İrrasional tənliklər və bərabərsizliklər

Bu dərsdə öyrənəcəksən

Kvadrata yüksəldərkən kənar köklərin haradan yarandığını izah etmək və onları yoxlama ilə atmaq
√f(x) = g(x) və √f(x) = √g(x) tənliklərini eynigüclü sistemlə həll etmək
Yeni dəyişən daxil etməklə və iki dəfə kvadrata yüksəltməklə daha çətin irrasional tənlikləri həll etmək
Ən sadə irrasional bərabərsizlikləri həll etmək: √f-in ədədlə müqayisəsi, √f < g və √f > g

Aysel və Elvin eyni tənliyi həll edirlər: √(x + 2) = x. Hər ikisi tərəfləri kvadrata yüksəldir: x + 2 = x², yəni x² − x − 2 = 0, kökləri x = 2 və x = −1. Aysel cavaba hər iki ədədi yazır, Elvin isə yoxlama aparır. x = 2 olduqda √4 = 2 — doğrudur. x = −1 olduqda isə sol tərəf √1 = 1, sağ tərəf −1-dir: 1 ≠ −1. Hesablamada heç bir səhv yoxdursa, −1 haradan gəldi? Bu dərsdə bu «qonağın» sirrini açacaq və elə üsullar öyrənəcəyik ki, belə köklər cavaba heç vaxt düşməsin.

Əvvəlki dərslərdən üç şey lazım olacaq: hesabi kvadrat kökün tərifi — √a ≥ 0 və (√a)² = a («Kvadrat kök, n dərəcəli kök və rasional üstlü qüvvət»), kvadrat tənliklərin həlli («Kvadrat tənliklər») və təyin oblastını tapmaq, sistemləri həll etmək bacarığı («Kvadrat bərabərsizliklər və intervallar üsulu»).

İrrasional tənlik. Ən sadə hal

Tərif

İrrasional tənlik

Dəyişəni kök işarəsi altında olan tənlik: √(x + 2) = x, ∛(x − 1) = 2, √x + √(x − 5) = 5. x√2 = 4 tənliyi isə irrasional deyil: burada kök altında dəyişən yox, yalnız ədəd var.

Kvadrat kökün iki xassəsi bütün dərs boyu işləyəcək. Birincisi, √f(x) yalnız f(x) ≥ 0 olduqda mənalıdır — bu, tənliyin təyin oblastıdır. İkincisi, kvadrat kök mənfi ola bilməz, ona görə √(x + 1) = −2 kimi tənliyin heç bir hesablama aparmadan həlli yoxdur. Kök bir tərəfdə tək dayanırsa və o biri tərəfdə ədəd varsa, tənlik bir addımda həll olunur.

√f(x) = a ⇔ f(x) = a² (a ≥ 0); ∛f(x) = a ⇔ f(x) = a³ (istənilən a)

burada:

f(x)kökaltı ifadə
aədəd; kvadrat kök üçün a < 0 olarsa, tənliyin həlli yoxdur

a ≥ 0 olduqda kvadrata yüksəltmək təhlükəsizdir: f(x) = a² ≥ 0 olduğundan təyin oblastı öz-özünə ödənir. Tək dərəcəli kök istənilən işarəli ola bilər, kuba yüksəltmə isə eynigüclü keçiddir — kənar kök yaranmır.

Ən sadə tənliklər

Həll et: 1) √(2x − 3) = 5; 2) √(x² − 16) = 3; 3) √(x + 1) = −2; 4) ∛(x − 2) = −3; 5) 2√(x + 3) − 1 = 7.

Həllini göstər

1) 2x − 3 = 25 ⇒ 2x = 28 ⇒ x = 14. Yoxlama: √25 = 5.
2) x² − 16 = 9 ⇒ x² = 25 ⇒ x = ±5. Hər iki kök yarayır: √9 = 3.
3) Sol tərəf mənfi ola bilməz, sağ tərəf isə −2-dir: həlli yoxdur.
4) Kuba yüksəldirik: x − 2 = (−3)³ = −27 ⇒ x = −25. Tək dərəcəli kök mənfi ola bilər, yoxlama lazım deyil.
5) Əvvəlcə kökü tək saxlayırıq: 2√(x + 3) = 8 ⇒ √(x + 3) = 4 ⇒ x + 3 = 16 ⇒ x = 13.

