Məxsusi ədədlər və məxsusi vektorlar

Rezin vərəqi kənarlarından dart. Onun üzərində çəkilmiş oxların demək olar ki, hamısı istiqamətini dəyişir, amma bəzi xüsusi oxlar yalnız uzanır və ya qısalır, istiqaməti isə eyni qalır. Matris üçün belə xüsusi istiqamətlər onun məxsusi vektorları, dartılma əmsalları isə məxsusi ədədləridir. Onlar körpünün öz rəqs tezliklərini, Markov zəncirinin uzunmüddətli davranışını və ilk Google reytinqinin ideyasını təsvir edir. Beynəlxalq termindəki almanca eigen sözü «öz, məxsusi» deməkdir.

Tərif və həndəsi məna

Həndəsi olaraq A vektoru döndərmir, yalnız onu λ dəfə dartır. λ > 1 olduqda vektor uzanır, 0 < λ < 1 olduqda qısalır, λ < 0 olduqda həm də əks istiqamətə çevrilir, λ = 0 isə A-nın v-ni sıfır vektora «sıxdığını» göstərir. Məxsusi vektorun sıfırdan fərqli istənilən misli də məxsusi vektordur: A(cv) = cAv = λ(cv). Deməli, əslində məxsusi istiqamətlər axtarırıq.

Xarakteristik tənlik

Məxsusi ədədləri təxminsiz necə tapaq? Av = λv bərabərliyini Av − λIv = 0, yəni (A − λI)v = 0 şəklində yazaq. Bu bircinsli sistemin sıfırdan fərqli v həlli yalnız A − λI matrisinin tərsi olmadıqda, yəni onun determinantı sıfır olduqda var.

Diaqonallaşdırma

Tutaq ki, n × n ölçülü A matrisinin n xətti asılı olmayan v₁, …, vₙ məxsusi vektoru var. Onları P matrisinin sütunları kimi, məxsusi ədədləri isə D-nin diaqonalına yazaq. Avᵢ = λᵢvᵢ bərabərlikləri birlikdə AP = PD deməkdir, buradan A = PDP⁻¹. Bu, n məxsusi ədəd müxtəlif olduqda həmişə mümkündür, həqiqi simmetrik matris isə həmişə perpendikulyar məxsusi vektorlarla diaqonallaşır.

Tətbiqlər: Markov zəncirləri, PageRank, PCA

Markov zənciri sabit ehtimallarla bir vəziyyətdən digərinə keçən sistemi təsvir edir. Tutaq ki, universitet şəhərciyinin yanındakı iki kafe — A və B — tələbələri bölüşür: hər həftə A-nın müştərilərinin 80%-i ona sadiq qalır, 20%-i B-yə keçir, B-nin müştərilərinin isə 30%-i A-ya keçir, 70%-i qalır. Payları xₖ = [aₖ; bₖ] sütunu ilə yazsaq, xₖ₊₁ = Txₖ alınır; T-nin sütunlarının cəmi 1-dir.

PageRank. Google-un ilkin ideyası interneti nəhəng Markov zənciri kimi görür: təsadüfi istifadəçi keçidlərə klikləyir, səhifənin əhəmiyyəti isə onun stasionar paylanmadakı payıdır, yəni «Google matrisinin» λ = 1-ə uyğun məxsusi vektorudur. Milyardlarla səhifə olduqda bu vektor ardıcıl vurma üsulu ilə tapılır: istənilən vektordan başlayıb onu matrisə təkrar-təkrar vururuq. PCA (baş komponentlər analizi). Verilənlərin kovariasiya matrisi simmetrikdir; ən böyük məxsusi ədədə uyğun məxsusi vektor verilənlərin ən çox səpələndiyi istiqaməti göstərir. Yalnız bir neçə belə baş komponenti saxlamaqla verilənlər sıxılır, məsələn, üz tanımada.

import numpy as np

A = np.array([[4, 1], [2, 3]])
values, vectors = np.linalg.eig(A)
print(values)
print(np.linalg.matrix_power(A, 10))

T = np.array([[0.8, 0.3], [0.2, 0.7]])
x = np.array([0.5, 0.5])
for week in range(30):
    x = T @ x
print(np.round(x, 4))

[5. 2.]
[[6510758 3254867]
 [6509734 3255891]]
[0.6 0.4]