Çoxhədlinin vuruqlara ayrılması — Riyaziyyat

Bu dərsdə öyrənəcəksən

Hədlərin ən böyük ortaq vuruğunu tapıb mötərizə xaricinə çıxarmaq (ortaq vuruq mötərizə olduqda da)
Qruplaşdırma üsulu ilə və qısa vurma düsturlarını sağdan sola oxuyaraq çoxhədlini vuruqlara ayırmaq
x² + px + q və ax² + bx + c kvadrat üçhədlilərini vuruqlara ayırmaq
Vuruqlara ayırmanı tənlik həllində, bölünmənin isbatında və şifahi hesabda tətbiq etmək

Müəllim lövhəyə üç tapşırıq yazdı: 1) 47 · 53 + 47 · 47 hesabla; 2) 57² − 43² hesabla; 3) x² = 5x tənliyini həll et. Murad kalkulyatoru götürdü, Aysel isə hər üçünü bir dəqiqəyə şifahi həll etdi: 47 · (53 + 47) = 4700; (57 − 43)(57 + 43) = 14 · 100 = 1400; x(x − 5) = 0, deməli, x = 0 və ya x = 5. Murad isə tənliyi x-ə böldü, yalnız x = 5 tapdı və bir kökü itirdi. Ayselin sirri hər dəfə eynidir: o, cəmi hasilə çevirdi.

Əvvəlki dərslərdə, o cümlədən «Qısa vurma düsturları» dərsində, hasili çoxhədliyə çevirirdik — mötərizələri açırdıq. İndi əks yolu gedəcəyik. Hasil ona görə qiymətlidir ki, onun haqqında çox şey dərhal görünür: vuruqlardan biri sıfırdırsa, hasil də sıfırdır; vuruqlardan biri 7-yə bölünürsə, hasil də 7-yə bölünür; kəsrdə isə yalnız vuruqları ixtisar etmək olar. Növbəti dərsdə, «Cəbri kəsrlər» dərsində, bu bacarıq hər addımda lazım olacaq.

Tərif

Çoxhədlinin vuruqlara ayrılması

Çoxhədlinin iki və ya daha çox çoxhədlinin (birhədlinin) hasili şəklində yazılması. Məsələn, x² − 9 = (x − 3)(x + 3). Bu, mötərizə açmanın tərsidir: alınan hasildə mötərizələri açanda yenidən ilkin çoxhədli alınmalıdır — bu, ən etibarlı yoxlamadır.

Ortaq vuruğu mötərizə xaricinə çıxarmaq

Ən sadə üsul budur və o, həmişə birinci yoxlanılır. Paylama qanunu a(b + c) = ab + ac sağdan sola oxunur: bütün hədlərdə təkrarlanan vuruğu mötərizənin qarşısına bir dəfə yazırıq, mötərizədə isə hər həddin bu vuruğa bölünməsindən alınan qismətlər qalır.

ab + ac − ad = a(b + c − d)

burada:

abütün hədlərin ortaq vuruğu (ədəd, birhədli və ya mötərizə)
b, c, dhər həddin ortaq vuruğa bölünməsindən alınan qismətlər

Paylama qanunu sağdan sola. Mötərizədə ilkin çoxhədlidə olduğu qədər hədd qalmalıdır — hədlərin sayını müqayisə etmək sürətli yoxlamadır.

1
Əmsallar
Əmsalların ƏBOB-unu tap (12 və 18 üçün bu, 6-dır). Birinci hədd mənfidirsə, adətən −6 kimi mənfi vuruq çıxarılır.
2
Hərflər
Bütün hədlərdə olan hər hərfi onun ən kiçik üstü ilə götür: a³b, a²b² və a⁴b üçün bu, a²b-dir.
3
Böl
Hər həddi ortaq vuruğa böl və qisməti mötərizəyə yaz. Hədd ortaq vuruğun özünə bərabərdirsə, onun yerində 1 qalır.
4
Yoxla
Mötərizəni zehnində aç: ilkin çoxhədli alınmalıdır. Mötərizədəki hədlərin daha ortaq vuruğu qalmamalıdır.

