Ehtimal nəzəriyyəsinin əsasları — Riyaziyyat

Bu dərsdə öyrənəcəksən

Sınağın bərabərimkanlı nəticələrini müəyyən etmək və P(A) = m/n düsturu ilə ehtimalı hesablamaq
Nisbi tezlik ilə ehtimal arasındakı əlaqəni (böyük ədədlər qanununu) izah etmək
Əks hadisə, toplama və vurma qaydalarını və ehtimal ağacını tətbiq etmək
Seçmə məsələlərində birləşmələrdən istifadə etmək və sadə həndəsi ehtimalları tapmaq

Aysel və Murad stolüstü oyun oynayırlar. Aysel bir zər atır və 6 düşərsə, qalib gəlir; Murad isə iki zər atır və xalların cəmi 7 olarsa, qalib gəlir. Kimin şansı çoxdur? Hava proqnozunda deyilən «yağış ehtimalı 70%» nə deməkdir? Ehtimal nəzəriyyəsi şansı 0-dan 1-ə qədər ədədlə ölçür. Bu dərsdə bir zərdən başlayıb çoxmərhələli sınaqlara, seçmələrə və hətta sahələrə qədər gedəcəyik. Verilənlərin toplanması və təsviri (cədvəllər, diaqramlar, ədədi orta, median) «Statistikanın əsasları: verilənlər, diaqramlar, orta qiymət, median və moda» dərsində öyrənilir.

Sınaq, nəticə və hadisə

Təsadüfi sınaq elə hərəkətdir ki, onun nəticəsini qabaqcadan demək olmur, amma bütün mümkün nəticələr məlumdur: metal pulu atmaq, zər atmaq, qarışdırılmış kartlardan birini çəkmək. Hər bir mümkün nəticəyə elementar hadisə və ya sadəcə nəticə deyilir; bütün nəticələr çoxluğu çox vaxt Ω ilə işarə olunur. Bir zər üçün Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Tərif

Hadisə

Nəticələrin hər hansı çoxluğu, yəni sınaqdan sonra ya doğru, ya da yalan olan iddia. Hadisənin baş verdiyi nəticələrə onun üçün əlverişli nəticələr deyilir. Zərdə «cüt xal düşür» hadisəsi = {2, 4, 6}.

Yəqin hadisə mütləq baş verir: zərdə 7-dən kiçik xal düşməsi. Onun ehtimalı 1-dir.
Mümkün olmayan hadisə heç vaxt baş vermir: adi zərdə 7 xal düşməsi. Onun ehtimalı 0-dır.
Təsadüfi hadisə baş verə də bilər, verməyə də: zərdə 6 düşməsi. Onun ehtimalı 0 ilə 1 arasındadır.

Ehtimal 1-ə nə qədər yaxındırsa, uzun sınaqlar seriyasında hadisə bir o qədər tez-tez baş verir; 0,5 «yarı hallarda» deməkdir. Ehtimalı faizlə də yazırlar: 0,7 = 70%. «Yağış ehtimalı 70%» o deməkdir ki, belə proqnoz verilən günlərin təxminən 10-dan 7-sində yağış yağır.

Klassik ehtimal

Bütün n nəticə bərabərimkanlı olanda — simmetrik zər, yaxşı qarışdırılmış kartlar, baxmadan götürülən kürə — heç biri üstünlük təşkil etmir, ona görə hər birinə eyni pay, 1/n düşür. m nəticədən ibarət hadisəyə m belə pay düşür. Klassik düstur buradan alınır.

P(A) = m / nP(A) = m / n

burada:

P(A)A hadisəsinin ehtimalı
mA hadisəsi üçün əlverişli nəticələrin sayı
nbütün bərabərimkanlı nəticələrin sayı

Klassik ehtimal düsturu yalnız bütün nəticələr bərabərimkanlı olanda doğrudur. 0 ≤ m ≤ n olduğundan həmişə 0 ≤ P(A) ≤ 1.

Bir zər

Zər bir dəfə atılır. Hadisələrin ehtimalını tap: 1) 6 düşür; 2) cüt xal düşür; 3) 4-dən böyük xal düşür; 4) sadə ədəd düşür.

Həllini göstər

Bütün nəticələr: 1, 2, 3, 4, 5, 6 — n = 6.
1) Əlverişli nəticə yalnız 6-dır: P = 1/6.
2) Cüt xallar 2, 4, 6: m = 3, P = 3/6 = 1/2.
3) 4-dən böyük xallar 5 və 6: P = 2/6 = 1/3.
4) Sadə ədədlər 2, 3, 5 (1 sadə ədəd deyil!): P = 3/6 = 1/2.