Kvadrata yüksəltmə və kənar köklər

Girişdəki sirrə qayıdaq. Doğru bərabərliyin hər iki tərəfini kvadrata yüksəltsək, yenə doğru bərabərlik alınır. Əks istiqamətdə isə bu, işləmir: 1² = (−1)², amma 1 ≠ −1. Kvadrata yüksəltmə tərəflərin işarəsini «unudur». Ona görə x + 2 = x² tənliyi bir yox, iki tənliyi birləşdirir: √(x + 2) = x və −√(x + 2) = x. x = 2 birincinin, x = −1 isə ikincinin köküdür: −√(−1 + 2) = −1.

A = B ⇒ A² = B²; A² = B² ⇔ A = B və ya A = −B

burada:

A, Btənliyin sol və sağ tərəfləri (ifadələr)

Kvadrata yüksəltmə yalnız bir istiqamətdə doğrudur: yeni tənlik köhnənin bütün köklərini saxlayır, amma onlara A = −B tənliyinin kökləri də qoşulur. Kənar köklər məhz bunlardır.

Tərif

Kənar kök

Tənliyi çevirərkən alınan, amma ilkin tənliyi ödəməyən ədəd. Kənar köklər təyin oblastını genişləndirən və ya hər iki tərəfi cüt qüvvətə yüksəldən çevrilmələrdə yaranır; onları yoxlama ilə atırıq. x olan ifadəyə bölmə isə əksinə, kökləri itirə bilər — itmiş kökü heç bir yoxlama geri qaytarmır.

1
Kökü tək saxla
Bir tərəfdə yalnız kök qalsın, qalan hər şeyi o biri tərəfə keçir.
2
Kvadrata yüksəlt
Hər iki tərəfi kvadrata yüksəlt. Sağ tərəf ikihədlidirsə, (a − b)² = a² − 2ab + b² düsturunu unutma.
3
Alınan tənliyi həll et
Adətən xətti və ya kvadrat tənlik alınır.
4
İlkin tənlikdə yoxla
Hər kökü ilkin tənlikdə yerinə qoy. Kvadrata yüksəldilmiş tənlikdə yoxlama heç nə vermir: kənar kök onu da ödəyir.

Kvadrata yüksəltmə və yoxlama

Həll et: 1) √(x + 2) = x; 2) √(2x + 7) = x + 2; 3) x − √(x + 1) = 5.

Həllini göstər

1) x + 2 = x² ⇒ x² − x − 2 = 0 ⇒ x = 2 və ya x = −1.
Yoxlama: √4 = 2 — doğrudur; √1 = 1 ≠ −1 — kənar kök. Cavab: x = 2.
2) 2x + 7 = x² + 4x + 4 ⇒ x² + 2x − 3 = 0 ⇒ x = 1 və ya x = −3.
Yoxlama: x = 1 üçün √9 = 3 = 1 + 2 — doğrudur; x = −3 üçün √1 = 1, amma −3 + 2 = −1 — kənar kök. Cavab: x = 1.
3) Kökü tək saxlayırıq: √(x + 1) = x − 5. Kvadrata yüksəldirik: x + 1 = x² − 10x + 25 ⇒ x² − 11x + 24 = 0 ⇒ x = 3 və ya x = 8.
Yoxlama: 8 − √9 = 5 — doğrudur; 3 − √4 = 1 ≠ 5 — kənar kök. Cavab: x = 8.

İnteraktiv

Simulyasiya yüklənir…

Başlanğıcda düz xətt y = x-dir. O, yuxarı qol y = √(x + 2) ilə x = 2 nöqtəsində kəsişir — bu, əsl kökdür. Aşağı qol y = −√(x + 2) ilə kəsişmə x = −1-dədir. Kvadrata yüksəldəndə hər iki qol bir parabolada birləşir: x + 2 = y², ona görə −1 də «kök» kimi görünür. b-ni dəyiş və hər dəfə əsl və kənar köklərin sayını izlə.

Yoxlamasız həll: eynigüclü sistem

Yoxlama bəzən çətindir: kök x = 2 + √3 kimi irrasional ədəd ola bilər. Onda kənar kökləri qabaqcadan tanımaq daha rahatdır. Onlar −√f = g tənliyindən gəlir, yəni g(x) < 0 olan yerlərdə yaranır. Deməli, √f = g tənliyinə g(x) ≥ 0 şərtini əlavə etsək, kvadrata yüksəltmə eynigüclü keçid olur.

√f(x) = g(x) ⇔ { f(x) = g²(x); g(x) ≥ 0 }

burada:

f(x)kökaltı ifadə
g(x)tənliyin o biri tərəfi
g(x) ≥ 0kənar kökləri qabaqcadan atan şərt

f(x) ≥ 0 şərtini yazmağa ehtiyac yoxdur: f(x) = g²(x) ≥ 0 öz-özünə ödənir. g²(x) — (g(x))² deməkdir.