Ortaq vuruq — birhədli

Çoxhədlini vuruqlara ayır:
1) 6x + 9
2) 12a³b − 18a²b²
3) 5x⁴ − 10x³ + 15x²
4) −4y² − 8y

Həllini göstər

1) ƏBOB(6; 9) = 3: 6x + 9 = 3(2x + 3).
2) ƏBOB(12; 18) = 6, a-nın ən kiçik üstü 2, b-nin 1-dir: ortaq vuruq 6a²b.
12a³b : 6a²b = 2a, 18a²b² : 6a²b = 3b ⇒ 6a²b(2a − 3b).
3) Ortaq vuruq 5x²-dir: 5x²(x² − 2x + 3). Mötərizədə üç hədd var, ilkin çoxhədlidə də üç.
4) Birinci hədd mənfidir, −4y çıxarırıq: −4y² : (−4y) = y, −8y : (−4y) = 2 ⇒ −4y(y + 2).
Yoxlama: −4y · y − 4y · 2 = −4y² − 8y ✓

Ortaq vuruq bütöv bir mötərizə də ola bilər. Onda mötərizəyə bir hərf kimi baxırıq. Mötərizələr bir-birinin əksidirsə, məsələn, 4 − n və n − 4, əvvəl mənfi işarəni çıxarırıq: 4 − n = −(n − 4).

Ortaq vuruq — mötərizə

Vuruqlara ayır (ortaq mötərizəni tap):
1) x(a − b) + 3(a − b)
2) 2m(n − 4) − 5(4 − n)
3) (x + 1)² − 3(x + 1)

Həllini göstər

1) (a − b) hər iki həddə var — onu bütöv vuruq kimi çıxarırıq: (a − b)(x + 3).
2) 4 − n = −(n − 4), ona görə −5(4 − n) = +5(n − 4).
2m(n − 4) + 5(n − 4) = (n − 4)(2m + 5).
3) (x + 1)² = (x + 1)(x + 1), ortaq vuruq (x + 1)-dir:
(x + 1)((x + 1) − 3) = (x + 1)(x − 2).
Yoxlama (3): x² − x − 2 alınır, ilkin ifadə də x² + 2x + 1 − 3x − 3 = x² − x − 2 ✓

Qruplaşdırma üsulu

Bəzən bütün hədlərin ortaq vuruğu yoxdur, amma hədləri cüt-cüt qruplaşdıranda hər qrupda eyni mötərizə yaranır. Məsələn, ab + 3a + 2b + 6 çoxhədlisində dörd həddin hamısına aid vuruq yoxdur, amma ilk iki hədd a-ya, son ikisi isə 2-yə bölünür.

ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (x + y)(a + b)

burada:

a, bbirinci və ikinci qrupdan çıxarılan vuruqlar
x + yhər iki qrupda eyni alınan mötərizə — yeni ortaq vuruq

Ortaq vuruq iki dəfə çıxarılır: əvvəl hər qrupdan, sonra bütöv ifadədən. Mötərizələr eyni alınmırsa, hədləri başqa cür qruplaşdır və ya qruplardan birindən mənfi vuruq çıxar.

Qruplaşdırma

Qruplaşdırma üsulu ilə vuruqlara ayır:
1) ab + 3a + 2b + 6
2) x³ − 2x² + 5x − 10
3) 7m − 7n − am + an
4) xy − 6 + 3x − 2y

Həllini göstər

1) a(b + 3) + 2(b + 3) = (b + 3)(a + 2).
2) x²(x − 2) + 5(x − 2) = (x − 2)(x² + 5).
3) Mötərizələr eyni olsun deyə ikinci qrupdan −a çıxarırıq: 7(m − n) − a(m − n) = (m − n)(7 − a).
4) Bu ardıcıllıqla qruplar alınmır: xy − 6 ifadəsinin ortaq vuruğu yoxdur. Hədlərin yerini dəyişək: xy + 3x − 2y − 6 = x(y + 3) − 2(y + 3) = (y + 3)(x − 2).
Yoxlama (4): (y + 3)(x − 2) = xy − 2y + 3x − 6 ✓

Qısa vurma düsturları ilə vuruqlara ayırma

«Qısa vurma düsturları» dərsində bu eynilikləri soldan sağa — mötərizələri açmaq üçün işlətdik. Vuruqlara ayırmaq üçün onları sağdan sola oxuyuruq. Əsas iş düsturu tanımaqdır: hədləri sayırıq və hansılarının tam kvadrat (1, 4, 9, 25x², a⁴, …) və ya tam kub (8, 27, 64, x³, 8a³, …) olduğuna baxırıq.

a² − b² = (a − b)(a + b)a² + 2ab + b² = (a + b)²a² − 2ab + b² = (a − b)²a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)

burada:

a, btam kvadrat və ya tam kub olan hədlərin əsasları: 25x² = (5x)², 8a³ = (2a)³
2aborta hədd — tam kvadratın əlaməti: əsasların hasilinin iki misli

İki hədd — kvadratlar fərqi və ya kubların cəmi (fərqi); üç hədd — tam kvadrat ola bilər. Kvadratların cəmi a² + b² (həqiqi əmsallarla) vuruqlara ayrılmır.