Nömrəli kartlar

Qutuda 1-dən 30-a qədər nömrələnmiş 30 kart var. Təsadüfən bir kart çəkilir. Onun nömrəsinin: 1) 3-ə bölünməsi; 2) ikirəqəmli olması; 3) 7 ilə bitməsi; 4) tam kvadrat olması ehtimalını tap.

Həllini göstər

n = 30.
1) 3, 6, …, 30 — cəmi 30 : 3 = 10 ədəd: P = 10/30 = 1/3.
2) 10, 11, …, 30 — 30 − 9 = 21 ədəd: P = 21/30 = 7/10.
3) 7, 17, 27: P = 3/30 = 1/10.
4) 1, 4, 9, 16, 25: P = 5/30 = 1/6.

İki zər olanda onları müxtəlif rəngli — məsələn, qırmızı və mavi — təsəvvür etmək faydalıdır. Hər nəticə nizamlı cütdür (qırmızı; mavi): birinci zərin 6 nəticəsi ikincinin 6 nəticəsi ilə birləşir, deməli, n = 6 · 6 = 36 bərabərimkanlı cüt var. (1; 6) və (6; 1) müxtəlif nəticələrdir.

İki zər

İki zər atılır. Ehtimalı tap: 1) xalların cəmi 7-dir; 2) iki zərdə eyni xal düşür; 3) xalların cəmi 9-dur; 4) hər iki zərdə 4-dən böyük xal düşür.

Həllini göstər

n = 36.
1) (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1): m = 6, P = 6/36 = 1/6. Deməli, Muradın şansı Ayselinki ilə eynidir!
2) (1; 1), (2; 2), …, (6; 6): m = 6, P = 1/6.
3) (3; 6), (4; 5), (5; 4), (6; 3): P = 4/36 = 1/9.
4) Hər zərdə 5 və ya 6: m = 2 · 2 = 4, P = 4/36 = 1/9.

İnteraktiv

Simulyasiya yüklənir…

Bu ədədlər ölçülməyib, 36 cütdən sayılıb: hər sütun həmin cəmi verən cütlərin sayıdır, ehtimal isə bu ədədin 36-ya nisbətidir. Cəm 7 ən ehtimallıdır (6/36 = 1/6), 2 və 12 isə ən az ehtimallıdır (hər biri 1/36).

Nisbi tezlik və böyük ədədlər qanunu

Klassik düstur üçün simmetriya lazımdır. Bəs toxumun cücərməsinin və ya zavodun lampasının nasaz çıxmasının ehtimalı nə qədərdir? Burada bərabərimkanlı nəticələr yoxdur, ona görə ehtimal təcrübə ilə qiymətləndirilir: sınaq dəfələrlə təkrarlanır və hadisənin neçə dəfə baş verdiyi sayılır.

W(A) = k / NW(A) = k / N

burada:

W(A)A hadisəsinin nisbi tezliyi
kA hadisəsinin baş verdiyi sınaqların sayı
Nbütün sınaqların sayı

Nisbi tezlik sınaqlardan sonra tapılır və bir seriyadan digərinə dəyişir; ehtimal isə sabit ədəddir. Sınaqlar çox olanda W(A) ≈ P(A) — bu, ehtimalın statistik qiymətləndirilməsidir.

Böyük ədədlər qanunu: sınaqların sayı artdıqca hadisənin nisbi tezliyi onun ehtimalına getdikcə daha çox yaxınlaşır. 10 atışda 6 xal 3 dəfə (0,3) düşə bilər — bu, təsadüfdür; 6000 atışda isə təxminən 1000 dəfə düşəcək və nisbi tezlik 1/6 ≈ 0,167-yə yaxın olacaq.

Ehtimalı verilənlərlə qiymətləndiririk

1) Zavodda 500 lampa yoxlanılıb, onlardan 12-si nasaz çıxıb. Lampanın nasaz olması ehtimalını və 10 000 lampalıq partiyada nasaz lampaların sayını qiymətləndir.
2) Elvin 60 cərimə atışından 45-ni səbətə salıb. Növbəti 20 atışda təxminən neçə uğurlu atış gözləmək olar?
3) Metal pul 50 dəfə atılıb, 29 dəfə gerb düşüb. Bu, pulun qeyri-simmetrik olduğunu göstərirmi?