√f = g: sistemlə həll

Həll et: 1) √(5 − x) = x + 1; 2) √(2x² − 3x + 5) = x + 1; 3) √(2x) = x − 1.

Həllini göstər

1) Şərt: x + 1 ≥ 0, yəni x ≥ −1. Tənlik: 5 − x = x² + 2x + 1 ⇒ x² + 3x − 4 = 0 ⇒ x = 1 və ya x = −4. −4 < −1 şərti ödəmir. Cavab: x = 1.
2) Şərt: x ≥ −1. Tənlik: 2x² − 3x + 5 = x² + 2x + 1 ⇒ x² − 5x + 4 = 0 ⇒ x = 1 və ya x = 4. Hər ikisi şərti ödəyir. Cavab: x = 1; x = 4 — kvadrata yüksəltmə həmişə kənar kök vermir.
3) Şərt: x − 1 ≥ 0, yəni x ≥ 1. Tənlik: 2x = x² − 2x + 1 ⇒ x² − 4x + 1 = 0 ⇒ x = 2 ± √3. 2 − √3 ≈ 0,27 < 1 — atılır, 2 + √3 ≈ 3,73 ≥ 1. Cavab: x = 2 + √3. Yoxlama ilə bu, xeyli uzun olardı: √(4 + 2√3) = √((1 + √3)²) = 1 + √3.

İki tərəfdə kök olanda kökaltı ifadələri bərabərləşdiririk, amma onlardan biri mənfi olmamalıdır — o biri onda avtomatik olaraq ona bərabərdir. Hasil sıfıra bərabər olanda isə təyin oblastı həlledicidir: vuruqlardan biri sıfırdırsa, o biri yenə də mənalı olmalıdır.

√f(x) = √g(x) ⇔ { f(x) = g(x); g(x) ≥ 0 }; f(x) · √g(x) = 0 ⇔ g(x) = 0 və ya { f(x) = 0; g(x) ≥ 0 }

burada:

g(x) ≥ 0iki kökaltı ifadədən sadəsinə qoyulan şərt (o biri ona bərabərdir)
f(x) · √g(x)vuruqlarından biri kök olan hasil

Hasildə f(x) = 0 tənliyinin kökləri yalnız təyin oblastında (g(x) ≥ 0) yarayır.

İki kök və hasil

Həll et: 1) √(x² − 4) = √(3x); 2) √(x² − 2x) = √(x + 4); 3) (x + 2) · √(x − 1) = 0; 4) (x − 3) · √(x − 1) = 0.

Həllini göstər

1) x² − 4 = 3x ⇒ x² − 3x − 4 = 0 ⇒ x = 4 və ya x = −1. Şərt 3x ≥ 0: x = −1 atılır. Cavab: x = 4 (√12 = √12).
2) x² − 2x = x + 4 ⇒ x² − 3x − 4 = 0 ⇒ x = 4 və ya x = −1. x + 4 ≥ 0 şərti hər ikisi üçün ödənir: √8 = √8, √3 = √3. Cavab: x = 4; x = −1.
3) Təyin oblastı: x ≥ 1. x + 2 = 0 ⇒ x = −2 — təyin oblastından kənardadır, √(−3) mənasızdır. √(x − 1) = 0 ⇒ x = 1. Cavab: x = 1.
4) Təyin oblastı: x ≥ 1. Həm x = 3, həm də x = 1 yarayır. Cavab: x = 1; x = 3.

Yeni dəyişən və iki kök işarəsi olan tənliklər

Eyni kök tənlikdə bir neçə dəfə görünürsə və ya kökaltı ifadə kökdən kənarda da varsa, onu yeni dəyişənlə əvəz edirik. Kvadrat kök mənfi olmadığından yeni dəyişən də mənfi ola bilməz — bu şərt mənfi qiymətləri dərhal atır.

t = √f(x), t ≥ 0 ⇒ f(x) = t²

burada:

tyeni dəyişən
t ≥ 0mənfi t qiymətləri atılır

t üçün tənliyi həll et, mənfi qiymətləri at, sonra √f(x) = t tənliyinə qayıt. ⁴√x kimi köklərdə t = ⁴√x götürülür, onda √x = t².

Yeni dəyişən daxil etmə

Həll et: 1) x + √x − 6 = 0; 2) √x − 3 · ⁴√x + 2 = 0; 3) x² + 3x − 18 + 4√(x² + 3x − 6) = 0.

