeter şart: türev pozitifse fonksiyon artan, negatifse azalandır.

Sabitlik koşulu: türevi bir aralıkta sıfır olan fonksiyon o aralıkta sabittir.

Ekstremum için gerek şart (Fermat teoremi): türevlenebilir bir fonksiyonun ekstremum noktasında teğet yataydır.

Ekstremum için yeter şart (birinci türev testi): türev, kritik noktadan geçerken işaret değiştirmelidir. İşaret değişmiyorsa ekstremum yoktur.

İkinci türev testi. f″(x₀) = 0 ise test bir şey söylemez — işaret tablosuna dön.

Kapalı aralıkta sürekli bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değeri, uç noktalardaki ve içteki kritik noktalardaki değerler arasından seçilir.

Gelir, fiyat ile satış miktarının çarpımıdır; kâr için satılan her ürünün maliyeti düşülür.

İlkel fonksiyonların genel biçimi. DİM’in “genel biçimini bulunuz” sorusunda cevapta mutlaka + C bulunmalıdır.

Kural 1 ve 2: toplamın ilkel fonksiyonu ilkel fonksiyonların toplamıdır; sabit çarpan integral işaretinin dışına alınabilir. İkisi de türevin ilgili kurallarından çıkar.

Her integral alma bir sabit getirir; onu başlangıç koşulundan buluruz.

Eğrisel yamuğun alanı, ilkel fonksiyonun b ve a’daki değerlerinin farkına eşittir.

Newton–Leibniz formülü Riemann toplamlarının limitini ilkel fonksiyona bağlar. C gerekmez: (F(b) + C) − (F(a) + C) = F(b) − F(a).

Sınırlar eşitse integral 0’dır; sınırların yeri değişince işaret değişir; aralık bölününce integraller toplanır (toplamsallık). Toplam ve sabit çarpan kuralları ilkel fonksiyondaki gibidir.

Tek fonksiyonun grafiği orijine göre simetriktir — sağ ve sol parçalar birbirini götürür. Çift fonksiyonda iki yarı eşittir.

İki eğri arasındaki şeklin alanı: “üstteki eksi alttaki”.

Yol hızın, iş ise kuvvetin integralidir.

Ara değer teoremi (Bolzano teoremi). Daha genel olarak: sürekli bir fonksiyon f(a) ile f(b) arasındaki her değeri alır.

Doğrusallık: toplamın türevi türevlerin toplamıdır, sabit çarpan türevin dışına çıkar.

Çarpım kuralı (Leibniz kuralı)

Kullanışlı örüntüler: (eᵏˣ)⁽ⁿ⁾ = kⁿeᵏˣ; sin x'in türevleri 4 adımda bir tekrar eder: sin → cos → −sin → −cos → sin.

Teğet denklemi. Normal doğrunun (teğete dik doğrunun) eğimi −1/f′(a)'dır.

Doğrusal yaklaşım: a'nın yakınında grafik neredeyse kendi teğetiyle çakışır.

Belirsiz integral, ilkel fonksiyonların tüm ailesidir. Doğrusallık: ∫ (a · f + b · g) dx = a ∫ f dx + b ∫ g dx.

Newton–Leibniz formülü (temel teoremin 2. kısmı). C sabiti farkta sadeleşir; bu yüzden herhangi bir ilkel fonksiyon kullanılabilir.

İki eğri arasındaki alan: “üstteki eksi alttaki”, sonra integral.

Belirli integralde sınırları da değiştirin: x = a, u = g(a)'ya; x = b ise u = g(b)'ye dönüşür.

Kısmi integrasyon formülü. Belirli integral için: ∫ₐᵇ u dv = [uv]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du.

Aynı fikir, bir uç noktada sınırsız olan fonksiyon için de geçerlidir: ∫₀¹ f(x) dx = lim (t→0⁺) ∫ₜ¹ f(x) dx.

Disk yöntemi: y = f(x), a ≤ x ≤ b altındaki bölge x ekseni etrafında döner.