Həllini göstər

1) W = 12/500 = 0,024 (2,4%). 10 000 lampada təxminən 0,024 · 10 000 = 240 nasaz lampa gözlənilir.
2) W = 45/60 = 0,75, deməli, təxminən 0,75 · 20 = 15 uğurlu atış.
3) W = 29/50 = 0,58. Qısa seriyada 0,5-dən belə kənarlaşma adi haldır; pul haqqında nəticə çıxarmaq üçün xeyli çox atış lazımdır. Xeyr, göstərmir.

İnteraktiv

Simulyasiya yüklənir…

Zəri əvvəl 10 dəfə, sonra 1000 dəfə at: az atışda sütunlar gah qalxır, gah enir, çox atışda isə 1/6 ≈ 0,167 xəttinin ətrafında sabitləşir.

Əks hadisə, toplama və vurma qaydaları

Tərif

Əks hadisə Ā

«A baş vermir» hadisəsi. Hər sınaqda A və Ā hadisələrindən yalnız biri baş verir, ona görə onların ehtimallarının cəmi 1-dir.

P(Ā) = 1 − P(A)

burada:

ĀA-nın əks hadisəsi («A deyil»)

«A deyil» və ya «heç biri» A-nın özündən asan sayılırsa, əks hadisəyə keç — xüsusən «ən azı biri» tipli məsələlərdə.

Əks hadisədən istifadə

1) Zər atılır. P(6 düşmür) neçədir?
2) Qutuda 1-dən 20-yə qədər nömrələnmiş kartlar var. Təsadüfi kartın nömrəsinin 5-ə bölünməməsi ehtimalını tap.
3) İki zər atılır. Xalların hasilinin cüt olması ehtimalını tap.

Həllini göstər

1) P(6) = 1/6, deməli, P(6 deyil) = 1 − 1/6 = 5/6.
2) 5-ə bölünənlər: 5, 10, 15, 20 — P = 4/20 = 1/5; cavab 1 − 1/5 = 4/5.
3) Cüt hasilləri birbaşa saymaq uzundur. Əks hadisə: hasil yalnız hər iki xal tək olanda tək olur — 3 · 3 = 9 cüt, P = 9/36 = 1/4. Deməli, P(hasil cütdür) = 1 − 1/4 = 3/4.

Tərif

Birgə olmayan hadisələr

Eyni sınaqda birlikdə baş verə bilməyən hadisələr: bir zərdə «1 düşür» və «6 düşür». «Cüt xal» və «3-dən böyük xal» isə birgə hadisələrdir: 4 və ya 6 düşəndə ikisi də baş verir.

Tərif

Asılı olmayan hadisələr

Birinin baş verməsi digərinin ehtimalını dəyişməyən hadisələr: metal pul ilə zərin nəticələri, iki ayrı atış, bir-birindən asılı olmadan atəş açan iki atıcı.

P(A və ya B) = P(A) + P(B)

burada:

A və ya BA və B hadisələrindən ən azı biri baş verir (A ∪ B və ya A + B kimi də yazılır)

Toplama qaydası yalnız birgə olmayan hadisələr üçün doğrudur. A və B birlikdə baş verə bilirsə, ortaq nəticələr iki dəfə sayılır və bir dəfə çıxılmalıdır: P(A və ya B) = P(A) + P(B) − P(A və B).

Toplama qaydası

1) Torbada 5 qırmızı, 3 yaşıl və 2 mavi kürə var. Bir kürə çəkilir. P(qırmızı və ya mavi) neçədir?
2) Leylanın testdən «5» alması ehtimalı 0,3, «4» alması ehtimalı 0,45-dir. Onun «4» və ya «5» alması ehtimalını tap.
3) 1-dən 20-yə qədər nömrələnmiş kartlardan biri çəkilir. Nömrənin 2-yə və ya 3-ə bölünməsi ehtimalını tap.

Həllini göstər

1) «Qırmızı» və «mavi» birgə deyil: 5/10 + 2/10 = 7/10.
2) Bir test üçün iki qiymət birlikdə ola bilməz: 0,3 + 0,45 = 0,75.
3) 2-yə bölünənlər 10 ədəddir, 3-ə bölünənlər 6 ədəd, amma 6, 12, 18 hər iki siyahıdadır — hadisələr birgədir! P = 10/20 + 6/20 − 3/20 = 13/20. (Sadəcə 16/20 yazmaq səhv olardı.)