Həllini göstər

1) t = √x ≥ 0, x = t²: t² + t − 6 = 0 ⇒ t = 2 və ya t = −3. t = −3 < 0 atılır. √x = 2 ⇒ x = 4.
2) t = ⁴√x ≥ 0, √x = t²: t² − 3t + 2 = 0 ⇒ t = 1 və ya t = 2. ⁴√x = 1 ⇒ x = 1; ⁴√x = 2 ⇒ x = 2⁴ = 16. Cavab: x = 1; x = 16.
3) t = √(x² + 3x − 6) ≥ 0. Onda x² + 3x = t² + 6 və x² + 3x − 18 = t² − 12. Tənlik: t² − 12 + 4t = 0 ⇒ t² + 4t − 12 = 0 ⇒ t = 2 və ya t = −6 (atılır). √(x² + 3x − 6) = 2 ⇒ x² + 3x − 10 = 0 ⇒ x = 2; x = −5. t = 2 ≥ 0 olduğundan hər iki kök yarayır.

Tənlikdə iki kök olanda bir dəfə kvadrata yüksəltmək kifayət etmir: (√a + √b)² = a + 2√(ab) + b, yəni kök yenə qalır. Ona görə kökləri müxtəlif tərəflərə ayırır və iki dəfə kvadrata yüksəldirik.

1
Təyin oblastı
Hər kökaltı ifadə üçün ≥ 0 şərtini yaz və sistemi həll et.
2
Kökləri ayır
Bir kökü bir tərəfdə tək saxla, o birini digər tərəfə keçir.
3
Birinci kvadrat
Kvadrata yüksəlt və qalan kökü yenə tək saxla.
4
İkinci kvadrat və yoxlama
Yenidən kvadrata yüksəlt, tənliyi həll et və hər kökü ilkin tənlikdə yoxla.

İki kök işarəsi olan tənliklər

Həll et: 1) √(x + 5) + √(x − 3) = 4; 2) √(2x + 3) − √(x + 1) = 1.

Həllini göstər

1) Təyin oblastı: x ≥ 3. √(x + 5) = 4 − √(x − 3). Kvadrata yüksəldirik: x + 5 = 16 − 8√(x − 3) + x − 3 ⇒ 8√(x − 3) = 8 ⇒ √(x − 3) = 1 ⇒ x = 4. Yoxlama: √9 + √1 = 3 + 1 = 4. Cavab: x = 4.
2) Təyin oblastı: x ≥ −1. √(2x + 3) = 1 + √(x + 1) — indi hər iki tərəf mənfi deyil. Kvadrata yüksəldirik: 2x + 3 = 1 + 2√(x + 1) + x + 1 ⇒ x + 1 = 2√(x + 1). u = √(x + 1) ≥ 0 olsun: u² = 2u ⇒ u(u − 2) = 0 ⇒ u = 0 və ya u = 2 ⇒ x = −1 və ya x = 3. Yoxlama: √1 − √0 = 1, √9 − √4 = 1. Cavab: x = −1; x = 3. √(x + 1)-ə bölsəydik, x = −1 kökünü itirərdik.

Ən sadə irrasional bərabərsizliklər

Bərabərsizliklərdə yoxlama kömək etmir — həllər adətən sonsuz saydadır. Ona görə hər addım eynigüclü olmalıdır. Əsas qayda: mənfi olmayan iki ədəddən hansının kvadratı böyükdürsə, özü də böyükdür, yəni 0 ≤ a < b ⇔ a² < b². Deməli, kvadrata yalnız hər iki tərəf mənfi olmayanda yüksəltmək olar. Təyin oblastını da unutmaq olmaz: f(x) ≥ 0.

√f(x) < a ⇔ 0 ≤ f(x) < a² (a > 0); √f(x) > a ⇔ f(x) > a² (a ≥ 0)

burada:

amüsbət ədəd (ikinci halda mənfi olmayan)
0 ≤ f(x)təyin oblastı; «kiçikdir» halında onu yazmağı unutmaq olmaz

a < 0 olduqda √f(x) < a bərabərsizliyinin həlli yoxdur, √f(x) > a isə bütün təyin oblastında (f(x) ≥ 0) doğrudur. ≤ və ≥ işarələrində bərabərlik halı da həllə daxil olur.

Kök və ədəd

Həll et: 1) √(x − 2) < 3; 2) √(2x + 1) ≥ 3; 3) √(x + 4) > −1; 4) √(3 − x) < −2; 5) √(x² − 3x) < 2.