Kvadratlar fərqi

Kvadratlar fərqi düsturu ilə vuruqlara ayır:
1) 25x² − 4
2) 16a⁴ − 81
3) (x + 3)² − 4x²

Həllini göstər

1) 25x² = (5x)², 4 = 2² ⇒ (5x − 2)(5x + 2).
2) 16a⁴ = (4a²)², 81 = 9² ⇒ (4a² − 9)(4a² + 9). Birinci mötərizə yenə kvadratlar fərqidir: 4a² − 9 = (2a − 3)(2a + 3).
Cavab: (2a − 3)(2a + 3)(4a² + 9); 4a² + 9 kvadratların cəmidir, daha ayrılmır.
3) Burada a = x + 3, b = 2x: (x + 3 − 2x)(x + 3 + 2x) = (3 − x)(3x + 3) = 3(3 − x)(x + 1).

Tam kvadratlar və kublar

Mümkünsə, düsturla vuruqlara ayır:
1) x² − 10x + 25
2) 9a² + 12ab + 4b²
3) x² + 10x + 16
4) 8x³ − 27
5) a³ + 64

Həllini göstər

1) x² və 25 = 5² kvadratdır, 2 · x · 5 = 10x — orta hədd uyğundur ⇒ (x − 5)².
2) (3a)² və (2b)², 2 · 3a · 2b = 12ab ⇒ (3a + 2b)².
3) x² və 16 = 4² kvadratdır, amma 2 · x · 4 = 8x ≠ 10x. Deməli, bu, tam kvadrat deyil; onu növbəti bölmədə başqa yolla ayıracağıq.
4) 8x³ = (2x)³, 27 = 3³: (2x − 3)((2x)² + 2x · 3 + 3²) = (2x − 3)(4x² + 6x + 9).
5) 64 = 4³ ⇒ (a + 4)(a² − 4a + 16).

Kvadrat üçhədlinin vuruqlara ayrılması

Tərif

Kvadrat üçhədli

ax² + bx + c şəklində çoxhədli, burada a, b, c ədədlərdir və a ≠ 0. Məsələn, x² + 7x + 12, 2x² − x − 3.

Niyə üsul işləyir? Mötərizələri açaq: (x + m)(x + n) = x² + nx + mx + mn = x² + (m + n)x + mn. Deməli, x-in əmsalı m və n ədədlərinin cəmi, sərbəst hədd isə onların hasilidir. Vuruqlara ayırmaq üçün bu iki ədədi tapmaq kifayətdir.

x² + px + q = (x + m)(x + n), m + n = p, m · n = q

burada:

px-in əmsalı
qsərbəst hədd
m, ncəmi p, hasili q olan iki ədəd

Axtarışı hasildən başla: q ədədini iki vuruğun hasili kimi bütün yollarla yaz və cəmi p olan cütü seç.

x² + px + q üçhədlisi

Kvadrat üçhədlini vuruqlara ayır:
1) x² + 7x + 12
2) x² − x − 12
3) x² − 8x + 15
4) x² + 10x + 16

Həllini göstər

1) Hasil 12, cəm 7: 12 = 1 · 12 = 2 · 6 = 3 · 4; 3 + 4 = 7 ⇒ (x + 3)(x + 4).
2) Hasil −12 mənfidir, deməli, ədədlərin işarələri müxtəlifdir; cəm −1: −4 və 3 ⇒ (x − 4)(x + 3).
3) Hasil 15 müsbət, cəm −8 mənfidir — hər iki ədəd mənfidir: −3 və −5 ⇒ (x − 3)(x − 5).
4) Hasil 16, cəm 10: 2 və 8 ⇒ (x + 2)(x + 8). Bu üçhədli tam kvadrat deyildi, amma vuruqlara ayrılır.
Yoxlama (2): (x − 4)(x + 3) = x² + 3x − 4x − 12 = x² − x − 12 ✓

Baş əmsal 1 olmayanda (a ≠ 1) orta həddi iki həddə ayırıb qruplaşdırma üsulundan istifadə edirik. Bunun üçün hasili a · c, cəmi b olan iki ədəd axtarılır. Başqa yol isə tam kvadrata tamamlamaqdır: ifadəni kvadratlar fərqi şəklinə gətiririk.

