Toplama, ikiqat və yarım bucaq düsturları

sin 75° neçədir? Ağla gələn ilk fikir: 75° = 45° + 30°, deməli, sin 75° = sin 45° + sin 30° ≈ 0,707 + 0,5 = 1,207. Amma sinus 1-dən böyük ola bilməz! Kalkulyator sin 75° ≈ 0,966 göstərir. Deməli, cəmin sinusu sinusların cəminə bərabər deyil, onun öz düsturu var. Bu dərsdə həmin düsturu çıxaracaq və ondan triqonometriyanın bütün əsas düsturlarını alacağıq.

Bu dərs «Radian ölçüsü, əsas triqonometrik eyniliklər və çevirmə düsturları» dərsinin davamıdır: vahid çevrə, sin²α + cos²α = 1 eyniliyi və rüblərdə işarələr burada hər addımda lazım olacaq. Plan belədir: əvvəlcə cəmin və fərqin düsturları, onlardan ikiqat bucaq, ondan dərəcəni aşağı salma və yarım bucaq, sonra cəmi hasilə çevirmə və nəhayət a·sin x + b·cos x ifadəsi. Hər yeni düstur əvvəlkindən bir-iki sətirdə alınır, ona görə hamısını əzbərləmək yox, çıxarmağı bacarmaq vacibdir.

Cəmin və fərqin düsturları

Hər şey bir düsturdan başlayır — fərqin kosinusundan. Onu vahid çevrədə iki nöqtə arasındakı məsafəni iki üsulla hesablamaqla çıxarırıq:

1. A(cos α; sin α) və B(cos β; sin β) nöqtələrini götürək; AOB bucağı α − β-yə bərabərdir.
2. Koordinatlarla: AB² = (cos α − cos β)² + (sin α − sin β)². Mötərizələri açıb sin² + cos² = 1 əvəzini etsək, AB² = 2 − 2(cos α cos β + sin α sin β).
3. Şəkli β qədər geri döndürək: B nöqtəsi (1; 0)-a, A isə (cos(α − β); sin(α − β))-yə keçir, məsafə dəyişmir. Onda AB² = (cos(α − β) − 1)² + sin²(α − β) = 2 − 2cos(α − β).
4. İki ifadəni bərabərləşdirək: cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β. β-nı −β ilə əvəz etsək (cos cüt, sin tək funksiyadır), cəmin kosinusu alınır.

Toplama düsturları əvvəlki dərsin bütün çevirmə düsturlarını özündə saxlayır. Məsələn, sin(π/2 + α) = sin(π/2) cos α + cos(π/2) sin α = 1 · cos α + 0 · sin α = cos α, cos(π − α) = cos π cos α + sin π sin α = −cos α. «At qaydası» sadəcə bu hesablamaların qısa yoludur: π/2, π və 3π/2 bucaqlarının sinusu və kosinusu 0 və ya ±1 olduğu üçün iki toplanandan biri həmişə yox olur.

İkiqat bucaq düsturları

Toplama düsturlarında β = α götürək: sin(α + α) = sin α cos α + cos α sin α = 2 sin α cos α, cos(α + α) = cos²α − sin²α. Kosinusun düsturunda sin²α = 1 − cos²α və ya cos²α = 1 − sin²α əvəz etsək, daha iki forma alınır. Məsələdə hansı funksiya verilibsə, o formanı seç.

İkiqat bucaq düsturundan maraqlı nəticə çıxır: sin α cos α = ½ sin 2α ≤ ½. Məsələn, hipotenuzu c olan düzbucaqlı üçbucağın katetləri c sin α və c cos α-dır, sahəsi isə S = ½ · c sin α · c cos α = ¼ c² sin 2α. O, α = 45° olanda, yəni üçbucaq bərabəryanlı olanda ən böyükdür və c²/4-ə bərabərdir.

Dərəcəni aşağı salma və yarım bucaq düsturları

cos 2α = 1 − 2sin²α və cos 2α = 2cos²α − 1 bərabərliklərindən sin²α və cos²α-nı ifadə edək. Kvadratlar yox olur, bucaq isə iki dəfə böyüyür — buna görə bu düsturlara dərəcəni aşağı salma düsturları deyilir. Tənliklərdə və inteqrallarda onlar sin²x, cos²x kimi ifadələrdən qurtulmağa imkan verir.

Cəmi hasilə və hasili cəmə çevirmə

sin(x + y) və sin(x − y) düsturlarını toplayaq: sin(x + y) + sin(x − y) = 2 sin x cos y. İndi x + y = α, x − y = β işarə edək; onda x = (α + β)/2, y = (α − β)/2 və sin α + sin β = 2 sin((α + β)/2) cos((α − β)/2). Digər üç düstur da eyni yolla alınır. Hasil şəklində tənlikləri vuruqlara ayırmaq və kəsrləri ixtisar etmək asandır.

a·sin x + b·cos x və imtahan tipli çevirmələr

3 sin x + 4 cos x ifadəsinin ən böyük qiyməti neçədir? 3 + 4 = 7 deyil: sinus və kosinus eyni x-də maksimuma çatmır. İfadədən R = √(a² + b²) vuruğunu mötərizə xaricinə çıxaraq. (a/R)² + (b/R)² = 1 olduğundan elə φ bucağı var ki, cos φ = a/R, sin φ = b/R. Onda mötərizədə sin x cos φ + cos x sin φ = sin(x + φ) alınır — bu, köməkçi bucaq üsuludur.

1. 1
   R-i tap

   R = √(a² + b²) hesabla.

2. 2
   R-i mötərizə xaricinə çıxar

   a sin x + b cos x = R · ((a/R) sin x + (b/R) cos x) yaz.

3. 3
   φ-ni seç

   cos φ = a/R və sin φ = b/R olan bucağı tap; hər iki işarəni nəzərə al.

4. 4
   Yığ və nəticə çıxar

   Mötərizədə sin(x + φ) alınır. Ən böyük qiymət R, ən kiçik qiymət −R-dir.