Həllini göstər

1) 0 ≤ x − 2 < 9 ⇒ 2 ≤ x < 11. Cavab: [2; 11).
2) 2x + 1 ≥ 9 ⇒ x ≥ 4. Cavab: [4; +∞).
3) Sol tərəf ≥ 0 > −1 — bu, həmişə doğrudur, yalnız təyin oblastı lazımdır: x + 4 ≥ 0. Cavab: [−4; +∞).
4) Kök mənfi ədəddən kiçik ola bilməz: həlli yoxdur.
5) 0 ≤ x² − 3x < 4. x² − 3x ≥ 0 ⇒ x ≤ 0 və ya x ≥ 3; x² − 3x − 4 < 0 ⇒ (x − 4)(x + 1) < 0 ⇒ −1 < x < 4. Kəsişmə: (−1; 0] ∪ [3; 4).

Sağ tərəfdə x olan ifadə duranda onun işarəsi məlum deyil, ona görə hallara ayırırıq. «Kiçikdir» halında sağ tərəf mütləq müsbət olmalıdır, çünki o, mənfi olmayan kökdən böyükdür. «Böyükdür» halında isə iki hal var: sağ tərəf mənfidirsə, bərabərsizlik bütün təyin oblastında doğrudur; mənfi deyilsə, kvadrata yüksəltmək olar.

√f < g ⇔ { f ≥ 0; g > 0; f < g² }; √f > g ⇔ { g < 0; f ≥ 0 } və ya { g ≥ 0; f > g² }

burada:

f, gf(x) və g(x) ifadələrinin qısa yazılışı
{ … }sistem: bütün şərtlər birlikdə ödənir

İkinci halda iki sistemin həllərini birləşdiririk (∪). f > g² şərti f ≥ 0 şərtini də təmin edir.

Kök və x olan ifadə

Həll et: 1) √(x + 2) < x; 2) √(x + 2) > x; 3) √(x + 7) ≥ x + 1.

Həllini göstər

1) {x + 2 ≥ 0; x > 0; x + 2 < x²}. Sonuncu: x² − x − 2 > 0 ⇒ x < −1 və ya x > 2. x > 0 ilə birlikdə: (2; +∞).
2) I hal: x < 0 və x + 2 ≥ 0 ⇒ [−2; 0). II hal: x ≥ 0 və x + 2 > x² ⇒ x² − x − 2 < 0 ⇒ −1 < x < 2, x ≥ 0 ilə [0; 2). Birləşmə: [−2; 2). 1) və 2) bir-birini tamamlayır, x = 2-də isə bərabərlik var (girişdəki kök!).
3) I hal: x + 1 < 0 və x + 7 ≥ 0 ⇒ [−7; −1). II hal: x ≥ −1 və x + 7 ≥ (x + 1)² ⇒ x² + x − 6 ≤ 0 ⇒ −3 ≤ x ≤ 2, x ≥ −1 ilə [−1; 2]. Birləşmə: [−7; 2].

Özünü yoxla: boşluğu doldur

1.√(x − 1) = 3 ⇒ x =
2.√(x + 5) = x − 1 tənliyinin kənar kökü: x =
3.√(x + 3) < 2 ⇒ −3 ≤ x <

Əsas fikirlər

√f(x) yalnız f(x) ≥ 0 olduqda mənalıdır və heç vaxt mənfi deyil: √f(x) = a (a < 0) tənliyinin həlli yoxdur, ∛f(x) = a isə f(x) = a³ ilə eynigüclüdür.
Kvadrata yüksəltmə A = −B tənliyinin köklərini də əlavə edir — bunlar kənar köklərdir; onları ilkin tənlikdə yoxlama ilə atırıq.
√f = g ⇔ {f = g²; g ≥ 0} və √f = √g ⇔ {f = g; g ≥ 0} — bu sistemlərlə yoxlamaya ehtiyac qalmır.
Təkrarlanan kök üçün t = √f(x), t ≥ 0 əvəzləməsi; iki kök olanda kökləri ayır, iki dəfə kvadrata yüksəlt və x olan ifadəyə bölmə.
Bərabərsizlikdə kvadrata yalnız hər iki tərəf mənfi olmayanda yüksəlt: √f < g ⇔ {f ≥ 0; g > 0; f < g²}; √f > g üçün g < 0 və g ≥ 0 hallarını ayrıca həll et.

Özünü yoxla

12 sual. Hər düzgün cavab XP qazandırır.

1 / 12

Hansı tənlik irrasional tənlikdir?