Değişken bir kuvvetin işi: “kuvvet × yol” formülünün integral hâli.

y = eʳˣ yerine konunca diferansiyel denklem ikinci dereceden bir denkleme, yani karakteristik denkleme dönüşür.

Satır çarpı sütun kuralı: A (m × n) · B (n × p) = C (m × p).

Bir çarpımın devriğinde çarpanların sırası tersine döner; çorap ve ayakkabı gibi: en son giyilen ilk çıkarılır.

Rouché–Capelli teoremi: sistemin çözümü ancak ve ancak bu iki rank eşit olduğunda vardır. Bu durumda r(A) = n ise çözüm tektir, r(A) < n ise sonsuz çözüm vardır (n − r(A) tane serbest bilinmeyen). r(A) < r(A | b) ise 0 = c (c ≠ 0) biçiminde bir satır ortaya çıkar ve çözüm yoktur.

Asal köşegenin çarpımından diğer köşegenin çarpımı çıkarılır.

Sarrus kuralı: üç çarpım artı, üç çarpım eksi işaretiyle alınır.

n × n bir matrisin katlılıklarıyla birlikte n özdeğeri vardır; bazıları karmaşık olabilir.

Nereden geliyor: det(A − λI) = (a − λ)(d − λ) − bc = λ² − (a + d)λ + (ad − bc).

Kuvvetler kolaylaşır: Aᵏ = PDP⁻¹ · PDP⁻¹ · … çarpımında ortadaki her P⁻¹P sadeleşir.

Düzlemde eşlenik, z'nin gerçel eksene göre yansımasıdır.

Euler formülü. eˣ, cos x ve sin x fonksiyonlarının kuvvet serilerinden çıkar: eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + … serisinde x = iφ yazıp gerçel ve sanal terimleri gruplarsak tam olarak cos φ ve i sin φ serileri elde edilir.

De Moivre formülü (e^(iφ))ⁿ = e^(inφ) eşitliğinden çıkar. n = 2 için iki kat açı formüllerini hemen verir: (cos φ + i sin φ)² = cos²φ − sin²φ + 2i sin φ cos φ, yani cos 2φ = cos²φ − sin²φ ve sin 2φ = 2 sin φ cos φ.

Sıfırdan farklı bir karmaşık sayının tam n farklı n'inci kökü vardır; bunlar merkezi 0'da olan düzgün bir n-genin köşeleridir.

f'nin tüm sayı doğrusu üzerindeki integrali 1'e eşittir.

İlk formül kesikli, ikincisi sürekli değişkenler içindir. Beklenen değer dağılımın denge noktasıdır: çok sayıda tekrarın uzun vadeli ortalaması.

İkinci biçim kare açılarak elde edilir: E[(X − μ)²] = E(X²) − 2μ·E(X) + μ² = E(X²) − μ².

Her zaman E(X + Y) = E(X) + E(Y); X ve Y bağımsızsa Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y).

B(n, p) binom dağılımı: aynı p olasılıklı n bağımsız denemedeki başarı sayısı.

68–95–99,7 kuralı (üç sigma kuralı): değerlerin neredeyse tamamı ortalamadan en fazla 3σ uzaktadır.

De Morgan kuralları.

İçerme-dışlama ilkesi: iki kümede de olan elemanlar iki kez sayıldığından bir kez çıkarılır. Üç küme için: |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.

El sıkışma lemması: her kenarın iki ucu vardır. Sonuç: tek dereceli düğümlerin sayısı her zaman çifttir.

Ağaç, döngüsü olmayan bağlantılı bir graftır (soy ağacı, bilgisayardaki klasörler, mümkün olan en az bağlantıyla kurulmuş bir ağ). Her ağaçta kenar sayısı düğüm sayısından tam bir eksiktir: herhangi bir kenar eklemek döngü oluşturur, herhangi bir kenarı silmek bağlantıyı koparır.