1
a · c hasilini tap
2x² + 7x + 3 üçün a · c = 2 · 3 = 6.
2
İki ədəd seç
Hasili 6, cəmi b = 7 olan ədədlər: 1 və 6.
3
Orta həddi ayır
7x = x + 6x yazırıq: 2x² + x + 6x + 3.
4
Qruplaşdır
x(2x + 1) + 3(2x + 1) = (2x + 1)(x + 3). Mötərizələr eyni alınmalıdır.

a ≠ 1 olduqda və tam kvadrata tamamlama

Vuruqlara ayır:
1) 6x² − x − 2
2) 3x² − 10x + 8
3) x² + 6x + 5 (tam kvadrata tamamlamaqla)

Həllini göstər

1) a · c = 6 · (−2) = −12, cəm −1: −4 və 3.
6x² − 4x + 3x − 2 = 2x(3x − 2) + (3x − 2) = (3x − 2)(2x + 1).
2) a · c = 24, cəm −10: −4 və −6.
3x² − 4x − 6x + 8 = x(3x − 4) − 2(3x − 4) = (3x − 4)(x − 2).
3) x² + 6x + 5 = (x² + 6x + 9) − 9 + 5 = (x + 3)² − 2².
Kvadratlar fərqi: (x + 3 − 2)(x + 3 + 2) = (x + 1)(x + 5).

Hər kvadrat üçhədli tam ədədlərlə vuruqlara ayrılmır: x² + x + 1 üçün hasili 1, cəmi 1 olan tam ədədlər yoxdur. Hansı üçhədlilərin ümumiyyətlə ayrıldığını və ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂) düsturunu «Kvadrat tənliklər» dərsində diskriminant vasitəsilə öyrənəcəksən.

Bütün üsulları bir plana yığaq. Mürəkkəb tapşırıqlarda adətən iki-üç üsul ardıcıl işlədilir.

1
Ortaq vuruq
Həmişə ilk növbədə ortaq vuruğu (lazım olsa, mənfi işarə ilə) mötərizə xaricinə çıxar.
2
Hədləri say
İki hədd: kvadratlar fərqi və ya kubların cəmi (fərqi). Üç hədd: tam kvadrat və ya kvadrat üçhədli. Dörd və daha çox: qruplaşdırma.
3
Sona qədər ayır
Hər vuruğa yenidən bax: onu da ayırmaq olarmı? Məsələn, a⁴ − 1 = (a² − 1)(a² + 1) = (a − 1)(a + 1)(a² + 1).
4
Yoxla
Mötərizələri aç və ya hər iki ifadədə dəyişənin yerinə eyni ədəd (məsələn, x = 1 və ya x = 2) qoy — nəticələr eyni olmalıdır.

Bir neçə üsul birlikdə

Sona qədər vuruqlara ayır:
1) 3x³ − 12x
2) 2a² − 4ab + 2b²
3) x³ − 3x² − 4x + 12
4) x² − 2xy + y² − 9

Həllini göstər

1) Ortaq vuruq 3x: 3x(x² − 4) = 3x(x − 2)(x + 2).
2) Ortaq vuruq 2: 2(a² − 2ab + b²) = 2(a − b)².
3) Qruplaşdırma: x²(x − 3) − 4(x − 3) = (x − 3)(x² − 4) = (x − 3)(x − 2)(x + 2).
4) İlk üç hədd tam kvadratdır: (x − y)² − 3² = (x − y − 3)(x − y + 3).
Yoxlama (3), x = 1: 1 − 3 − 4 + 12 = 6 və (1 − 3)(1 − 2)(1 + 2) = (−2) · (−1) · 3 = 6 ✓

Vuruqlara ayırma nəyə lazımdır

Hasilin ən vacib xassəsi: iki ədədin hasili yalnız o zaman sıfır olur ki, onlardan heç olmasa biri sıfır olsun. Ona görə tənliyin bütün hədlərini bir tərəfə keçirib bu tərəfi vuruqlara ayırırıq — çətin tənlik bir neçə sadə tənliyə parçalanır.

a · b = 0 ⇔ a = 0 və ya b = 0

burada:

a, bədədlər və ya dəyişənli ifadələr (vuruqlar)
⇔hər iki istiqamətdə doğrudur: «onda və yalnız onda ki»

Tənliyin bir tərəfi hasil, digər tərəfi sıfır olmalıdır. x(x − 5) = 6 kimi yazılışdan heç bir nəticə çıxmır.