P(A və B) = P(A) · P(B)

burada:

A və Bhər iki hadisə baş verir (AB və ya A ∩ B kimi də yazılır)

Vurma qaydası yalnız asılı olmayan hadisələr üçündür. Bir neçə hadisənin hamısının baş verməsi ehtimalı heç vaxt ən kiçik vuruqdan böyük olmur.

Vurma qaydası

1) Metal pul və zər atılır. P(gerb və 6) neçədir?
2) İki atıcı bir-birindən asılı olmadan bir dəfə atəş açır; hədəfə dəymə ehtimalları 0,8 və 0,7-dir. Hər ikisinin dəyməsi, heç birinin dəyməməsi və ən azı birinin dəyməsi ehtimallarını tap.
3) Metal pul 3 dəfə atılır. P(üç gerb) və P(ən azı bir rəqəm) neçədir?

Həllini göstər

1) Pul və zər asılı deyil: 1/2 · 1/6 = 1/12.
2) Hər ikisi: 0,8 · 0,7 = 0,56. Heç biri: yayınma ehtimalları 0,2 və 0,3-dür, 0,2 · 0,3 = 0,06. Ən azı biri — «heç biri» hadisəsinin əksi: 1 − 0,06 = 0,94.
3) P(GGG) = 1/2 · 1/2 · 1/2 = 1/8; «ən azı bir rəqəm» onun əksidir: 1 − 1/8 = 7/8.

Sınaq bir neçə mərhələdən ibarət olanda (iki dəfə çəkmək, üç atış) ehtimal ağacı qur. Hər budağın üzərinə onun ehtimalı yazılır; bir nöqtədən çıxan budaqların ehtimallarının cəmi 1-dir. Kürələr qaytarılmadan çəkilirsə, ikinci mərhələ birincidən asılıdır — birinci çəkişdən sonra onun ehtimalları dəyişir.

1
Mərhələləri çək
Hər mərhələ üçün bir səviyyə budaq, hər mümkün nəticə üçün bir budaq.
2
Ehtimalları yaz
Hər budağa əvvəlki addımlar nəzərə alınmaqla ehtimalını yaz (qaytarmadan çəkəndə qalanları say).
3
Yol boyu vur
Bütöv yolun ehtimalı onun budaqlarındakı ehtimalların hasilidir.
4
Yolları topla
Hadisə bir neçə yoldan ibarətdirsə, onların ehtimallarını topla. Yoxlama: bütün yolların cəmi 1-dir.

Q — qırmızı, M — mavi kürə. Yol boyu vururuq: məsələn, QQ = 3/5 · 2/4 = 3/10.

Ağacla hesablayırıq

Diaqramdakı torbadan (3 qırmızı, 2 mavi) qaytarılmadan iki kürə çəkilir. Ehtimalı tap: 1) hər ikisi qırmızıdır; 2) kürələr eyni rənglidir; 3) ən azı biri mavidir; 4) birinci kürə geri qaytarılırsa, hər ikisi qırmızıdır.

Həllini göstər

1) QQ yolu: 3/5 · 2/4 = 6/20 = 3/10.
2) QQ və ya MM: 3/10 + 2/5 · 1/4 = 3/10 + 1/10 = 2/5.
3) «Hər ikisi qırmızı» hadisəsinin əksi: 1 − 3/10 = 7/10 (yoxlama: QM + MQ + MM = 3/10 + 3/10 + 1/10 = 7/10).
4) Qaytarmaqla ikinci çəkiş yenə 3/5-dir: 3/5 · 3/5 = 9/25. Cavab dəyişdi, çünki mərhələlər asılı olmayan oldu.

Nəticələr çox olanda: birləşmələr və həndəsi ehtimal

12 şagirddən 3-nü seçməyin 220 yolu var — heç bir ağac bunların hamısını göstərə bilməz. Belə hallarda n və m «Kombinatorika» dərsindəki düsturlarla hesablanır: seçmədə sıra əhəmiyyət daşımır, ona görə birləşmələrdən (Cₙᵏ) istifadə olunur.

P = Cₘᵏ · Cₙ₋ₘʳ⁻ᵏ / CₙʳP = Cₘᵏ · Cₙ₋ₘʳ⁻ᵏ / Cₙʳ

burada:

nbütün obyektlərin sayı
monlardan «xüsusi» olanların sayı (uduşlu biletlər, qızlar…)
rtəsadüfən seçilən obyektlərin sayı
kseçilənlər arasında «xüsusi» olanların sayı

Məxrəc: n obyektdən r-i seçməyin bütün yolları. Surət (hasil qaydası): m «xüsusi» obyektdən k-nı VƏ qalan n − m obyektdən r − k-nı seçirik.

