Statistik nəticə çıxarma: qiymətləndirmə və fərziyyələrin yoxlanılması

Seçkidən əvvəl sorğu şirkəti 1000 nəfərlə danışır və «52% ± 3%» nəticəsini elan edir. Çay fabriki istehsal etdiyi milyonlarla qutunun hamısını deyil, 30-unu çəkir. Müəllim bilmək istəyir ki, yeni metod balları həqiqətən artırıb, yoxsa sinfin sadəcə bəxti gətirib. Statistik nəticə çıxarma belə suallara cavab verir: təsadüfi seçmə əsasında bütün baş məcmu haqqında etibarlı nəticəyə necə gəlmək olar və bu nəticəyə nə dərəcədə əmin ola bilərik.

Baş məcmu, seçmə və qiymətləndirmələr

Niyə n − 1? Meyllər eyni verilənlərə uyğunlaşdırılmış x̄-dən ölçülür, ona görə orta hesabla bir az kiçik alınır. Meyllərin cəmi həmişə 0-dır, yəni onlardan yalnız n − 1-i sərbəstdir (sərbəstlik dərəcələri). n əvəzinə n − 1-ə bölmək bu sürüşməni dəqiq aradan qaldırır.

Orta qiymət üçün etibarlılıq intervalları

Tək bir x̄ ədədi μ-nü heç vaxt dəqiq tapmır. Etibarlılıq intervalı elə qurulan aralıqdır ki, seçmələrin 95%-ində μ-nü əhatə etsin. Mərkəzi limit teoreminə görə x̄ ≈ N(μ, σ²/n), ona görə 0,95 ehtimalla μ x̄-dən ən çoxu 1,96 standart xəta məsafəsindədir.

Fərziyyələrin yoxlanılması

1. 1
   Fərziyyələri yaz

   Sıfır fərziyyə H₀ «xüsusi heç nə yoxdur» iddiasıdır (μ = 500 q, metodun təsiri yoxdur). Alternativ fərziyyə H₁ şübhələndiyimiz haldır (μ < 500 q, metod kömək edir).

2. 2
   Əhəmiyyətlilik səviyyəsini seç

   α — doğru H₀-ı səhvən rədd etmək riskidir; adətən α = 0,05 (bəzən 0,01).

3. 3
   Kriteriyanın statistikasını hesabla

   O, verilənlərin H₀-dan standart xəta vahidlərində nə qədər uzaq olduğunu göstərir, məsələn, z və ya t.

4. 4
   p-qiymətini tap

   H₀ doğru olduğu halda müşahidə olunan qədər və ya ondan da «ekstremal» nəticənin alınma ehtimalı.

5. 5
   Qərar ver

   p ≤ α olarsa, H₀ rədd edilir (nəticə statistik əhəmiyyətlidir). p > α olarsa, H₀ rədd edilmir: verilənlər kifayət qədər güclü sübut deyil — amma bu, H₀-ın doğru olduğunu sübut etmir.

t-kriteriyası. σ məlum olmadıqda onu s ilə əvəz edir və t-ni Styudent paylanması ilə (df = n − 1) müqayisə edirik. İki seçmə üçün t-kriteriyası iki qrupun, məsələn, yeni və köhnə metodla oxuyan siniflərin ortalarını müqayisə edir: ortaların fərqi onun standart xətasına bölünür. t-paylanmasını Dublindəki Guinness pivə zavodunda işləyən Uilyam Qosset «Student» təxəllüsü ilə 1908-ci ildə dərc etdirib.

Korrelyasiya və xətti reqressiya

ŷ = b₀ + b₁x reqressiya xətti ən kiçik kvadratlar üsulu ilə seçilir: o, şaquli xətaların kvadratları cəmini, S(b₀, b₁) = ∑(yᵢ − b₀ − b₁xᵢ)² ifadəsini minimuma endirir. ∂S/∂b₀ və ∂S/∂b₁ xüsusi törəmələrini sıfıra bərabər etsək, iki xətti tənlik (normal tənliklər) alınır; onların həlli belədir:

import numpy as np
from scipy import stats

tea = np.array([98, 102, 101, 97, 102])
se = tea.std(ddof=1) / np.sqrt(len(tea))
low, high = stats.t.interval(0.95, df=4, loc=tea.mean(), scale=se)
print(round(low, 2), round(high, 2))

t, p = stats.ttest_1samp(tea, 103)
print(round(t, 3), round(p, 3))

hours = [1, 2, 3, 4, 5]
score = [52, 58, 65, 70, 80]
b1, b0 = np.polyfit(hours, score, 1)
print(round(b1, 2), round(b0, 2), round(np.corrcoef(hours, score)[0, 1], 3))

97.09 102.91
-2.86 0.046
6.8 44.6 0.994