Tənliklər

Tənliyi həll et:
1) x² = 5x
2) x³ − 16x = 0
3) x² − 7x + 12 = 0
4) x³ + 2x² − 9x − 18 = 0

Həllini göstər

1) x² − 5x = 0 ⇒ x(x − 5) = 0 ⇒ x = 0 və ya x = 5.
2) x(x² − 16) = 0 ⇒ x(x − 4)(x + 4) = 0 ⇒ x = 0, x = 4, x = −4.
3) (x − 3)(x − 4) = 0 ⇒ x = 3 və ya x = 4.
4) Qruplaşdırma: x²(x + 2) − 9(x + 2) = (x + 2)(x − 3)(x + 3) = 0 ⇒ x = −2, x = 3, x = −3.
Yoxlama (4), x = −3: −27 + 18 + 27 − 18 = 0 ✓

İnteraktiv

Simulyasiya yüklənir…

y = (x − a)(x − b) qrafiki. a və b-ni dəyiş: əyri x oxunu məhz x = a və x = b nöqtələrində kəsir, çünki bu qiymətlərdə vuruqlardan biri sıfır olur. Mötərizələri açsaq, x² − (a + b)x + ab alınır: x-in əmsalı a və b ədədlərinin cəminin əks işarəlisidir, sərbəst hədd isə onların hasilidir.

Vuruqlara ayırma hesablamanı da asanlaşdırır. Kvadratlar fərqi iki böyük kvadratın fərqini bir vurmaya çevirir, ortaq vuruq isə «yuvarlaq» ədədlər yaradır. Bölünməni isbat edərkən də ifadəni hasil şəklinə gətiririk: vuruqlardan biri n-ə bölünürsə, bütün hasil n-ə bölünür.

Şifahi hesab

Rahat yolla hesabla:
1) 3,6 · 7,2 + 3,6 · 2,8
2) 76² − 24²
3) x = 7,3 və y = 2,3 olduqda x² − 2xy + y²
4) (38² − 17²)/(47² − 19²)

Həllini göstər

1) 3,6 · (7,2 + 2,8) = 3,6 · 10 = 36.
2) (76 − 24)(76 + 24) = 52 · 100 = 5200.
3) x² − 2xy + y² = (x − y)² = (7,3 − 2,3)² = 5² = 25.
4) (38 − 17)(38 + 17)/((47 − 19)(47 + 19)) = (21 · 55)/(28 · 66) = (3 · 7 · 5 · 11)/(4 · 7 · 6 · 11) = 15/24 = 5/8.

Bölünmənin isbatı

İsbat et:
1) 7²⁰ + 7¹⁹ ədədi 8-ə bölünür.
2) İstənilən tam n üçün (n + 7)² − (n − 5)² ifadəsi 24-ə bölünür.
3) İstənilən tam n üçün n³ − n ifadəsi 6-ya bölünür.

Həllini göstər

1) 7¹⁹ vuruğunu çıxarırıq: 7¹⁹ · (7 + 1) = 8 · 7¹⁹ — vuruqlardan biri 8-dir, deməli, ədəd 8-ə bölünür.
2) Kvadratlar fərqi: (n + 7 − n + 5)(n + 7 + n − 5) = 12 · (2n + 2) = 24(n + 1) ⇒ 24-ə bölünür.
3) n³ − n = n(n² − 1) = (n − 1) · n · (n + 1) — ardıcıl üç tam ədədin hasilidir. Onların arasında mütləq bir cüt ədəd və 3-ə bölünən bir ədəd var ⇒ hasil 2 · 3 = 6-ya bölünür. Məsələn, n = 5: 125 − 5 = 120 = 4 · 5 · 6.

Özünü yoxla: boşluğu doldur

1.6a + 18 = 6()
2.x² − 49 = (x − 7)()
3.x² + 5x + 6 = (x + 2)()
4.16x² − 8x + 1 = ()²
5.x³ + 8 = (x + 2)(x² − + 4)
6.x² − 3x = 0 ⇒ x = 0 və ya x =

Əsas fikirlər

Vuruqlara ayırmaq — cəmi hasilə çevirməkdir; nəticəni həmişə mötərizələri açaraq və ya bir ədəd qoyaraq yoxla.
İş qaydası: əvvəl ortaq vuruq, sonra hədləri say: iki hədd — kvadratlar fərqi və ya kubların cəmi (fərqi), üç hədd — tam kvadrat və ya kvadrat üçhədli, dörd hədd — qruplaşdırma.
x² + px + q = (x + m)(x + n), burada m + n = p, m · n = q; ax² + bx + c üçün orta həddi hasili a · c, cəmi b olan ədədlərlə ayır.
a · b = 0 ⇔ a = 0 və ya b = 0. Tənliyi dəyişənli ifadəyə bölmə — kök itir.
Vuruqlara ayırma şifahi hesabı (76² − 24² = 52 · 100) və bölünmənin isbatını (n³ − n = (n − 1)n(n + 1)) asanlaşdırır.

Özünü yoxla

12 sual. Hər düzgün cavab XP qazandırır.

1 / 12

Çoxhədlini vuruqlara ayırmaq nə deməkdir?