Seçmələr və birləşmələr

1) 10 lotereya biletindən 3-ü uduşludur. Nigar 2 bilet alır. P(hər ikisi uduşludur) və P(düz biri uduşludur) neçədir?
2) Sinifdə 5 qız və 7 oğlan var; növbətçilik üçün təsadüfən 3 şagird seçilir. P(üçü də qızdır) və P(düz iki qız) neçədir?
3) 4 rəqəmli PIN-kod (0000–9999) təsadüfən seçilir. Onun bütün rəqəmlərinin müxtəlif olması ehtimalını tap.

Həllini göstər

1) n = C₁₀² = 45. Hər ikisi: C₃² = 3, P = 3/45 = 1/15 (ağacla yoxlama: 3/10 · 2/9 = 1/15). Düz biri: C₃¹ · C₇¹ = 21, P = 21/45 = 7/15.
2) n = C₁₂³ = 220. Üç qız: C₅³ = 10, P = 10/220 = 1/22. İki qız və bir oğlan: C₅² · C₇¹ = 10 · 7 = 70, P = 70/220 = 7/22.
3) Bütün PIN-kodlar: 10⁴ = 10 000. Rəqəmləri müxtəlif olanlar (burada sıra vacibdir): A₁₀⁴ = 10 · 9 · 8 · 7 = 5040. P = 5040/10 000 = 0,504.

Bəzən nəticələri saymaq ümumiyyətlə mümkün olmur: parçada təsadüfən seçilmiş nöqtə, dayanacağa gəldiyin an. Oblastın bütün hissələri bərabərimkanlıdırsa, ehtimal əlverişli hissənin bütün oblastdakı payıdır — uzunluqların, sahələrin və ya vaxtların nisbəti.

P(A) = s / SP(A) = s / S

burada:

səlverişli hissənin ölçüsü (uzunluq, sahə və ya vaxt)
Sbütün oblastın ölçüsü

Həndəsi ehtimal m/n düsturunun «kəsilməz» variantıdır; burada da 0 ≤ P(A) ≤ 1.

Həndəsi ehtimal

1) [0; 10] parçasında təsadüfən x nöqtəsi seçilir. P(x < 3) neçədir?
2) Avtobus hər 15 dəqiqədən bir gəlir, sən isə dayanacağa təsadüfi anda gəlirsən. 5 dəqiqədən az gözləmə ehtimalını tap.
3) Tərəfi 20 sm olan kvadrat lövhənin içində radiusu 10 sm olan dairə çəkilib. Oxun lövhənin təsadüfi nöqtəsinə dəydiyini fərz edərək onun dairəyə düşməsi ehtimalını tap.

Həllini göstər

1) Əlverişli uzunluq 3, bütün uzunluq 10: P = 3/10 = 0,3.
2) Gəliş anı 15 dəqiqəlik aralıq boyu bərabər paylanıb; bu aralığın son 5 dəqiqəsində gəlsən, 5 dəqiqədən az gözləyəcəksən: P = 5/15 = 1/3.
3) Dairənin sahəsi π · 10² = 100π sm², kvadratın sahəsi 20² = 400 sm²: P = 100π/400 = π/4 ≈ 0,785.

Əsas fikirlər

Ehtimal 0 (mümkün olmayan hadisə) ilə 1 (yəqin hadisə) arasında olan ədəddir.
P(A) = m/n yalnız bərabərimkanlı nəticələr üçün doğrudur; iki zərdə 36 nizamlı cütü say.
Sınaqlar çoxaldıqca nisbi tezlik W = k/N ehtimala yaxınlaşır; metal pulun yaddaşı yoxdur.
P(Ā) = 1 − P(A); «və ya» → topla (birgə olmayan), «və» → vur (asılı olmayan), «ən azı biri» → 1 − P(heç biri).
Ağacda yol boyu vur, yolları topla; təsadüfi seçmədə n və m birləşmələrlə hesablanır.
Həndəsi ehtimal uzunluqların, sahələrin və ya vaxtların nisbətidir: P = s/S.

Özünü yoxla

12 sual. Hər düzgün cavab XP qazandırır.

1 / 12

Hansı ədəd heç bir hadisənin ehtimalı ola bilməz?